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1、第28讲期末复习训练（1）考点精讲精练二次根式二次根式:式子a（a0）叫做二次根式概念最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式（1）ab=agb（a0，b0）（2）a=（a0，b0）二次根式性质a=（a0，b0）bb（3）(a)2=a（a0）（4）a2=|a|=a(a0)-a(a0)2（5）当a0时，（a）=a2加减法：合并同类二次根式运算乘法：ab=ab(a0，b0)除法：aabb考点一、二次根式的基本概念【典型例题】例1、二次根式12、12、30、x+2、40x2、x2+y
2、2中，最简二次根式有例4、若实数a、b满足a+2+b-4=0，则=（）个。A、1个B、2个C、3个D、4个例2、若式子x-2有意义，则x的取值范围为（）x-3A、x2B、x3C、x2或x3D、x2且x3例3、二次根式a-1中的字母a的取值范围是_ab例5、计算(3-p)2的值是（）A、3-pB、0.14C、p-3D、(3-p)2例6、下面四组二次根式中，同类二次根式是（）B、a5b3和319b(c+1)4A、-和1618aC、y+和625(x+y)D、125(c+1)3与x75xyc+1b例7、如果最简根式2a+32a+5b和3b+2a-2b+8是同类根式，那么a、的值分别是（）A、a1，b1
3、B、a1，b1C、a1，b1D、a1，b1举一反三：1、若1-3x在实数范围内有意义，则x的取值范围是.2、如果-1是二次根式，那么x应满足的条件是（2-x）A、x2的实数B、x2的实数C、x2的实数D、x0且x2的实数3、在12、2x3、0.5中、x2-y2、37x中，最简二次根式的个数有（）A、4B、3C、2D、14、a,b,c是ABC的三边长,满足关系式c2-a2-b2+|a-b|=0,则ABC的形状为.5、1的算术平方根是（）161111A、B、-C、D、44226、当m时，最简二次根式考点二、二次根式的性质及运算【典型例题】例1、下列计算正确的是（）123m+1和42-m是同类二次根
4、式。A、2(-13)=-13B、32-22=1C、-35+5=-25D、36=62+1,则x2+2x+1等于（例2、若x=1）+3(3-1)-30-3-2=例3、48-例5、已知，且x为偶数，求(1+x)的值A、2B、2+2C、2D、2-13-13例4、已知a=3-2，b=3+2，分别求下列代数式的值。（1）、ab（2）、a2+ab+b29-x9-xx2-2x+1=x-6x-6x2-1举一反三：1、将(c-1)-1中的根号外的因式移入根号内后为（）c-1A、1-cB、c-1C、-c-1D、-1-c2、小明在计算时遇到以下情况，结果正确的是（）(-4)(-9)B、-36A、-4-9=-36=-4
5、-4(a)=a(a0)C、2D、以上都不是3、计算：()(6+5)20182018_。2+1-4、3-2+123+1110.03-1-3+27335、-(b2-4ac0)-b+b2-4ac-b-b2-4ac2a2aaa-b-ba+b6、已知a-b=1+2，b-c=1-2。求：a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。勾股定理1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股定理应用：1
6、、面积问题2、求长度问题4、最短距离问题3、折叠问题5、航海问题6、网格问题勾股定理中的转化思想：在解决实际的应用问题上，通常将实际问题中的“形”抽象简化为形象的数学问题中的“数”的问题，在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。4、命题与逆命题：考点一、勾股定理【典型例题】例1、如图，在ABC中，A=45，B=30，CDAB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A、2B、C、D、例2、如图,ABCDCE都是边长为4的等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,连接BD,则
7、BD长（）A、3B、23C、33D、43（例2）（例3）例3、如图是一直角三角形纸片，A30，BC4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图，再将图沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的点A处，如图，则折痕DE的长为（）8A、3cmB、23cmC、22cmD、3cm例4、如图，有两条公路OM，ON相交成30角沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时（1）求对学校A的噪声影响最大时卡
8、车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间例5、已知：ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中PCQ=90，探究并解决下列问题：（1）如图，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：线段PB=，PC=；猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值（提示：请利用备用图进行探求）举一反三：1、在等腰ABC中，AB=5，底边BC=8，则下列说法中正确的有（）（1）AC=AB；（
9、2）ABC=6；（3ABC底边上的中线为4；（4）若底边中线为ADABDACDA、1个B、2个C、3个D、4个22、如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB，CD分别是两底面的直径若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是_(结果保留根号)3、在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=60，D=150，四边形周长为32，求BC和CD的长度4、在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h，并在离该公路100m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60方
10、向上，点C在点A的北偏东45方向上另外一条公路在y轴上，AO为其中的一段(1)求点B和点C的坐标；(2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15s，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：31.7)5、如图，在RtABC中，ACB90，AB5cm，AC3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒(1)求BC边的长；(2)ABP为直角三角形时，借助图求t的值；(3)ABP为等腰三角形时，借助图求t的值考点二、勾股定理逆定理【典型例题】例1、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（）A、7，24，25B、3,4,511221
11、2C、3，4，5D、4,71,8122例2、下图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成直角三角形个CADB例3、观察下面几组勾股数，并寻找规律：4，3，5；6，8，10；8，15，17；10，24，26；请你根据规律写出第组勾股数是例4、如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、23、2，且ABBC，求BAD的度数。例5、如图所示，在ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长举一反三：1、若三角形的三边a，b，c满足a2b2c2506a8b10c，则此三角形是_三角形，面积为_2、
12、等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（）A、8个B、10个C、11个D、12个3、如图，AB=5，AC=3，BC边上的中线AD=2，则ABC的面积为.4、当a、b、c为何值时，代数式a-3+b2+c2-10b-8c+6有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积5、（1）如图所示，P是等边ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将BAP绕B点顺时针旋转60BCQ，连接PQ若PA2+PB2=PC2，证明PQC=90；（2）如图所示，P是等腰直角ABC（ABC=90）内的一点，连接PA、PB、PC，将BAP绕B点顺时针旋转90BCQ，连接PQ当PA、PB、PC满足
13、什么条件时，PQC=90？请说明平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；判定方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；判定方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；判定方法4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三角形中位线：三角形中位线的定义：连结三角形两边_叫做三角形的中位线三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于
14、第三边的一半考点一、平行四边形的性质【典型例题】例1、若平行四边形的一边长为,则它的两条对角线长可以是（）A、12和2B、3和4C、4和6D、4和8例2、在平行四边形ABCD中，A：B：C：D的值可以是（）A、1：2：3：4B、1：2：2：1C、1：2：1：2D、1：1：2：2例3、如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AC=6，DB=8，则四边形ABCD是的周长为。例4、如图，在ABCD中，点P是AB的中点，PQAC交BC于Q，则图中与APC面积相等的三角形有个（例3）（例4）例5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,经过点O的直线交AB于E
15、，交CD于F，求证：OE=OF.DFCAOEB举一反三：1、如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=4，AC的垂直平分线交AD于点ECDE的周长为2、如图，在ABCD中，过点C作CEAB，垂足为E，若BCE=42，则D度数是（）A、42B、48C、58D、138（1）（2）3、平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点OBOC的周长比AOB的周长大2cm，则CDcm。4、如图，已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且BDCD，若AD=13，CD=5，则BO的长度为5、已知：在平行四边形ABCD中，AEBC，垂足为E，CECD，点F为CE的中点，点G为CD
16、上的一点，连结DF，EG，AG，12.(1)若CF2，AE3，求BE的长；1(2)求证：CEG2AGE.考点二、平行四边形的判定【典型例题】例1、四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A、ABDC,ADBCB、AB=DC,AD=BCC、AO=CO,BO=DOD、ABDC,AD=BCE例2、如图，已知在四边形ABCD中，ABCD，AB=CD，为AB上一点，过点E作EFBC，交CD于点F，G为AD上一点，H为BC上一点，连接CG，AH若GD=BH，则图中的平行四边形有（）A、2个B、3个C、4个D、6个（例1）（例2）例3、不能判断四边形ABC
17、D是平行四边形的是（）A、AB=CD，AD=BCB、AB=CD，ABCDC、AB=CD，ADBCD、ABCD，ADBC例4、如图3-34所示，E，F分别为平行四边形ABCD中AD，BC的中点，G，H在BD上，且BGDH，求证四边形EGFH是平行四边形例5、如图1OAB中，OAB=90，AOB=30，OB=8以OB为边，在OAB外作等边OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长举一反三：1、下列条件不能识别一个四边形是平行四边形的是（）A、一组对边平行且相等B、两组对
18、边分别相等C、对角线互相平分D、一组对边平行，另一组对边相等2、如图，已知在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（）A、BE=DFBAFBD，CEBDC、BAE=DCFD、AF=CE3、已知：如图，在ABC中，BCA90，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且CDFA；（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2）BC3AB5，四边形EBFD的周长为22，求DE的长。4、已知，如图，在ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AECF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN.(1)求证：AEMCFN；(2)求
19、证：四边形BMDN是平行四边形5、已知：如图，在ABC中，D是BC的中点，CEAD如果AC=2，CE=4（1）求证：四边形ACED是平行四边形；（2）求四边形ACEB的周长；（3）直接写出CE和AD之间的距离考点三、三角形中位线【典型例题】例1、如果等边三角形的边长为3，那么连结各边中点所成的三角形的周长为（）A、9B、6C、3D、92例2、如图，点D，E分别为ABC的边AB，BC的中点，若DE=3cm，则AC=cm例3、如图，四边形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为
20、（例2）（例3）例4、如图，ABC中，M是BC的中点，AD是A的平分线，BDAD于D，AB=12，AC=18，求DM的长。例5ABC中，D是ABC的BC边上的中点，F是AD的中点，BF的延长线交AC1于点E求证：AE=CE2举一反三：1、如图，点D、E、F分别是ABC各边的中点，连接DE、EF、DF若ABC的周长为10DEF的周长为2、如图，已知在正方形ABCD中，连接BD并延长至点E，连接CE，F、G分别为BE，CE的中点，连接FG，若AB=6，则FG的长度为（1）（2）3、如图，点A，B为定点，定直线lAB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各值：线段MN的长；PAB的
21、周长；PMN的面积；直线MN，AB之间的距离；APB的大小其中会随点P的移动而变化的是（）A、B、C、D、4、如图，已知BD，CE分别是ABC的外角平分线，过点A分别作BD，CE的垂线，交1BD，CE于点F，G，交直线BC于点M，N求证：FGMN，FG=（AB+BC+AC）25、如图，D，E，F分别是正三角形ABC的边AB，BC，AC的中点，P为BC上任意一点，DPM为正三角形求证：PE=FM特殊平行四边形矩形定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。判定方法：定义：有一个角是直角的平行
22、四边形是矩形；判定方法1：有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：对角线相等的平行四边形是矩形直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。考点一、矩形的性质【典型例题】例1、一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（1，1），（1，2），（3，1），则第四个顶点的坐标为（）A、（2，2）B、（3，2）C、（3，3）D、（2，3）例2、在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AOB=60，AC=10，则AB=例3、如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B处，若AE=2，DE=6，EFB=60，则矩形ABCD的面积是（）A、12B、24C、123D、1
23、63例4、重庆一中初二年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（2018重庆校级模拟）下列矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成，其中，第个矩形的周长为6，第个矩形的周长为10，第个矩形的周长为16，则第个矩形的周长为（）A、42B、46C、68D、72例5、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B的位置，AB与CD交于点E（1）试找出一个与AED全等的三角形，并加以证明；P（2）若AB=8，DE=3，为线段AC上的任意一点，PGAE于G，PHEC于H，试求PG+PH的值，并说明理由A、3B、15举一反三：1、矩形各内角的平分线能围成一个（）A、矩形B、菱形C、等腰梯形D、
24、正方形2、矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120，AB5cm，则矩形的对角线长是（）A、5cmB、10cmC、25cmD、2.5cm3、如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C处，BC交AD于点E，则线段DE的长为（）15C、5D、424、如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，且AE=BC，DFAE，垂足是F，连接DE求证：（1）DF=AB；（2）DE是FDC的平分线5、如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH3cm，EF4cm，求AD的长考点二、矩形
25、的判定【典型例题】例1、如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A、ABCDB、AB=CDC、ACBDD、AC=BD例2、如图所示，过矩形ABCD的对角线BD上一点K，分别作矩形两边的平行线MN与PQ，则矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1_S2（填：“”“”或“=”）（例1）（例2）例3、如图,在菱形ABCD中,AB=2,DAB=60,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点(不与点A重合),延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形.(2)当AM为何值时,四边
26、形AMDN是矩形?请说明理由.例4、如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由例5、如图，已知EABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F（1）求证：ABEFCE（2）连接AC、BF，若AEC=2ABC，求证：四边形ABFC为矩形举一反三：1、在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A、AB=CD，AD=BC，AC
27、=BDB、AO=CO，BO=DO，A=90C、A=C，B+C=180，ACBDD、A=B=90，AC=BD2、如图，已知在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，连接AC，BD，AC与BD交于点O，若AO=BO，AD=3，AB=2，则四边形ABCD的面积为（）A、4B、5C、6D、73、如图，在四边形ABCD中，ADBC，D=90，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是（写出一种情况即可）。（2）（3）4、如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OEBC.5、如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且ABC+ADC=180（1）求证：四边形ABCD是矩形（2）DFAC，若ADF：FDC=3：2，则BDF的度数是多少？