导数压轴专治学霸.docx

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1、xx 2010 1导数压轴专治学霸一解答题（共 20 小题）1已知函数 f（x）e （1+alnx），设f（x）为 f（x）的导函数（1） 设 g（x）e f（x）+x x 在区间1，2上单调递增，求 a 的取值范围；（2） 若 a2 时，函数 f（x）的零点为 x ，函 f（x）的极小值点为 x ，求证：x x 2设 （1）求证：当 x1 时，f（x）0 恒成立； （2）讨论关于 x 的方程根的个数2 x+1x3已知函数 f（x）x +ax+ae （aR ）（1） 当 a1 时，判断 g（x）e f（x）的单调性；（2） 若函数 f（x）无零点，求 a 的取值范围4已知函数（1）求函数 f（

2、x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数 a 的最小值xx 2x 35已知函数 f（x）e lnx+ax（aR ）（）当 ae+1 时，求函数 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，求证：f（x）06已知函数 f（x）e x ax1（）若 f（x）在定义域内单调递增，求实数 a 的范围；（）设函数 g（x）xf（x）e +x +x，若 g（x）至多有一个极值点，求 a 的取值集合27已知函数 f（x）x1lnxa（x1） （aR ）（1） 讨论函数 f（x）的单调性；（2） 若对x（0，+），f（x）0，求实数 a 的取值范围8设 f（x）是函数 f（x）的导函数，我们把使 f（x）x 的

3、实数 x 叫做函数 yf（x）的好点已知函数 f（x）（）若 0 是函数 f（x）的好点，求 a；（）若函数 f（x）不存在好点，求 a 的取值范围222 11 21 29已知函数 f（x）lnx+ax +（a+2）x+2（a 为常数）（1） 讨论函数 f（x）的单调性；（2） 若 a 为整数，函数 f（x）恰好有两个零点，求 a 的值10已知函数 f（x）xlnxax ，aR （1） 若函数 f（x）存在单调增区间，求实数 a 的取值范围；（2） 若 x ，x 为函数 f（x）的两个不同极值点，证明 x x e 3 211已知函数 f（x） x a（x+1） ，（1） 讨论函数 f（x）的单

4、调区间；（2） 若函数 f（x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围12已知函数 （1） 当 0m2 时，证明：f（x）只有 1 个零点；（2） 证明：曲线 f（x）没有经过原点的切线2x20 0013已知函数 f（x）4lnx+x 2mx（mR） （1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若直线 l 为曲线的切线，求证：直线 l 与曲线不可能有 2 个切点14已知函数 f（x）（x+1）e +2ax，aR（1） 讨论 f（x）极值点的个数（2） 若 x （x 2）是 f（x）的一个极值点，且 f（2）e ，证明：f（x ）12 x15己知函数 f（x）（xa） e +b 在 x0 处的切线方程

5、为 x+y10，函数 g（x）x k（lnx1）（1） 求函数 f（x）的解析式；（2） 求函数 g（x）的极值；（3） 设 F（x）minf（x），g（x）（minp，q表示 p，q 中的最小值），若F（x）在 （0，+）上恰有三个零点，求实数 k 的取值范围16已知函数（1） 求实数 a 的值以及切点坐标；（2） 求证：g（x）f（x），且 yx1 是曲线 yf（x）的切线21 2 1 2217已知函数 f（x）x xalnx，aR（1） 若不等式 f（x）0 无解，求 a 的值；（2） 若函数 f（x）存在两个极值点 x 、x ，且 x x ，当 求实数 m 的最小值恒成立时，18设 a

6、，bR，已知函数 f（x）alnx+x +bx 存在极大值（）若 a1，求 b 的取值范围；（）求 a 的最大值，使得对于 b 的一切可能值，f（x）的极大值恒小于 019已知函数 f（x）x1nx（1） 求函数 f（x）的极值；（2） 设函数 g（x）xf（x）若存在区间m，n ，+），使得函数 g（x）在m，n 上的值域为k（m+2）2，k（n+2）2，求实数 k 的取值范围20已知 a0，函数0 垂直（）求函数，且曲线 yf（x）在 x1 处的切线与直线 x+2y+1在区间（0，+）上的极大值；（）求证：当 x（0，+）时，x2010 1x 2 2xxx2 2222222 111导数压轴

7、参考答案与试题解析一解答题（共 20 小题）更多资料加群：6259723231已知函数 f（x）e （1+alnx），设f（x）为 f（x）的导函数（1）设 g（x）exf（x）+x x 在区间1，2上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若 a2 时，函数 f（x）的零点为 x ，函 f（x）的极小值点为 x ，求证：x x 【解答】（1）解：依题意，g（x）e f（x）+x x1+alnx+x x，x0故 ，x0g（x）在1，2上单调递增，g（x）0 在1，2上恒成立，故，即 ax（12x）在1，2上恒成立，根据二次函数的知识，可知：x（12x）在1，2上的最大值为1 a 的取值范围为1，+

8、）（2）证明：由题意，f（x）e （1+lnx+ ），x0，a2 设 h（x）f（x）e （1+lnx+ ），x0，a2则 h（x）e （1+alnx+ ）再设 H（x）1+alnx+ ，则 H（x） + 当 x0 时，yx 2x+2（x1） +10 恒成立，当 x0 时，H（x）0 恒成立H（x）在（0，+）上单调递增又当 a2 时，H（1）1+a0，H（ ）1aln20，根据 H（x）的单调性及零点定理，可知：存在一点 x （ ，1），使得 H（x ）0f（x）在（0，x ）上单调递减，在（x ，+）上单调递增，在 xx 处取得极小值 x x 即且 H（x ）0，即 1+alnx + 0，

9、即 0000 10 13 2又f（x）的零点为 x ，故 f（x ）0，即，即 alnx 1由，得 ，则 ，又 ，故 ，即 lnx lnx 0，x x 故得证2设 （1）求证：当 x1 时，f（x）0 恒成立；（2）讨论关于 x 的【解答】解：（1）证明：方程根的个数的定义域为（0，+），f（x）在1，+）上是单调递增函数，f（x）f（1）0 对于 x1，+）恒成立 故当 x1 时，f（x）0 恒成立得证（2）化简方程得 2lnxx 2ex +tx注意到 x0，则方程可变为令则，更多资料加群：625972323当 x（0，e）时，L（x）0，L（x）在（0，e）上为增函数；当 x（e，+）时，

10、L（x）0，L（x）在（e，+）上为减函数当 xe 时，函数所示：由图象可知，在同一坐标系内的大致图象如图2x+1xx x 2 x+1 2xx 2 x x2，x+1x+100001 当2 当3 当时，即时，即时，即时，方程无实根；时，方程有一个实根；时，方程有两个实根3已知函数 f（x）x +ax+ae（aR）（1） 当 a1 时，判断 g（x）e f（x）的单调性；（2） 若函数 f（x）无零点，求 a 的取值范围更多资料加群：625972323【解答】解：（1）当 a1 时，g（x）e f（x）e （x +x+1e ）（x +x+1） e e，g（x）（2x+1）e +（x +x+1）e

11、e （x1）（x+2），当 x（，2）（1，+）时，g（x）0，故 g（x）在（，2），（1， +）单调递减；当 x（2，1）时，g（x）0，故 g（x）在（2，1）单调递增；（2）函数 f（x）x +ax+aex+1f（x）2x+a+ex+1设 h（x）2x+a+e ，h（x）2e 0 恒成立，h（x）在（，+）上单调递减，存在 x R，使得 h（x ）0，当 x（，x ）时，h（x）f（x）0，函数 f（x）单调递增，当 x（x ，+）时，h（x）f（x）0，函数 f（x）单调递减，2max00 02max00 00002max0002 222f（x） f（x ）x +ax +a 函数 f

12、（x）无零点，f（x） f（x ）x +ax +a，0 在 R 上恒成立，又h（x ）2x +a+0，即2x af（x） f（x ）x +（a2）x +2a0 在 R 上恒成立， （a2） 42aa 12a+40，解得 64a6+4a 的取值范围为（64 4已知函数，6+4）（1）求函数 f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数 a 的最小值【解答】解：（1）由题意可知，x0，方程x +xa0 对应的 4a，当 4a0，即时，当 x（0，+）时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减； （2 分）当且时，方程x +xa0 的两根为 ，此时，f（x）在在分）更多资料加群：6259723

13、23上 f （x）0，函数 f（x）单调递增，上 f（x）0，函数 f（x）单调递减；（4当 a0 时， 此时当当综上：当 a0 时， ，f（x）单调递增，时，f（x）0，f（x）单调递减； （6 分），f（x）单调递增，0 00 0 00000xxx当时，f（x）单调递减；当时，f（x）在上单调递增，在当上单调递减；时，f（x）在（0，+）上单调递减； （7 分）（2）原式等价于（x1）axlnx+2x1，即存在 x1，使 设则成立 ，x1，（9 分）设 h（x）xlnx2，则 ，h（x）在（1，+）上单调递增又 h（3）3ln321ln30，h（4）4ln4222ln20， 根据零点存在性

14、定理，可知 h（x）在（1，+）上有唯一零点，设该零点为 x ，则 x （3，4），且h（x ）x lnx 20，即 x 2lnx ， （11 分）由题意可知 ax +1，又 x（3，4），aZ，a 的最小值为 5（12 分）更多资料加群：625972323 5已知函数 f（x）e lnx+ax（aR）（）当 ae+1 时，求函数 f（x）的单调区间； （）当 a1 时，求证：f（x）0【解答】（）解：f（x）e lnx+（e+1）x； 令 ，得 x1；当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增；（）证明：当 a1 时，f（x）e lnx

15、x（x0）；00x0xxx xx 2x 3xx x xx 2 x x121 22令 ，则 ； h（x）在（0，+）上单调递增；又，h（1）e20；，使得 ，即 ；函数 f（x）在（0，x ）上单调递减，在（x ，+）上单调递增； 函数 f（x）的最小值为；又函数是单调减函数；f（x ）1+1ln1110，即 e lnxx0 恒成立；又 e xlnx；e lnx0；又 a1，x0；axx；f（x）e lnx+axe lnxx0，得证6已知函数 f（x）e x ax1（）若 f（x）在定义域内单调递增，求实数 a 的范围；（）设函数 g（x）xf（x）e +x +x，若 g（x）至多有一个极值点，

16、求 a 的取值集合 【解答】解：（1）由条件得，f（x）e 2xa0，得 ae 2x，令 h（x）e 2x，h（x）e 20得 xln2，当 xln2 时，h（x）0，当 xln2 时，h （x）0故当 xln2 时，h（x）minh（ln2）22ln2a22ln2更多资料加群：625972323（2）g（x）xe ax e ，g（x）x（e 2a）当 a0 时，由 x0，g（x）0 且 x0，g（x）0，故 0 是 g（x）唯一的极小值点； 令 g（x）0 得 x 0，x ln（2a）当 a 时，x x ，g（x）0 恒成立，g（x）无极值点故 a7已知函数 f（x）x1lnxa（x1） （

17、aR）2min2 2（1） 讨论函数 f（x）的单调性；（2） 若对x（0，+），f（x）0，求实数 a 的取值范围【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+），由函数 f （ x ） x 1 lnx a （ x 1 ） （ aR ）得 f （ x ） 1 ； 2a （ x 1）当 a0 时，令 f（x）0，可得 x1，令 f（x）0，可得 0x1；故函数 f（x） 的增区间为（1，+），减区间为（0，1）当 0a 时，令 f（x）0，可得 ，令 f（x）0，可得 0x1 或 x，故 f（x）的增区间为（1， ），减区间为（0，1），（）；当 a 时，f（x）0，故函数 f（x）的

18、减区间为（0，+）；当 a 时，0或 x11，令 f（ x）0，可得；令 f（ x）0，可得故 f（x）的增区间为（），减区间为（0， ），（1，+）综上所述：当 a0 时，f（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+）上为增函数；当 0a 时，f（x）在（0，1），（ ）上为减函数，在（1， ）上为增函数； 当 a 时，f（x）在（0，+）上为减函数；当 a 时，f（x）在（0，），（1，+）上为减函数在（ ，1）上为增函数（2）由（1）可知：当 a0 时，f（x） f（1）0，此时，f（x）0；当 0a 时，f（1）0，当 x（，+）时，lnx0，axa+1，可得 f（x）x1lnxa（x1

19、） x1a（x1） （x1）（a+1ax）0，不 合题意；更多资料加群：625972323当 a 时，f（1）0，由 f（x）的单调性可知，当 x（1，+）时，f（x）0，不 合题意；2x x 22x x 22x x 22x x 22x x 2 x x2x2当 a 时，f（1）0，由 f（x）的单调性可知，当 x（ 合题意综上可知：所求实数 a 的取值范围为：（，0，1）时，f（x）0，不8设 f（x）是函数 f（x）的导函数，我们把使 f（x）x 的实数 x 叫做函数 yf（x）的好点已知函数 f（x）（）若 0 是函数 f（x）的好点，求 a；（）若函数 f（x）不存在好点，求 a 的取值

20、范围【解答】（）解：f（x）e ae （a 1）x；由 f（x）x，得 e ae （a 1）xx，即 e ae a x0；0 是函数 f（x）得好点；1a0，a1；（）解：令 g（x）e ae a x，问题转化为讨论函数 g（x）的零点问题；当 x时，g（x）+，若函数 f（x）不存在好点，等价于 g（x）没有零点， 即 g（x）的最小值大于零；g（x）2e ae a （2e +a）（e a）；若 a0，则 g（x）e0，g（x）无零点，f（x）无好点；若 a0，则由 g（x）0 得 xlna；易知；当且仅当a lna0，即 0a1 时，g（x）0； g（x）无零点，f（x）无好点；若 a0，

21、则由 g（x）0 得 故；当且仅当 ，即时，g（x）0；g（x）无零点，f（x）无好点；更多资料加群：6259723232max2maxmaxmaxmax22 11 21 22综上，a 的取值范围是9已知函数 f（x）lnx+ax +（a+2）x+2（a 为常数）（1） 讨论函数 f（x）的单调性；（2） 若 a 为整数，函数 f（x）恰好有两个零点，求 a 的值【解答】解（1）由题意 x0，f（x） 若 a0，对 x0，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）单调递增；若 a0，则 0，当 0x 时，f（x）0，x时，f（x）0，所以 f（x）在（0， ）单调递增，在（ ，+）单调递减，（2

22、）由（1）知，若函数 f（x）恰好有两个零点，则 a0，且 f（x）在 x处有极大值，也是最大值；f（x） f（）0，更多资料加群：625972323f（）ln（ ）+a（ ） +（a+2）（ ）+2ln（ ）+（ ）+1，又a 为整数且 a0，当 a1 时，且 f（x） f（）0+220，当 a2 时，且 f（x） f（当 a3 时，且 f（x） f（当 a4 时，且 f（x） f（故 a 的值为：1，2，3）ln）0，+10，0，10已知函数 f（x）xlnxax ，aR（1） 若函数 f（x）存在单调增区间，求实数 a 的取值范围；（2） 若 x ，x 为函数 f（x）的两个不同极值点，

23、证明 x x e 【解答】解：（1）函数 f（x）xlnxax ，aRf（x）lnx+12ax， 函数 f（x）存在单调增区间只需 f（x）1+lnx2ax0 有解；即 ，当 x（0，1）时 g（x）0有解令 g（x） ，g（x）11 21 21 12 21 21 21 22 213 22 222当 x（1，+）时 g（x）0当 x1 时 g（x）有最大值，g（1）1 故 2ag（1）1a时，函数 f（x）存在增区间证明：（2）要证明e ，即证明 2lnx +lnx 1，f（x）1+lnx2ax，x ，x 是方程 lnx2ax1 的两个根，即，lnx 2ax 1 ，lnx 2ax 1，即证明

24、2a（2x +x ）2，得：2a ，即证 （2x +x ）2，不妨设 x x ，则 t1，更多资料加群：625972323则证（2t+1）2，lnt 0，设 g（t）lnt，则 g（t） ；t14（t+ ） 64（1+ ） 630，g（x）0；g（t）在（1，+）单调递增，g（t）g（1）0，故 e 11已知函数 f（x） x a（x+1） ，（1） 讨论函数 f（x）的单调区间；（2） 若函数 f（x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围【解答】解（1）函数的定义域为 R，f（x）x 2a（x+1）x 2ax2a， 4a +8a4a（a+2），1） 0 时，2a0 时，f（x）0，f（x）在

25、 R 上递增（1 分）2） 当0 时，即 a2 或 a0 时，令 f（x）0，x 2ax2a0，解得， f （ x ） 在 （ ， a ；） 递 增 ，递 减 ，021 2011 221111111 212211 2220 2递增；（2）由（1）知 0 时，2a0 时，当 f（x）在 R 上递增f（1） f（1） 4a0；存在唯一零点 x （1，1）；当 a2 或 a0 时，0，1）a2 时， a+a+|a+1|；a2，a+|a+1|1，即，x 1，x x 1；f（1） 0，f（0）a0，存在零点 x （1，0）又f（x）在（，x ）递增，（x ，x ）递减，（x ，+）递增；f（x）在 xx

26、 处有极大值，f（x ）0， ，（*）又 ，将 a（x +1），得代入（*）得 ；，x 3，且 x 0；3x 1，即3a1；，解得 ；2）当 a0 时，x x 2a0，x 0x ；当 x（，0）时，又，a（x+1） 0，f（x） ，又f（x）在（，x ）递增，（x ，x ）递减，（x ，+）递增； f（0）a0，f（x ）f（0）0，又3a+22，而 f（3a+2） 3a+2）；3a+ 0，存在零点 x （x ，综上，a（）12已知函数（1）当 0m2 时，证明：f（x）只有 1 个零点；2 22（2）证明：曲线 f（x）没有经过原点的切线【解答】（1）证明：f（x）的定义域为（0，+）；令

27、g（x）x mx+1，则 4；0m2；0；g（x）0 在 x（0，+）上恒成立；f（x）在（0，+）上单调递增；f（x）至多有一个零点； ；当 0x2m 且 x1 时，f（x）0；当 x2m 且 x1 时，f（x）0；f（x）有一个零点；当 0m2 时，f（x）只有一个零点；（2）证明：假设曲线y（fx）在点（x，（fx）（）x0）处的切线经过原点，则有 ；即，化简得；令 ，则；令 h（x）0，解得 x1；当 0x1 时，h（x）0，h（x）单调递减；当 x1 时，h（x）0，h（x）单调 递增；与矛盾；曲线 yf（x）没有经过原点的切线13已知函数 f（x）4lnx+x 2mx（mR ） （

28、1）求函数 f（x）的单调区间；（2）若直线 l 为曲线的切线，求证：直线 l 与曲线不可能有 2 个切点2 221 2 1 2121211 22121 2121 21 11 2 2 21 2 11221 2【解答】解：（1）由题意，令 yx mx+2，则m 8，若 ，则0，则 f（x ）0，故函数 f（x）在（0，+）上单调递增；，若或，yxmx+2 有两个零点 x ，x ，则 x x 20，其中，；（i）若，则 x 0，x 0，此时 f（x）0，故函数 f（x）在（0，+）上单调递增；（ii）若 ，则 x 0，x 0，此时当 x（0，x ）时，f（x）0，当 x（x ，x ）时，f（x）0

29、，当 x（x ，+） 时，f（x）0，故函数 f（x）在（0，x ）和（x ，+）上单调递增，在（x ，x ）上单调递减； 综上所述，可知：1 当2 当调递减时，函数 f（x）在（0，+）上单调递增；时，函数 f（x）在（0，x ）和（x ，+）上单调递增，在（x ，x ）上单（2）证明：（反证法）假设存在一条直线与函数 y ），T （x ，y ），不妨令 0x x ，则 T 处切线 l 的方程为：的图象有两个不同的切点 T （x ，T 处切线 l 的方程为：切线 l ，l 为同一直线，所以有即 ，21 2 1 2x20 00xxx1221 2121 21 221 221 222220 0整理

30、得 消去 x 得， 令 ，由 0x x 与 x x 2，得 t（0，1），记 ，则 ，所以 p（t）为（0，1）上的单调减函数，所以 p（t）p（1）0从而式不可能成 立，所以假设不成立，即若直线 l 为曲线的切线，则直线 l 与曲线不可能有 2 个切点14已知函数 f（x）（x+1）e +2ax，aR（1） 讨论 f（x）极值点的个数（2） 若 x （x 2）是 f（x）的一个极值点，且 f（2）e ，证明：f（x ）1 【解答】（1）解：f（x）的定义域为 R，f（x）（x+2）（e +a）；若 a0，则 e +a0；当 x（，2）时，f（x）0，f（x）单调递减；当 x（2，+）时，f（

31、x） 0，f（x）单调递增；x2 是 f（x）唯一的极小值点，无极大值点，故此时 f（x）有 1 个极值点； 若 a0，令 f（x）（x+2）（e +a）0，则 x 2，x ln（a）；当 ae时，x x ，可知当 x（，x ）（x +）时，f（x）0；当 x（x ，x ）时，f（x）0；x ，x 分别是 f（x）的极大值点和极小值点，故此时 f（x）有 2 个极值点；当 ae时，x x ，f（x）0，此时 f（x）在 R 上单调递增，无极值点；当e a0 时，x x ，同理可知，f（x）有 2 个极值点；综上，当 ae时，f（x）无极值点；当 a0 时，f（x）有 1 个极值点；当 ae或e

32、 a0 时，f（x）有 2 个极值点（2）证明：若 x （x 2）是 f（x）的一个极值点，由（1）知 a（，e ）22 220t02 x2 2 x2 x（e，0）；又 f（2）e 2ae ；a（，e ）；则 x ln（a）；令 tln（a）（2，+），则ae ；又t（2，+）；t+40；令 g（t）0，得 t0；当 t（2，0）时，g（t）0，g（t）单调递增；当 t（0，+）时，g（t）0，g（t）单调递减；t0 是 g（t）唯一得极大值点，也是最大值点，即 g（t）g（0）1；fln（a）1，即 f（x ）115己知函数 f（x）（xa） e +b 在 x0 处的切线方程为 x+y10，

33、函数 g（x）x k（lnx1）（1） 求函数 f（x）的解析式；（2） 求函数 g（x）的极值；（3） 设 F（x）minf（x），g（x）（minp，q表示 p，q 中的最小值），若F（x）在 （0，+）上恰有三个零点，求实数 k 的取值范围【解答】解：（1）f（x）x +（22a）x+a 2ae ，因为 f（x）在 x0 处的切线方程为 x+y10，所以 ，解得 ，所以 f（x）（x1） e （2）g（x）的定义域为（0，+）， ，2min当 ke2 22112222 22 22200若 k0 时，则 g（x）0 在（0，+）上恒成立，所以 g（x）在（0，+）上单调递增，无极值若 k0

34、 时，则当 0xk 时，g（x）0，g（x）在（0，k）上单调递减； 当 xk 时，g（x）0，g（x）在（k，+）上单调递增；所以当 xk 时，g（x）有极小值 2kklnk，无极大值（3）因为 f（x）0 仅有一个零点 1，且 f（x）0 恒成立，所以 g（x）在（0，+） 上有仅两个不等于 1 的零点当 k0 时，由（2）知，g（x）在（0，+）上单调递增，g（x）在（0，+）上至 多一个零点，不合题意，舍去，当 0ke时，g（x） g（k）k（2lnk）0，g（x）在（0，+）无零点，当 ke时，g（x）0，当且仅当 xe 等号成立，g（x）在（0，+）仅一个零点，时，g（k）k（2ln