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1、2 2巧用构造法解题1. 直接构造例 1. 求函数 f (x) =3 -sin x2 +cos x的值域。分析：由于 f (x) =3 -sin x2 +cos x可以看作定点（2，3）与动点（-cosx，sinx）连线的斜率，故 f(x)的值域即为斜率的最大、最小值。解：令 m=-cos x ， q=sin x ，则 m +q =1 表示单位圆f (x) =3 -q2 -m=k 表示连接定点 P （ 2 ，3 ）与单位圆上任一点（ m， q）所得直线q-km-(3 -2k) =0 的斜率。显然该直线与圆相切时，k 取得最值，此时，圆心（0，0）到这条直线的距离为 1，即|3 -2k|=121
2、 +k2 3所以 k =2 32 3 2 3故 2 -f (x) 2 +3 3例 2. 已 知 三 条 不 同 的 直 线 x sin 3a+y sina=a ， x sin 3b+y sinb=a ，x sin 3g+y sing=a 共点，求 sina +sinb+sing的值。分析：由条件知 sina， sinb， sing为某一元方程的根，于是想法构造出这个一元方程，然后用韦达定理求值。解：设（m，n）是三条直线的交点，则可构造方程 m sin 3q+n sinq=a ，即4m sin3q-(n +3m) sinq+a =0 （*）由条件知， sina， sinb， sing均为关于
3、sinq的一元三次方程（*）的根。由韦达定理知 sina +sinb+sing=0第 1 页 共 3 页222. 由条件入手构造例 3. 已知实数 x，y，z 满足 x =6 -y，z2=xy -9 ，求证： x =y分析：由已知得 x +y =6 ，xy =z +9 ，以 x，y 为根构造一元二次方程，再由判别式 非负证得结论。解：构造一元二次方程 p2-6p +z2+9 =0其中 x，y 为方程的两实根所以 D=36 -4(z +9) 0即 z 2 +9 9z20 ，z =0故0，即 x =y3. 由结论入手构造例 4. 求证：若 n 3 ， n N ，则1 1 1 1 1 + + +L+
4、 3 3 4 3 53 n 3 12分析：待证式的左边求和的分母是三次式，为降低分母次数，构造一个恒不等式。1k 31 1 1 1 = - (k -1)k(k +1) 2 (k -1)k k(k +1)所以左边 1 1 1+ +L+2 3 4 3 4 5 (n -1)n(n +1)1 1 1 1 1 1 1 = - + - +L+ - 2 2 3 3 4 3 4 4 5 (n -1)n n(n +1)1 1 1 1 - =2 2 3 n(n +1) 12故原式得证。例 5. 已知实数 x，y 满足 0 x y z sin 2x +sin 2y +sin 2z第 2 页 共 3 页分析：要证原式成立，即证p4+sin x cos y +sin y cos z sin x cos x +sin y cos y +sin z cos z即证p4sin x(cos x -cos y) +sin y(cos y -cos z) +sin z cos z而由三角函数线知可构造下图，此时不等式右边为图中三个矩形的面积之和S +S +S ，1 2 31 p单位圆的面积为 ，所以4 4p4sin x(cos x -cos y) +sin y(cos y -cos z) +sin z cos z故结论成立。第 3 页 共 3 页