数列通项公式的求法13种和求和的七种方法.docx

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1、a +d +bq =4d =1nnn -1最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用 方法。一、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例 1：根据数列的前 4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， （2）11 , 214 9 16 , 3 , 4 , K5 10 17（3）1,23,12,2 1 2 ,K （4） , - ,5 2 33 4, - , K4 5解：（1）变形为：1011，1021，1031，1

2、041， 通项公式为：a =10nn-1（2）a =n +nnn22+1;（3）a =n2n +1;（4）a =( -1) nn +1nn +1.点评：关键是找出各项与项数 n 的关系例 10：设数列求通项公式 cnc n的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若 c =2，c =4，c =7，c =12，1 2 3 4解：设c =a +( n -1) d +bq nn -1a +b =2 q =2 = c =n +2 a +2 d +bq 2 =7 b =1n -1a +3d +bq3=12a =1例 11. 已知数列cn中，c =1b b ， c =b c +1 +b 1 +b，nn

3、 -1n1nnn其中 b 是与 n 无关的常数，且b 1。求出用 n 和 b 表示的 a 的关系式。n解析：递推公式一定可表示为c -l=b(c nn -1-l)的形式。由待定系数法知：l=bl+b1 +bb 1, l=b b b , c - =b ( c - )1 -b 2 1 -b 2 1 -b 2故 数 列c -b1 -b2是 首 项 为b b2c - = 1-b2 b2 -1， 公 比 为b的 等 比 数 列 ， 故b b 2 b n +1 c - = b n -1 =1 -b 2 b 2 -1 b 2 -1 c =nb n +1 -b b 2 -1点评：用待定系数法解题时，常先假定通

4、项公式或前 n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列a n为等差数列：则a =bn +c n，s =bn 2 +cn n（ b、为常数），若数列a n为等比数列，则a = Aqnn -1，s = Aqnn-A ( Aq 0, q 1)。二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项 若 已 知 数 列 的 前 项 和Sn与an的 关 系 ， 求 数 列an的 通 项an可 用 公 式a =S n=1 1S -S n2 n n -1求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)例 1： 已知数列a 是公差为 d 的等差数列，数列b 是公比为 q 的(qR 且 q1)的等比数列，n n若函数 f (x)

5、= (x1)2，且 a = f (d1)，a = f (d+1)，b = f (q+1)，b = f (q1)，(1)求数1 3 1 3列 a 和 b 的通项公式；n n2n33 332解：(1)a =f (d1) = (d2)2，a = f (d+1)= d 2，a a =d2(d2)2=2d，1 3 3 1d=2，a =a +(n1)d = 2(n1)；又 b = f (q+1)= q2，b =f (q1)=(q2)2， n 1 1 3b ( q -2)3 = =q2，由 qR，且 q1，得 q=2，b =bqn1 b q 21=4(2)n1例 2.等差数列an是递减数列，且a a a 2

6、 34=48 ，a +a +a 2 34=12 ，则数列的通项公式是（ ）(A)a =2 n -12 n(B)a =2 n +4 n(C)a =-2n+12 (D) a =-2n+10 n n(a +d ) a (a +d ) =48解析：设等差数列的公差位 d，由已知 3a =123，a =4 解得 ，又d =2a是递减数列， nd =-2，a =81，a =8 +( n -1)( -2) =-2n +10 n，故选(D)。例 3.已知等比数列an的首项a =1 ，公比0 q 1 ，设数列b 1n的通项为b =ann +1+an +2，求数列b的通项公式。 n解析：由题意，bn +1=an

7、+2+an +3，又an是等比数列，公比为qb a +a n +1 = n+2 n +3 b a +an n+1 n+2=q， 故 数 列bn是 等 比 数 列 ，b =a +a =a q +a q 1 2 3 1 12=q(q +1)， b =q(q +1) qn-1 =q n (q +1)n点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项 及公差公比。例 4: 已知无穷数列an的前n项和为Sn，并且a +S =1(n N * ) n n，求an的通项公式？【解析】：S =1 -a nn， an +1=Sn +1-S =a -an nn +1， an +1

8、=12an，又a =112， a =n1 n.n*nnn -1*n -1n -1nnnnQnn111*n2反思：利用相关数列an与Sn的关系：a =S1 1,a =S -S n nn -1( n 2)与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练 1.已知数列an的前 n 项和 S ，满足关系nlg(S+1)=n ( n =1,2 ).试证数列an是等比数列.例 5：已知数列a前n项的和为 s n n32a 3，求这个数列的通项公式。 n分析：用 a 替换 s -s n nn -1(n 2)得到数列项与项的递推关系来求。解：Qa =132a -3,1a =61Qsn32a 3 （n N

9、） nsn -132a 3 (n 2 且 n N *) n -1 得：a n3 3a a2 2n -1123 a a a ，即 n2 an -13(n2 且 nN )数列a是以a =6，公比 q 为 3 的等比数列. n 1a a q 6 3 2 3 。 n 1例 6：已知正项数列a中，s 1 （a + 1 ），求数列2 ana的通项公式. n分析：用 s -s nn -1(n2)替换 a 得到数列nsn与sn -1的递推关系来求较易。1 1 1 1 解 s （a + ）， a = ( a + ) a =12 a 2 an 1又 a s sn nn -1(n 2 且 n N )1s （s s

10、n n -11s -snn -1）2s s sn nn -11s -snn -1s snn -11s -snn -1sn2sn -121 (n2 且 nN *)数列s2是以a n21=1 为首项，公差为 1 的等差数列。sn21（n1） 1n，即 s nn，当 n2 时，s snn -1a nnn -1将 n1 代入上式得 a n n -1n练习：数列a n前 n 项和为 S ，已知 a 5 S 3（n n nn N *）,求 an例 2已知数列an的前n项和Sn满足S =2a +( -1) n , n 1 n n求数列an的通项公式.已知数列an的前n项和Sn满足Sn=n2+n -1，求数列

11、a的通项公式. n已 知 等 比 数 列an的 首 项a =11， 公 比0 q 1， 设 数 列bn的 通 项 为b =ann +1+an +2，求数列b的通项公式。 n解析：由题意，bn +1=an +2+an +3，又an是等比数列，公比为qb a +a n +1 = n+2 n +3 b a +an n+1 n+2=q，故数列b是等比数列， nb =a +a =a q +a q 1 2 3 1 12=q(q +1)，b =q(q +1) q nn -1=q n (q +1)例 7：数列an前n项和S =4 -a - n n21n -2.（1）求a与 a 的关系；（2）求通项公式 a .

12、 n +1 n n解：（1）由S =4 -a - n n21n -2得：S =4 -a - n +1 n +121n -1于是Sn +1-S =( a -an nn +1) +(21n -2-21n -1)n +1n2所以an +1=a -ann +1+21 1 1 a = a +n -1 2 2 n.（2）应用类型 4（an +1= pa +qnn（其中 p，q 均为常数，( pq ( p -1)( q -1) 0)）的方法，上式两边同乘以2n +1得：2n +1an +1=2 n a +2 n由a =S =4 -a - 1 1 1121-2 a =11. 于是数列nan是以 2 为首项，

13、2 为公差的等差数列，所以2na =2 +2( n -1) =2n a = n n2nn -1三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列 的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。四、累加（乘）法对于形如an +1=a + f ( n) n型或形如an +1= f ( n) an型的数列，我们可以根据递推公式，写出 n取 1 到 n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。累 加 法 ： 求 形 如an +1=an f(n) 的 递 推 数 列 的 通 项 公 式 的 基 本 方 法

14、 。 把 原 递 推 公 式 转 化 为an +1-a = f ( n ) n，（其中 f(n)能求前 n 项和即可）利用a =a +( a -a ) +(a-a n 1 2 1 nn -1)求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如an +1=a + f ( n ) n的递推数列通项公式的基本方法（f ( n)可求前n项和）.()例 1.已知数列a 中， a =29, a =a n 1 nn -1+2 n -1,( n 2, n N *),求这个数列的通项公式。分析：由已知a =ann -1+2 n -1，得a -ann -1=2 n -1，注意到数列a的递推公式的形式与等差 n数列的递推公

15、式类似，因而，可累加法求数列的通项。解：数列a 中， a =29, a =a n 1 nn -1+2 n -1,( n 2, n N *)，可得：a -a =2 2 -1 2 1a -a =2 3 -1 3 2a -a =2 4 -1 4 3. .a -ann -1=2 n -1( n 2, n N *)以上各式相加，a -a =(2 21）（ 2 3-1)+.+2n-1 n 1 a =a +2 (2 +3 +4 +.) -( n -1) n 1整理得a =n 2 +28 n 2且n N * n将 n1 代入上式得a =nn2+28例 2 已知数列a n满足an +1=a +2 n +1，a

16、=1n 1，求数列a n的通项公式。解：由an +1=a +2 n +1 n得an +1-a =2n +1 n则a =( a -a ) +( a -a ) + +( a -a ) +( a -a ) +an n n -1 n -1 n -2 3 2 2 1 1=2( n -1) +1 +2( n -2) +1 + +(2 2 +1) +(2 1+1) +1 =2(n -1) +( n -2) + +2 +1 +( n -1) +1( n -1)n=2 +( n -1) +12=( n -1)(n +1) +1=n2所以数列a n的通项公式为a =nn2。评注：本题解题的关键是把递推关系式an

17、+1=a +2 n +1 n转化为an +1-a =2 n +1 n，进而求出( a -a ) +( a n n -1n -1-an -2) + +( a -a ) +( a -a ) +a3 2 2 1 1，即得数列a n的通项公式n2例 1:已知数列an满足a =112，a =a +n +1 n1n 2 +n，求 a 。n解：由条件知：an +1-a =nn21 1 1 1= = - +n n ( n +1) n n +1分 别 令n =1,2,3,(n-1)， 代 入 上 式 得( n -1)个 等 式 累 加 之 ， 即( a -a ) +( a -a ) +( a -a ) +(a-

18、a 2 1 3 2 4 3 nn -11 1 1 1 1 1 1 =(1 - ) +( - ) +( - ) +(-)2 2 3 3 4 n -1 n 1 1 1 3 1Q a =， a = +1 - = -12 2 n 2 n)所以a -a =1 - n 11n练习：已知数列a n中，a =3, a1n1=a +2 n ,( n N *) n，求an例 2：已知数列 6，9，14，21，30，求此数列的一个通项。解易 知 a -a =2 n -1,n n -1 a -a =3, a -a =5, a -a =7,2 1 3 2 4 3 a -ann -1=2 n -1,各式相加得 a -a

19、=3 +5 +7 +L+(2 n -1)n 1 a =nn2+5 ( n N )点评：一般地，对于型如an +1=a + f ( n ) n类的通项公式，只要f (1) + f (2) +L+ f ( n )能进行求和，则宜采用此方法求解。例 3. 若在数列an中，a =3 ， a 1n +1=a +n ，求通项 a 。 n n解析 ：由an +1=a +n 得 a nn +1-a =n ，所以 a -a =n -1 ， a -a =n -2 n n n -1 n -1 n -2，a -a =1 2 1，将以上各式相加得：a -a =( n -1) +( n -2) +1 n 1，又a =3

20、所以 a = 1 nn( n -1) 2+3例 4 已知无穷数列an的的通项公式是a =n1 n，若数列b满足b =1 ， ( n 1) n 1，求数列b的通项公式. nn n22n 2n1n1【解析】：b =11,bn +11 -b = ( n 1) 2 , b =b +(b -b ) +(b-b) n 1 2 1 n n -11=1+ +2+1 n-1=2 -1 n -1.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为an +1=a + f ( n ) n.跟踪训练 3.已知a =112,1 a =a + ( n N * ) n +1 n,求数列an通项公式.已知数列a 满足 a nn

21、+1=a +2 3 nn+1，a =3 ，求数列 a 1 n的通项公式例4.若在数列an中，a =31，an +1=a +nn，求通项an。累乘法：求形如an +1=g(n) an的递推数列通项公式的基本方法。（其中g(n)可求前 n 项积即可）。利用恒等式a a aa =a 2 3 n( a 0, n 2) a a a1 2 n -1求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:an +1=g ( n) an的递推数列通项公式的基本方法(数列g (n )可求前 n 项积).例 1.若满足a na =1, n +1 = (n N *), a n +1n求这个数列的通项公式。1*nnn2分析：由a

22、 nn +1 =a n +1n知数列a不是等比数列，但其递推公式的形式与等比数列递推公式类似， n因而，可累加法求数列的通项。解：a na =1, n +1 = (n N *), a n +1na2a1a3a2. .=1223aann - 1=n - 1n(n 2 且 N*)以上各式相乘得：a 1 2 3 n -1 n = . a 2 3 4 n 1 a =n1n( n 2且 n N )将 n1 代入上式得a =n1n变式练习：设an是首项为1 的正数组成的数列，且( n +1)a2n +1-na2n+aa =0( n =1，2，) n +1 n，则它的通项公式为a =n例 2：在数列a 中，

23、 a =1, (n+1)1an +1=na ，求 an的表达式。解：由 (n+1)an +1=n a n a a a 得 n +1 = ， n = 2a n +1 a a n 1 1aa32a a 1 2 3 n -1 1 4 n = L =a a 2 3 4 n n 3 n -1所以a =n1n例 3 已知数列an中，a =113，前n项和S与 an n的关系是S =n(2n -1) a nn，试求通项公式an。解析：首先由S =n(2n -1) a nn易求的递推公式：(2 n +1) a =(2n -3) ann -1a 2 n -3 , n =a 2n +1 n -1a 2n -5 a

24、 1 n -1 = LLL =a 2n -1 a 5 n -2 1将上面 n1 个等式相乘得：nnn 1n1a (2 n -3)(2 n -5)(2 n -7) L 3 1 3n = =a (2 n +1)(2 n -1)(2n -3) L 7 5 (2n +1)(2 n -1) 11 a = .(2 n +1(2 n -1)点评：一般地，对于型如an +1=f(n)an类的通项公式，当f (1) f (2) L f ( n )的值可以求得时，宜采用此方法。例四 已知a =1 , a =n ( a 1 nn +1-a ) ( n N n*),求数列an通项公式.【解析】：a =n ( a nn

25、 +1a n +1 a a a-a ) , n +1 = ,又有 a =a 2 3 n( a 0, n 2) a n a a an 1 2 n -1=12 3 1 2nn-1=n,当n =1时a =11，满足a =nn， a =nn.例 3:已知a =3 ， a 1n +1=3n -13n +2a ( n 1) ，求 a 。 n n解：a =n3( n -1) -1 3( n -2) -1 3 2 -1 3 -1 a3( n -1) +2 3( n -2) +2 3 2 +2 3 +2=3n -4 3n -7 3n -1 3n -45 2 6 3=8 5 3n -1。变式:（2004，全国 I

26、,）已知数列a ，满足 a =1，n 1a =a +2 a +3a +(n-1)a n 1 2 3n -1(n2)，则a 的通项 n1a =n _n =1n 2解：由已知，得an +1=a +2 a +3a +(n-1)a 1 2 3n -1+nan，用此式减去已知式，得当n 2时，an +1-a =nan n，即a =( n +1) a n +1n，又a =a =1 2 1， a =1,1a a a a 2 =1, 3 =3, 4 =4,na a a a 1 2 3 n -1=n，将以上 n 个式子相乘，得a =nn!2nn1n11例 3 已知数列a n满足an +1=2( n +1)5n

27、a ， a =3n 1，求数列a n的通项公式。解：因为an +1=2( n +1)5naa ，a =3 ，所以 a 0 ，则 n +1 =2( n +1)5nan，故a a a = n n -1 a a n -1 n -2a a 3 2 aa a2 1=2( n -1+1)5n -12( n -2 +1)5n -2 2(2 +1) 522(1 +1) 51 3=2 n -1 n( n -1) 325( n -1) +(n -2) +2+13=3 2n -15n ( n -1) 2n !所以数列a n的通项公式为a =3 2 n -1 5 nn ( n -1) 2n !.评注：本题解题的关键是把递推关系an +1=2( n +1)5nan转化为an +1 =2( n +1)5n an，进而求出a a n n -1 a a n -1 n -2a a 3 2 aa a2 1，即得数列a n的通项公式。变式：已知数列a n满足a =1， a =a +2 a +3a + 1 n 1 2 3+( n -1)a ( n 2)n -1，求a n的通项公式。反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为an +1=g ( n) an