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1、1()2ll1()11l1()111精品文档振动力学习题集（含答案）1.1 质量为 m 的质点由长度为 l、质量为 m 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动， 如图 E1.1 所示。求系统的固有频率。lxm1m解：系统的动能为：T =其中 I 为杆关于铰点的转动惯量：图 E1.11 1 m xl& + Ix&22 2I =0m 1 dx x l 2=0m 1 1 x 2 dx = m ll 32则有：1 1 1T = ml 2 x&2+ m l 2 x&2= 3m +m l 2 6 62x&2系统的势能为：U =mgl (1-cosx )+mg (1-cosx2)利用x&=wx n和1 1 1
2、mglx 2 + m glx 2 = 2 m +m glx =2 4 4T =U可得：2w =n3(2m+m )g 2(3m+m )l1.1&B& &2 221&精品文档1.2 质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在 CA=a 的 A 点 系有两根弹性刚度系数为 k 的水平弹簧，如图 E1.2 所示。求系统的固有频率。kAakRCq图 E1.2解：如图，令 q 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T = I q2 = 21 1 3mR + mR q2= mR q2 2 2 4U =2 k (R+a)q2=k(R+a)2 2q2利用q=wqn和 T =U 可得：w
3、 =n4k (R+a)2 R +a 4 k=3mR 2 R 3m.123J2 12 23 3&()n精品文档1.3 转动惯量为 J的圆盘由三段抗扭刚度分别为k1，k2和k3的轴约束，如图 E1.3 所示。求系统的固有频率。kJk图 E1.3k解：系统的动能为：T =12q&2k 和 k 相当于串联，则有：2 3q=q +q, k 2 3以上两式联立可得：q =k2 2q3 3kq = 3k +k23q,q =3k2k +k23q系统的势能为：1 1 1 1 k (k+k )+kk U = k q2 + k q2 + k q2 = 1 2 3 2 3 q22 2 2 2 k +k2 3利用q=w
4、qn和T =U可得：k k +k (k+k w = 2 3 1 2 3J k +k2 3).12( )( )12( )0 112( )21 2 3e =1 2 3精品文档1.4 在图 E1.4 所示的系统中，已知ki(i=1,2,3),m, a 和 b，横杆质量不计。求固有频率。x1k1abk2F =ba +bmga xx0bx2k3mgmF =aa +bmg图 E1.4答案图 E1.4解：对 m进行受力分析可得：mg =k x3 3，即x =3mgk3如图可得：F mgb F mga x = 1 = , x = 2 =k a +b k k a +b k 1 1 22a (x-x ) a2 k
5、 +b 2 kx =x +x=x + 2 1 = 1 2 mga +b a +b k k1 2x =x +x = 0 3则等效弹簧刚度为：a2 k +b 2 k 1 11 2 + mg = mg a +b k k k k1 2 3 0k =e(a+b)2kkka 2 k k +b 2 k k +(a+b)2kk1 3 2 3 1 2则固有频率为：wn=k k k k (a+b)2m mk k (a+b)2+k(ka2+kb 2 )1 2 3 1 2.x02k精品文档1.7 质量 m 在倾角为 a 的光滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 m ，如图 E1.7 所1 2示。确定系统由此产生的自
6、由振动。m112kam2hxxx图 E1.7解：对 m 由能量守恒可得（其中 v 的方向为沿斜面向下）： 1 1答案图 E1.7m gh =112m v 21 1，即v = 2 gh1对整个系统由动量守恒可得：m v =(m+m )v1 1 1 2 0，即v =0m1m +m122 gh令m2引起的静变形为x2，则有：m g sin a =kx 22，即x =2m g sin2ka令 m + m 引起的静变形为 x ，同理有： 1 2 12(m+m )gsin x = 1 212得：ax =x -x = 0 12 2则系统的自由振动可表示为：m g sin1kax =x cos w t + 0
7、 nx&0wnsin w tn其中系统的固有频率为：w =nkm +m1 2注意到v0与x方向相反，得系统的自由振动为：x =x cos0w t -nv0wnsinw tn.lIq=-kqaa-cqllq+3clq+3ka00精品文档1.9 质量为 m、长为 l 的均质杆和弹簧 k 及阻尼器 c 构成振动系统，如图 E1.9 所示。 以杆偏角 q 为广义坐标，建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若在弹簧原长 处立即释手，问杆的最大振幅是多少？发生在何时？最大角速度是多少？发生在何时？是否 在过静平衡位置时？aOkckqacq&图 E1.9解：利用动量矩定理得：& &，答案图 E1.9
8、12I = ml3ml2 & 2 &2q=0，wn=3ka 2ml 23clml22=2xwn，3c 1 2 a mk x= 1 c 2m w l 3 nl mgl mg =kq a a， q =2 2ka 21.12 面积为 S、质量为 m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图 E1.12 所示。作用于薄板的阻尼力为F =md2 Sv，2S 为薄板总面积，v 为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为T0，在粘性流体中自由振动的周期为Td。求系数 m 。.n精品文档图 E1.12解：平面在液体中上下振动时：m&x&+2mSx&+kx =0wn=k 2p=m T0，w =wd n1 -x
9、2=2pTd2mS mS m2S 2=2xw x= ， x2 =m mw kn2p 2p=T Td 0k -m2S 2 1 -x2=kk -m2S 2 2pm m=k ST T0 dT 2 -T 2 d 02.1 图 E2.2 所示系统中，已知 m，c，k1，k2，F 和w 。求系统动力学方程和稳态响 0应。.22111222111()1 121 121k +k1 2222 2()21112精品文档kck x2m&x&c x&2mmxkcmckxkcxk (x-x1 1)c (x&-x&)1 1图 E2.1答案图 E2.1(a)答案图 E2.1(b)解：等价于分别为 x 和 x 的响应之和。先
10、考虑 x ，此时右端固结，系统等价为图（a），受1 2 1力为图（b），故：m&x+(k+k)x+(c+c)x&=kx+cx&1 2 1 2 1 1m&x&+cx&+kx=kAsin w +c A w cos wt1 1 1 1 1 1 1（1）c =c +c ， k =k +k1 2 12，w =nk +k1 2m（1）的解可参照释义（2.56），为：k A Y t = 1 1ksin (wt-q) (1-s2)+(2xs)2c A w+ 1 1 1kcos (wt-q) (1-s2)+(2xs)2（2）其中：w 2xs s = 1 ，q =tg -1w 1 -sn21 +(2xs)2 cw
11、 = 1 + 1 2=(k+k )2+(c+c)2w21 2 1 2 1 k +k1 2(1-s2)+(2xs)2 w2m (c+c)w = 1- 1 + 1 2 1k +k k +k1 2 1 2(k+k -mw2 )+(c+c)2w2 = 1 2 1 1 2 1k +k1 2故（2）为：x(t)=k A sin (wt-q)+cAwcos(wt-q1 1 1 1 1 1 1 1 1 k +k -mw2 +(c+c )2w21 2 1 1 2 1)=A1k 2 +c 2w2(k+k -mw2 )+(c+c1 2 1 1 2)2w21sin(wt-q+q 1 12).2()2ix精品文档q1=
12、tg-12xs1 -s2=tg-1cw (k+k ) (c+c )w 1 1 2 =tg -1 1 2 1w2m k +k -w2m 1 - 1 1 2 1k +k1 2考虑到x (t)的影响，则叠加后的 2c w q =tg -1 1 1k1x(t)为：x(t)=2i =1A k 2 +c 2w2 i i i ik +k -mw2 +(c+c1 2 i 1 2)2w2isin wt-tg -1(c+c )w c w 1 2 i +tg -1 i i k +k -w2m k 1 2 i i2.1 一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图 T 2-1 所示。已知，a=30，m = 1kg，k =
13、 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。kma0xaamg图 T 2-1答案图 T 2-1解：mg sina =kx ， x = 0 0mg sin ak=19.8 4912=0.1cmwnk 49 10 -2= = =70m 1rad/sx =x cos w t =-0.1cos 70t 0 ncm.2112 122精品文档2.2 如图 T 2-2 所示，重物 W 悬挂在刚度为 k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物1W2从高度为 h 处自由下落到W1上而无弹跳。求W2下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。kx1x12Wx0h图 T 2-2W平衡位置x答案图 T
14、 2-2解：W h =21 W2 v 2 ， v = 2 gh 2 g 2 2动量守恒：W W +W W 2 v = 1 2 v ， v = 2g g W +W1 22 gh平衡位置：W =kx ， x = 1 1 1W1kW +W =kx 1 2 12，x =12W +W1 2k故：x =x -x = 0 12 1W2kw =nk(W+W1 2)kg=g W +W1 2故：x =-x cos 0=-x cos0w t +nw t +nx&0wnv12wnsinsinw tnw tn.121222()( )()2n 精品文档2.4 在图 E2.4 所示系统中，已知 m，k1，k2，F0和w，初
15、始时物块静止且两弹簧均为原长。求物块运动规律。kkxmxk x1 1k (x-x2 2 1)k (x-x2 2 1)mF sin0wtF sin0wtm&x&2图 E2.4答案图 E2.4解：取坐标轴 x 和 x ，对连接点 A 列平衡方程：1 2-k x +k (x-x )+Fsin wt =0 1 1 2 2 1 0即：(k+k )x=k x +F sin 1 2 1 2 2 0wt（1）对 m 列运动微分方程：m&x=-k (x-x2 2 2 1)即：m&x&+kx =k x 2 2 2 2 1（2）由（1），（2）消去 x 得：1k k Fkm&x&+1 2 x = 0 2 sin k
16、 +k k +k1 2 1 2wt（3）故：w 2nk k= 1 2m k +k12)由（3）得：F k w x t = 0 2 sin wt - sin w t m k +k w2 -w2 w1 2 n n2.5 在图 E2.3 所示系统中，已知 m，c，k， F 和 w，且 t=0 时，0x =x ， x&=v 0 0，求.02精品文档系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。kmF cos0wtc图 E2.3解：x (t)=e-xwt(Ccos w t +D sin w t )+Acos (wt-qd d)FA = 0 k1(1-s2)+(2xs)2，q=tg -
17、12xs1 -s2x(0)=x=C+A cos q C =x -A cos q0 0x&(t)=-xwe-xw0t(Ccoswt+Dsinwt)0 d d+e -xw0t(-Cwsinwt +Dw cos w t )-Awsind d d d(wt-q)x&(0)=v=-xwC+Dw+Awsin0 0 dv +xwCq D = 0 0wd-Awsin qwd求出 C，D 后，代入上面第一个方程即可得。2.7 由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成 的支承上，如图 E2.7 所示。当齿轮转动角速度为w 时，偏心质量惯性力在垂直方向大小为mew2sinwt。已知偏心
18、重 W = 125.5 N，偏心距 e = 15.0 cm，支承弹簧总刚度系数 k = 967.7N/cm，测得垂直方向共振振幅X =1.07 cmm，远离共振时垂直振幅趋近常值X =0.32cm0。求支承阻尼器的阻尼比及在w =300 r min运行时机器的垂直振幅。.()22精品文档mew2sinwt12mew212mew2图 E2.7解：mex t = Ms 2(1-s2)+(2xs)2sin(wt-q)，q=tg-12xs1 -s 2s=1 时共振，振幅为：me 1X = =1.07cm 1 M 2x（1）远离共振点时，振幅为：X =2meM=0.32cm（2）由（2） M =meX2
19、由（1） x=me 1 me 1 X = = 2 =0.15 M 2 X me X 2 X 2 X1 2 1 1k ww =300 r min ， w =， s = 00M w1故：meX = Ms 2(1-s2)+(2xs)2=3.8 10-3m2.7 求图 T 2-7 中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k1及k3，悬臂梁的质量.1234121233e精品文档忽略不计。kkk1k2k3k无质量kk4mm图 T 2-7答案图 T 2-7解：k 和 k1 2为串联，等效刚度为：k kk = 1 2k +k12。（因为总变形为求和）k12和k3为并联（因为k12的变形等于k3的变形），则：k
20、123和k4k kkk +kk +k kk=k +k = 1 2123+k = 1 2 1 3 2 3 k +kk +k121 2为串联（因为总变形为求和），故：k k k k k +k k k +k k k k = 123 4 = 1 2 4 1 3 4 2 3 4k +k k k +k k +k k +k k +k k 123 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 4故：wn=kem2.9 如图 T 2-9 所示，一质量 m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，求下列情况系 统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；.2()() ()()()()2()2e精品文档（2
21、） 杆可以在铅锤平面内微幅转动；（3） 比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。x1k1k2F =1l2l +l1 2mgl1xxl2x2ml1l2mglF = 1 mgl +l1 2图 T 2-9答案图 T 2-9解：（1） 保持水平位置：（2） 微幅转动：w =nk +k1 2mx =x +x= 1F (x-x )l 1 + 2 1 1k l +l1 1 2l mg l l l = 2 + 1 1 - 2 mg l +l k l +l l +l k l +l k1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1l mg l l k -l k= 2 + 1 1 1 2 2 mgl +l k
22、 l +l l +l k k1 2 1 1 2 1 2 1 2l k (l+l )+l2k -l l k= 2 2 1 2 1 1 1 2 2 mgl +l k k1 2 1 2=l 2 k +l 2 k1 1 2 2 mg l +l k k1 2 1 2故：(l+l )2kk k = 1 2 1 2l 2 k +l 2 k 1 1 2 2wn=kem2.10 求图 T 2-10 所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。.122AA 12A精品文档kF1amglkx1xAm图 T 2-10答案图 T 2-10解：m 的位置：mgx =x +x = +xk2Amgl =F a ， F = 1
23、1mgla， x =1mglak1x a a mgl 21 = ， x = x =x l l a 2 kA 1mg mgl 2 1 l 2 x =x +x = + = + k a 2 k k a 2 k 2 1 2 1mg=a 2 k +l 2 k 1 2 mga 2 k k1 2 k =ea 2 k k1 2 a 2 k +l 2 k12，w =nkem2.11 图 T 2-11 所示是一个倒置的摆。摆球质量为 m，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为k2。（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；（2）摆球质量 m 为 0.9 kg 时，测得频率(fn)为1.5 Hz，m 为 1.8 kg 时，测得
24、频率为0.75 Hz，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？.1 1I= mlq2q2= ka- mglq2= ka-mgl q2q2q& &ka+mgl - mglq2= ka-mgl q2q21 2 3 4精品文档mk/2 k/2零平衡位置lql cosqa图 T 2-1答案图 T 2-11(1)零平衡位置答案图 T 2-11(2)解：（1）T =1 1 U =2 k 2 2 & 2 &2 2(qa)2-mgl(1-cosq)1 2 1 1 (2 ) 2 2 2利用Tmax=Umax=wq，max n maxka2 -mgl ka 2 gw =n= - = ml 2 ml 2
25、lg ka 2 -1l mgl-（2）若取下面为平衡位置，求解如下：T =1 1Iq2 = ml 2q2 2 2U =2 1 1 k 2 2 (qa)2+mglcos1q= ka22q2+mgl 1-2sin 2q2=1 2 1 1 (2 ) 2 2 2+mglddt(T+U)=0，2 ml 2q&q&+2q(ka2-mgl)q&=0ml 2q&+(ka2-mgl)q=0wn=ka2 -mglml 22.17 图 T 2-17 所示的系统中，四个弹簧均未受力，k = k = k = k = k，试问：.12341231234221221精品文档（1）若将支承缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （
26、2）若将支承突然撤去，质量块又将下落多少距离？kkkmk图 T 2-17解：k =k +k =2 k 23 2 3k k 2 k = 1 23 = kk +k 31 23k k 1 k = 123 4 = kk +k 2123 4（1）mg =k x1234 0，x =02mgk（2）x(t)=xcos 0w t ， xnmax=2 x =04mgk2.19 如图 T 2-19 所示，质量为 m 的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕 轴的转动惯量为 I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。R1IRx&mrmkk图 T 2-19解：系统动能为：.22212222
27、1 R 2 2221R2120231精品文档1 1 x& 1 1 1 x& T = m x&2+ I + m x&2+ m r 2 2 R2 2 2 2 r1 I 3 = m + + m x&2=12m x&2e系统动能为：1 1 R V = k x 2 + k 12 2 R2x 21 = 2k +k2 1R 2 1 R 22x2=12k xe2根据：Tmax=Vmax，x&max=w xn maxw 2n=R 2k +k 12 1 2I 3m + + mR 2 222.20 如图 T 2-20 所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为 I，求系统的固有频率。m2kkblam1k图 T 2-20解：系
28、统动能为：.012(1 1 11231 (1)q&nlJq=-kqaa-cqll J =，+3cl+3kaq=0q 2q 2n精品文档T =1 I q&2+1m (q&a)2+1m()q&l2 2 2 2=12I +m a0 12+m l22)q&2系统动能为：V =k (qa)2+k(ql)2+k(qb)2 2 2 2= k a22+k l22+k b32q2根据：Tmax=Vmax，=wqmax n maxk a 2 +k l 2 +k b 2w2 = 1 2 3I +m a2 +m l 20 1 22.24 一长度为 l、质量为 m 的均匀刚性杆铰接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如 图 T 2-24 所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和无阻尼固有频率的表达式。kcOkqacq&al图 T 2-24解：利用动量矩方程，有：& &2 & &ml13答案图 T 2-242mlwn=3ka 2ml 23clml22=2xwn，x=12 2 3ka 2 2a mk c = mw = m =3 3 ml 2 l 3.a&mqll