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1、正有理数正分数负整数负有理数负分数 分数负分数,.初一总复习一、有理数1. 代数式：用运算符号 连接数及字母的式子称为代数式（单独一个 数或一个字母也是代数式）1. 几个重要的代数式（：m、n表示整数）（1） a 与 b 的平方差是： a2-b2 ； a 与 b 差的平方是：（a-b）2 ；（2） 若 a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b , 则三位整数是： 100a+10b+c；（3）若 m、n 是整数，则被5 除商 m 余 n 的数是：5m+n奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1 ；偶数是：2n ，一、有理数1.有理数：(1)凡能写成qp(p, q为整数且
2、p0)形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是 负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；p不是有理数；(2)有理数的分类: 正整数 有理数 零 有理数 正整数 整数 零负整数正分数 或 -a (a 0) a (a 0) 0 (a =0) a =-a (a 0；aa=-1 a 0；(4) |a|是重要的非负数，即|a|0；注意：|a|b|=|ab|,ab=ab.5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大（2；）正数永远比0大，负数永远比0 小；（3）正数大于一切负数（4；）两个负数比大小，绝对值大
3、a,.的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大（6；）大数-小 数 0，小数-大数 0.6.互为倒数：乘积为1 的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a0，那么的倒数是1a；倒数是本身的数是1；若ab=1 a、b 互为倒数；若ab=-1 a、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1） 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2） 异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值；（3） 一个数与0 相加，仍得这个数.8有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律（：a+b）+c=a+（b+c）.9有理数减法法则：减去一
4、个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）. 10 有理数乘法法则：（1） 两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2） 任何数同零相乘都得零；（3） 几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由 负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：,.（1）交换律：ab=ba；（2）结合律：（ab）c=a（bc）；（3）分配律：a（b+c） =ab+ac .12有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数注；意：零不能做除数， a即 无意义 .013有理数乘方的法则：（1） 正数的任何次幂都是正数；（2） 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为
5、正奇数时:(-a)n=-an 或 (a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为 正 偶 数 时 : (-a)n =an或(a-b)n=(b-a)n.14乘方的定义：（1） 求相同因式积的运算，叫做乘方；（2） 乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫 做幂；（3）a2是重要的非负数，即a20；若 a2+|b|=0 a=0,b=0；15科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a10n只有一位的数，这种记数法叫科学记数.法的形式，其中a 是整数数位16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确 到那一位.1、若,.17. 有效数字：从左边第一个不
6、为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都 叫这个近似数的有效数字.18. 混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准 确，是数学计算的最重要的原则.19. 特殊值法：用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的方,但法 不能用于证明.【典型例题解析1】：ab f 0, 则| a | | b | | ab | + -a b ab的值等于多少？2 如果m 是大于 1 的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方3 、已知两数a、 b 互为相反数，c、 d 互为倒数，x的绝对值是 2 ，求x 2 -( a +b +cd ) x +(
7、 a +b ) 2006 +( -cd )2007的值。4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么|a -b | +| a +b | 简的结果等于（化A.2aB.-2aC.0 D.2b5、已知( a -3)2+| b -2 |=0 ，求a b 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.66、有 3 个有理数a,b,c，两两不等，那么a -b , b -c , c -ab -c c -a a -b中有几个负数？a +b| a -b |,.7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b, a的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求 2006 2007。8、三个有理数a
8、, b, c的积为负数，和为正数，且X =a b c | ab | | bc | | ac | + + + + +| a | | b | | c | ab bc ac则ax3+bx2+cx +1的值是多少？9、9、若a , b, c为整数，且 2007+| c -a |2007=1 ，试求| c -a | +| a -b | +| b -c |的值。【典型例题解析2】：1、 （1）若-2 a 0 ，化简| a +2 | +| a -2 |（2）若 x p 0 ，化简 | x | -2x | x -3 | -| x |2、设a p 0 ，且 x a| a |，试化简| x +1| -| x -2
9、 |3、 a 、 b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）| a +b |=|a | +| b |;（2）| ab |=|a | b |;（3）| a -b |=|b -a |;（4）若| a |=b 则 a =b7、设9.( a -1)(b -a ) +( a +b)22006,.（5）若| a |p | b |，则a p b（6）若a f b ，则| a |f | b |3、若| x +5 | +| x -2 |=7 ，求 x 的取值范围。4、不 相 等 的 有 理 数a, b, c在 数 轴 上 的 对 应 点 分 别 为 A 、 B 、 C ， 如 果| a -b |
10、 +| b -c |=|a -c |，那么 B 点在 A、C 的什么位置？5、设a p b p c p d ，求| x -a | +| x -b | +| x -c | +| x -d |的最小值。6、 abcde 是一个五位数，a p b p c p d p e ，求| a -b | +| b -c | +| c -d | +| d -e |的最大值。a , a , a , L , a 1 2 32006都是有理数，令M =( a +a +a +L +a1 2 32005)( a +a +a +L +a 2 3 4小。2006) , N =( a +a +a +L +a1 2 32006)
11、( a +a +a +L +a 2 3 42005),试比较 M、N的大10如果 2+| b +2 |=0，求代数式2 ab +( a +b ) 2005的值。11 若 a 、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求 的值。a2 -b 2 +1cd(1-2 m +m 2 )【备用练习题3】：N =+= = =K2a+,.1、已知ab =1 ，比较 M、N 的大小。M =1 1 ， a b 1 +a 1 +b 1 +a 1 +b。2、已知x 2 -x -1 =0 ，求 x 3 -2 x +1的值。3、已知 x y z y +z x +z x +y，求 K 的值。4、a =355,
12、b =444, c =533，比较a , b, c的大小。5、已知2-3a -5 =0 ，求4a4-12 a3+9 a2-10的值。综合练习（一）1、若 x -y x +y=5，求 x -y 5 x +5 y 2 x +2 y 3 x -3 y的值。6、若P -cd +,.2、已知| x +y -9 |与(2 x -y +3)2互为相反数，求y x 。3、已知| x -2 | +x -2 =0 ，求 x 的范围。4、判断代数式| x -| x |x的正负。5、若| abcd | =-1，求| a | +| b | +| c | +| d | abcd a b c d的值。| ab -2 | +
13、(b -1)2 =0，求1ab+1 1 1+ +L( a +1)(b +1) ( a +2)(b +2) ( a +2007)( b +2007)7、已知-2 px p 3 ，化简| x +2 | -| x -3|8、已知a, b 互为相反数，c, d 互为倒数，m 的绝对值等于2，P 是数轴上的表示原点的数，求 1000a +babcd+m2的值。9、 中应填入什么数时，才能使|2006 W-2006 |=20062a =-b =-c =-P =,.10、化a, b, c在数轴上的位置如图所示，简 ：| a +b | +| b -1| -| a -c | -|1 -c | -| 2b -3|
14、11、若a f 0, b p 0，求使| x -a | +| x -b |=|a -b |成立的x 的取值范围。12、计算：(2 +1)(2+1)(24+1)(28+1)(216+1)232-113、已知2004 2004 -2004 ， 2005 2005 -2005 ， 2006 2006 -2006 2003 2003 +2003 2004 2004 +2004 2005 2005 +2005，求abc。14、已知999 119, q =999 9 90，求 P 、 q 的大小关系。15 、有理数 a, b, c 均不为 0 ，且 x19 -99 x +2008 的值。a +b +c =
15、0。设x =| a | | b | | c | + + |b +c c +a a +b，求代数式,.,.整式的加减单项式整式代数式丰富的问题情景列代数式系数多项式次数去括号、添括号法则项整式加减法同类项合并同类项1 单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方运）算。或虽含有除法运算， 但除式中不含字母的一类代数式叫单项.式2 单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的 次数.3 多项式：几个单项式的和叫多项式.4 多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项
16、式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若 a、b、c、p、q 是常数）ax2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项整式5abc -2 a ,.式.5整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫 整式.整式分类为： 单项式多项式.6同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类.项 7合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.8 去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各 项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.9 整式的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项 合并.10
17、.多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列.注）意：多 项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排.列典型例题11 化简求值：2b +3abc -2(4 ab 2 -a 2 b) 其中a, b, c满足a -1 +b -2 +c2=0(2 xa2ax -3bx +83,.2 代数式21 1 1+ax - y + ) -( x -2 y +1 -bx 3 5 22)的值与字母x 的取值无关，求2a -5b的值。3 已知3+b3=27, a2b -ab2=-6，求代数式(b3-a3) +( a2b -3ab2
18、) -2( b3-a2b )的值4 当x =-1时，代数式的值为 18，求代数式9b -6 a +2的值，求当a=5+,.5 已知x =2, y =-4时，代数式ax31 1 + by +5 =1997 x =-4, y =-2 2时，代数式3ax -24by 3 +4986的值6 已知2+a -1 =0 ，求a3+2 a2+2007的值.7 已知 2a -b ，求代数式2(2 a -b ) 3(a +b ) a +b a +b 2 a -b的值。8 当50 -(2 a +3b)2达到最大值时，求1+4a2-9b2的值。,.典型例题2,.,.,.,.三、 一元一次方程1等式的性质：等式性质1：
19、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果 仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是 等式.2 方程：含未知数的等式，叫方程.3 方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解注；意：“方程的解 就能代入”！4 一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是1，并且含未知数项 的系数不是零的整式方程是一元一次方.程7 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且a 0）.8 一元一次方程的最简形式：ax=b（x 是未知数，a、b 是已知数，且a0）. 9一元一次方程一般步骤：整理方程 。 去分母 去括号 移项 合
20、并同类项 系数化为1 （检 验方程的解）.10列方程解应用题的常用公式：,.(1)周长、面积、体积问题：C =2R，S =R2，C =2(a+b)，S =ab， C圆 圆 长方形 长方形=4a，正方形S =a2，S =(R2-r2),V =abc ，V =a3，V =R2h ，V 正方形 环形 长方体 正方体 圆柱圆锥=13R2h.（2） 柱体的体积等于底面积乘以高，当体积不变时，底面越大，高度就越低. 所以等积变化的相等关系一般为：变形前的体=积变形后的体积.（3） 打折销售这类题型的等量关系是：利=润售价成本.（4） 行程问题中关建的等量关系：路程=速度时间，以及由此导出的其化 关系.（5
21、） 在一些复杂问题中，可以借助表格分析复杂问题中的数量关系找，出若干个较直接的等量关系，借此列出方程，列表可帮助我们分析各量之间的相互关 系.（6） 在行程问题中，可将题目中的数字语言“用线段图”表达出来，分析问 题中的数量关系，从而找出等量关系，列出方.程（7） 关于储蓄中的一些概念：本金：顾客存入银行的钱；利息：银行给顾客的酬金；本息：本金与利息的和；期数：存入的时间；利率：每个期数内利息与本金的比；利息=本金利率 期数；本息=本金+利息.典型例题解析1：= 2 3 40.7 +=x =x =4、若,.1、解下列方程：（1）2x-1 2 x +13 6-1（2）3 2x -1 -2 =x
22、+2 ；（3） 0.3 x -0.2 1.5 -5 x0.2 0.52 、能否从( a -2) x =b +3；得到 b +3 ，为什么？反之，能否从 b +3 a -2 a -2得到( a -2) x =b +3，为什么？3、若关于x 的方程2 kx +m =2 +x -nk3 6，无论 K 为何值时，它的解总是x=1 ，求m 、n的值。(3 x +1)5 =a x5 +a x 4 +L +a x +a5 4 10。求a -a +a -a +a -a 5 4 3 2 10的值。5、已知x =1 是方程1 mx =3 x -12 2的解，求代数式(m 2 -7 m +9)2007的值。+ +
23、+L + =,.6、关于x 的方程(2 k -1)x =6的解是正整数，求整数K 的值。7、若方程2 x -7 -3 x =4 -6 x 与方程2mx -3 x -5 =2 -5 x -15 4 6同解，求m 的值。8、关于x 的一元一次方程(m2-1) x2-( m +1) x +8 =0求代数式200( m +x )( x -2 m ) +m的值。9、解方程 x x x x12 2 3 3 4 2006 2007200610、已知方程2( x +1) =3( x -1)的解为a +2 ，求方程22( x +3) -3( x -a ) =3a的解。11、当 a 满足什么条件时，关于x 的方程
24、| x -2 | -| x -5 |=a 无解。，有一解；有无数解；典型例题解析21、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100 千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫 酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？,.2、 一项工程由师傅来做需8 天完成，由徒弟做需16 天完成，现由师徒同时做 了 4 天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几 天？3、 某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24 元购进一批鸡蛋，但在贩运 途中不慎碰坏了12 个，剩下的蛋以每个0.28 元售出，结果仍获利11.2 元，问 该商贩当初买进多少个鸡蛋？4、 某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写
25、“大酬宾，八折优惠，”结 果每台彩电仍可获利270 元，那么每台彩电原价是多少？5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2， 若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比7:4为，求原来的三位 数？6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人， （三）班有43 人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一、（）二）两 个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2 倍少 36 人，问： 应将（三）班各分配多少名学生到（一、（）二）两班？7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1后，用水加满，第二次倒出它的 123后用
26、水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。8、某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15 个人没有座位；,.如果租用同数量的60 座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用 45 座的客车日租金为每辆车250 元，60 座的客车日租金为每辆300 元，问租 用哪种客车更合算？租几辆车？9、 1994 年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和3838是， 问到 2006 年底张先生多大？10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知24用部A型抽水机，6 天可抽干池水，若用21 部 A 型抽水机 13 天也可抽干池水，设每部抽水机单位 时间的抽
27、水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A 型抽水机抽 水？11、狗跑 5 步的时间，马能跑6 步，马跑 4 步的距离，狗要跑7 步，现在狗已 跑出 55 米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船， 因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船 从获悉到追及小孩各需多少时间？,.四、图形初步认识总复习（一）多姿多彩的图形1、几何图形立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球、台体.等平面图形：三角形、四边形、圆等.主（正）视图-从正面看2、几何体的三视图侧（左、右）视图-从左（右）边看俯视图-从
28、上面看（1） 会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视.图（2） 能根据三视图描述基本几何体或实物原.型3、立体图形的平面展开图（1） 同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样.的（2） 了解直棱柱、圆柱、圆锥的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模 型.4、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图.形线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲.线,.面：包围着体的是面，分为平面和曲.面 体：几何体也简称体.（2）点动成线，线动成面，面动成体.（二）直线、射线、线段 1、基本概念图形直线射线线段端点个数无一个两个表示法作法叙述延长叙述直
29、线 a 直线 AB（BA）作直线 AB； 作直线a不能延长射线 AB作射线 AB反向延长射线AB线段 a 线段 AB（BA）作线段a； 作线段AB； 连接 AB延长线段AB； 反向延长线段BA2、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直.线 简单地：两点确定一条直线.,.3、画一条线段等于已知线段（1） 度量法（2） 用尺规作图法4、线段的大小比较方法（1） 度量法（2） 叠合法5、线段的中点（二等分点、）三等分点、四等分点等定义：把一条线段平均分成两条相等线段的.点 图形：A M B符号：若点M 是线段 AB 的中点，则AM=BM=AB，AB=2AM=2BM. 6、线段的性质两点的所有连
30、线中，线段最短.简单地：两点之间，线段最短.7、两点的距离连接两点的线段长度叫做两点的距离.8、点与直线的位置关系（1）点在直线上 （2）点在直线外.,.（三）角1、角：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做.角 2、角的表示法（四种：）3、 角的度量单位及换算4、 角的分类范锐角0直角钝角90平角周角围90=90180=180 =3605、角的比较方法（1） 度量法（2） 叠合法6、 角的和、差、倍、分及其近似值7、 画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15的倍数的角，在0180之间共能画出11 个角. （2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.8、角的平线线定义：从一个角的
31、顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做角的平 分线.,.图形：符号：9、互余、互补（1） 若1+2=90，则1 与2 互为余角.其中1 是2 的余角，2 是1 的余角.（2） 若1+2=180，则1 与2 互为补角.其中1 是2 的补角，2 是 1 的补角.（3） 余（补）角的性质：等角的补（余）角相.等10、方向角（1） 正方向（2） 北（南）偏东（西）方向（3） 东（西）北（南）方向典型例题：1由下列条件一定能得到“P是线段AB 的中点”的是（ ）（A）AP= 12AB （B）AB2PB （C）APPB （D）APPB= 12AB2若点 B 在直线 AC 上，下列表达式：AB12AC
32、；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC其中能表示B 是线段 AC 的中点的有（ ）,.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3.如果点 C 在线段 AB上, 下列表达式AC= 12AB;AB=2BC;AC=BC;AC+BC=AB中, 能表示 C 是 AB 中点的有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4已知线段MN，P 是 MN 的中点，Q 是 PN 的中点，R 是 MQ 的中点，那么MR= _MN分析：据题意画出M图形R P QN5如图所示，B、C是线段 AD 上任意两点，M是 AB 的中点，N 是 CD 中点， 若 MN=a，BC=b，则线段AD 的长是（ ）A M B
33、 C N DA 2（a-b） B 2a-b C a+b D a-b（三）与角有关的问题1 已知：一条射线OA，若从点 O 再引两条射线OB、OC，使AOB=600， BOC=200，则AOC=_度2 A、O、B共线，OM、ON分别为 AOC 、 BOC 的平分线，猜想 MONMC的度数，试证明你的结论NA O B,.3如图，已知直线AB 和 CD 相交于O 点，COE 是直角，OF 平分AOE ，COF 34 求BOD 的度数o，4如图，BO、CO 分别平分ABC 和ACB，（1） 若A = 60，求O；（2） 若A =100，O 是多少？若A =120，O 又是多少？（3） 由（1）、（2）你又发现了什么规律？当A的度数发生变化后，你的结论 仍成立吗？5如图，O 是直线 AB 上一点,OC、OD、OE 是三条射线,则图中互补的角共有,.（ ）对(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56互为余角的两个角 （ ）（A）只和位置有关 （B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关 （D）和位置、数量都无关7已知1、2 互为补角，且12，则2 的余角是（）A.1（12） B.11 C.1（12） D.122222