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1、如图，已知在直角ABC 中，C=90，BD 平分ABC 且交 AC 于点 D。（1） 若BAC=30，求证：AD=BD ；（2） 若 AP 平分BAC 且交 BD 于 P，求BPA 的度数。解：（1）BAC= 30，C=90，ABC= 60，BD 平分ABC，ABD= 30，ABD=BAD，AD= BD；（2）BPA= 180-ABP-BAP=180- ABC- BAC=180- （ABC+BAC）=180- 90=135。如图，在ABC 中，B=22.5，边 AB 的垂直平分线交 BC 于 D，DFAC 于 F，并与 BC 边上的高 AE 交于 G求 证：EG=EC 证明：连接 AD，边 A
2、B 的垂直平分线交 BC 于 D，BD=AD，B=BAD=22.5，ADE=22.5+22.5=45，AEBC，AEC=AED=90，DAE=45=ADE，DE=AE，DFAC，DFC=90=AEC，ACE+FDC=90，ACD+CAE=90，CAE=FDC，在DEG 和AEC 中DEAAECDEAEGDECAEDEGAEC（ASA），EG=EC如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3 （1）若 AC=BC，求 BC 的长；（2）若ABD 的周长为 13， ABC 的周长解：（1）DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3， AC=2AE=6，AC=BC=6 ，BC 的长是 6（
3、2）DE 是 AC 的垂直平分线，AE=3，AD=DC ，AC=2AE=6，LABD= 13，AB+AD+BD=13 ，AB+CD+DC=13 ，即 AB+BC=13，LABC=AB+BC+AC=13+6=19答：ABC 的周长是 19ADEABCE已知：如图所示，在 和 中， AB =AC AD =AE ， BAC =DAE ，且点 B，A，D 在一条直线上，连接 BE，CD，M，N 分别为 BE，CD 的中点 求证： BE =CD ； AMN 是等腰三角形CABD，ACE 都是正三角形 AD=AB，DAB=EAC=60，AC=AE ， DAC=EABDACBAE（SAS）DC=BE，ADC
4、=ABE，AEB=ACD，NEBOC=CDB+DBEM=CDB+DBA+ABEBAD=ADC+CDB+DBA=120。（1）证明：BAC= DAE，BAE= CAD，AB=AC ，AD=AE，ABE ACD（SAS），BE=CD ABE ACD，ABE= ACD，BE=CD，M、N 分别是 BE，CD 的中点，BM=CN 又AB=AC ，ABM ACNAM=AN ，即AMN 为等腰三角形如图，在 ABC 中， D 是 BC 边上的一点， 是 AD 的中点，过 A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F ， 且 AF = BD ，连结 BF 求证： D 是 BC 的中点E已知在ABC 中，
5、BA=BC，B=120，AB 的垂直平分线 DF 交 AC 于 D， 求证： DC=2ADBEA D C解：连结 BD ，由 DE 是 AB 的垂直平分线可知 AD=BD， 又ABC=120，A=C=30，ABD=30， CBD=120-30=90。在 Rt CBD 中，DC=2BD。所以 DC= 2AD 。如图，在ABC 中，已知 AB=AC，BAC=90，D 是 BC 上一 点，ECBC，EC=BD，DF=FE求证：FAE（1）ABDACE； （2）AFDEBD证明：AF BC， AFE= DCE， E 是 AD 的中点， AE=DE ，AEF= DEC， AEF DEC， AF=DC ，AF=BD ，BD=CD ，D 是 BC 的中点。C证明：（1）AB=AC，BAC=90 ， B=BCA=45又ECBC，ACE=90-45=45B=ACE在ABD 与ACE 中ABACBACEDBEC如图，ABD，ACE 都是正三角形，BE 和 CD 交于 O 点， 则BOC。ABDACE（SAS） （2）由（1）知ABDACE AD=AE等腰ADE 中，DF=EF， AFDE