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1、nn +1nnn2专题：数列中插入新项问题的研究一、问题提出问题 1: 已知等比数列a n的首项是1，公比为 2，等差数列b n的首项是1，公差为1，把b n中的各 项 按 照 如 下 规 则 依 次 插 入 到a n的 每 相 邻 两 项 之 间 ， 构 成 新 数 列c n：a , b , a , b , b , a , b , 1 1 2 2 3 3 4b , b , a 5 64，即在an和an +1两项之间依次插入b 中 n 个项，则 nc2013=_.1951二、思考探究探究 1： 已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 2S =pa -2 n ， n N * ，其中常数 p
2、 2 n n（1）证明：数列 a +1为等比数列；n（2）若 a =3 ，求数列 a 2n的通项公式；（3）对于（2）中数列 an，若数列 b 满足 b n n=log ( a +1) （ n N * ），在 b 与 b 2 n k k +1之间插入 2k -1（ k N*）个 2，得到一个新的数列c ，试问：是否存在正整数 m,使得数列 c 的前 mn n项的和 T =2011 ?如果存在，求出 m 的值；如果不存在，说明理由. m19解：（1） 2 S =pa -2 n ， 2 Sn nn +1=pan +1-2( n +1) ， 2an +1=pan +1-pa -2 ， n an +1
3、=p 2 pa + ， a +1 = ( a +1) ， p -2 p -2 p -2 2 a =pa -2 ， a = 1 1 1pp -20 ， a +1 01a +1 p n +1 = 0 ，数列 a +1 为等比数列 a +1 p -2n（2）由（1）知 a +1 =(np p) n ， a =( ) n -1 p -2 p -2p又 a =3 ， ( )p -22-1 =3 ， p =4 ， a =2nn-1（3）由（2）得 b =log 2 n ，即 b =n,( n N * )n 2 n，数列 C 中， b （含 b 项）前的所有项的和是： n k k（1 +2 +3 +L +k
4、 ) +(20+21+22+L +2k -2) 2 =k ( k +1) 2+2k-2当 k=10 时，其和是 55 +210 当 k=11 时，其和是 66 +211-2 =1077 2011又因为 2011-1077=934=4672，是 2 的倍数所以当 m =10 +(1 +2 +22+L +28) +467 =988 时， T =2011 ，m所以存在 m=988 使得 T =2011m第 1 页 共 4 页探究 2：已知数列 a, b, c 为各项都是正数的等差数列,公差为 d (d 0) ,在 a, b 之间和 b, c 之间共插入 m 个实数 后，所得到的 m +3 个数组成的
5、数列a 是等比数列,其公比为 q.n（1） 若 a =1, m =1, 求公差 d;（2） 若在 a, b 之间和 b, c 之间所插入的个数均为奇数,求所插入的 m 个数的乘积(用 a, c, m 表示.)第 2 页 共 4 页三、 反思提升四、 反馈检测第 3 页 共 4 页1. 设等比数列 a n的首项为a = 2,1公比为q( q为正整数），且满足3 a3是8a1与a5的等差中项；数列 b n满足2 n2- ( t + b ) n + n32b = 0( t R, n N n*).（1）求数列 a n的通项公式；（2）试确定t的值，使得数列 b n为等差数列；（3）当 b n为等差数列时，对每个正整数 k , 在 a 与 akk +1之间插入 b 个 2，得到一个新 k数列 c .设 T 是数列 c 的前 n 项和，试求满足 n n nT = 2cmm +1的所有正整数m .【解析】（）因为解得,所以（舍），则，- 3 分又 ，所以-5 分（）由，得，所以,则由，得- 8 分而当时， ，由（常数）知此时数列为等差数列 - 10 分第 4 页 共 4 页