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1、人教新版八年级下册第17章勾股定理解答题专项练习题（含答案）勾股定理解答题专项练习题1在ABC中，ABC90，D为平面内一动点，ADa，ACb，其中a，b为常数，且a将ABD沿射线BC方向平移，得到FCE，点A、B、D的对应点分别为点F、C、E连接BE（1）如图1，若D在ABC内部，请在图1中画出FCE；（2）在（1）的条件下，若ADBE，求BE的长（用含a，b的式子表示）；（3）若BAC，当线段BE的长度最大时，则BAD的大小为；当线段BE的长度最小时，则BAD的大小为（用含的式子表示）2如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港
2、口一个半小时后分别到达B、A两点，且知AB30海里，问乙轮船每小时航行多少海里？3为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CAAB于A，DBAB于B已知AB2.5km，CA1.5km，DB1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？4如图所示，四边形ABCD中，AB3cm，AD4cm，BC13cm，CD12cm，A90，求四边形ABCD的面积5如图，已知在四边形ABCD中，A90，AB2cm，AD4cm，求四边形ABCD的面积cm，CD5cm，BC6如图，在等边ABC中，线段AM为
3、BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连接BE（1）填空：ACB度；（2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出的值；（3）若AB8，以点C为圆心，以5为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长7如图，在ABC中，A90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：EF2BE2+CF28如图、四边形ABCD中，ABAD6，A60，ADC150，已知四边形的周长为30，求四边形ABCD的面积9如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B，甲船沿东北方向向海岛B航行，其速度为15海里/小时；乙船速度为20
4、海里/小时，先沿正东方向航行1小时后，到达C港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东30方向开往B岛，其速度仍为20海里/小时（1）求港口A到海岛B的距离；（2）B岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？10如图在四边形ABCD中，ABBC2，CD3，DA1，且B90，求DAB的度数已知：如图，在ABC，BC2，ABC3，ABC135，求AC、AB的长12水池中有水，水面是一个边长为10尺的正方形，水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的终点，它的顶端恰好到达池边的水面水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？13如图，AD是已知ABC
5、中BC边上的高P是AD上任意一点，当P从A向D移动时，线段PB、PC的长都在变化，试探索PB2PC2的值如何变化？14如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？15在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CACB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否而需要暂时封锁？请通过计算进行说明16小明听说“武黄城际列车”已经开通，
6、便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B设AB80km，BC20km，ABC120请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由（不计候车时间）17如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在墙AC上，C90，此时，梯子的底端B离墙底C的距离BC为0.7m（1）求此时梯子的顶端A距地面的高度AC；（2）如果梯
7、子的顶端A下滑了0.9m，那么梯子的顶端B在水平方向上向右滑动了多远？如图，在ABC中，ADBC，B45，C30，AD1，求ABC的周长19如图，在四边形ABCD中，ABAD4，A60，BC4（1）求ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积，CD820如图，在四边形ABCD中，ADBC，ABBC，对角线ACCD，点E在边BC上，且AEB45，CD10（1）求AB的长；（2）求EC的长21校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验如图，先在笔直的公路1旁选取一点A，在公路1上确定点B、C，使得ACl，BAC60，再在AC上确定
8、点D，使得BDC75，测得AD40米已知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒（1）求CD的长（结果保留根号）（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：1.414，1.73）22如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6cm，BC8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长23定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2z2，则称这个三角形为勾股三角形（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy2160，求x+y的值
9、；（）如图，ABC中，AB，BC2，AC1+，求证：ABC是勾股三角形24在杭州西湖风景游船处，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m，此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少m？（假设绳子是直的，结果保留根号）25如图，某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到E点的距离相等，已知DAAB于A，CBAB于B，DA30km，CB20km，那么基地E应建在离A站多少千米的地方？26“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小
10、时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，（1）求BC的长；（2）这辆小汽车超速了吗？27如图，B、D、C三点在一条直线上，ADBADC90，BDDE，DAC45；（1）线段AB、CE的关系为；（2）若BDa，ADb，ABc，请利用此图的面积式证明勾股定理28如图，一个直径为10cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外1cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端刚好触到杯口，求筷子长度和杯子的高度29如图1，在68的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，
11、动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动（1）请在68的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，PQB能否成为PQBQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由30如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90得到长方形FGCE，连接AF通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程31一、阅读理解：在ABC中，BCa，CAb，ABc；（1）若C为直角，则a2+b2c2；（2）
12、若C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2c2；（3）若C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系二、探究问题：在ABC中，BCa3，CAb4，AB，若ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围32已知等腰三角形ABC的底边BC20cm，D是腰AB上一点，且CD16cm，BD12cm（1）求证：CDAB；（2）求该三角形的腰的长度在ABC中，ACBC，ACB90，D、E是直线AB上两点DCE45（1）当CEAB时，点D与点A重合，显然DE2AD2+BE2（不必证明）；（2）如图，当点D不与点A重合时，求证：DE2AD2+BE2；（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形
13、，说明理由34勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中DAB90，求证：a2+b2c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DFECbaS四边形ADCBACD+ABCb2+ab又S四边形ADCBADB+DCBc2+a（ba）b2+abc2+a（ba）a2+b2c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中DAB90求证：a2+b2c235一架方梯AB
14、长25米，如图所示，斜靠在一面上：（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？36如图，ABC中，B30，ACB90，CDAB交AB于D，以CD为较短的直角边向CDB的同侧作DEC，满足E30，DCE90，再用同样的方法作FGC，FCG90，继续用同样的方法作HIC，HCI90若ACa，求CI的长37在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O（如图所示）向北偏东40方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度
15、向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？38在合肥市地铁一号线的修建过程中，原设计的地铁车站出入口高度较低，为适应地形，把地铁车站出入口上下楼梯的高度普遍增加了，如图所示，已知原设计楼梯BD长20米，在楼梯水平长度（BC）不发生改变的前提下，楼梯的倾斜角由30增大到45，那么新设计的楼梯高度将会增加多少米？（结果保留整数，参考数据：1.414，1.732）39阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作九章算术，其勾股数组公式为：其中mn0，m，n是互质的奇
16、数应用：当n1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长如图，在钝角ABC中，BC9，AB17，AC10，ADBC于D，求AD的长参考答案一解答题1解：（1）如图，（2）连接BF将ABD沿射线BC方向平移，得到FCE，ADEF，ADEF；ABFC，ABFCABC90，四边形ABCF为矩形ACBFADBE，EFBEADa，ACb，EFa，BFb（3）如图，当线段BE的长度最大时，E点在BF的延长线上，四边形ABCF是矩形，BAC，BFC，EFC180BAD180如图，当线段BE的长度最小时，E点在BF上，四边形ABCF是矩形，BAC，ACBF，且互相平分，BACABF，BFCACF，AOBCO
17、F，BACABFBFCACF，BFCBAC，BAD故答案为：180，2解：甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行，AOBO，甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时，OB161.524海里，AB30海里，在AOB中，AO18，乙轮船每小时航行181.512海里3解：由题意可得：设AExkm，则EB（2.5x）km，AC2+AE2EC2，BE2+DB2ED2，ECDE，AC2+AE2BE2+DB2，1.52+x2（2.5x）2+12，解得：x1答：图书室E应该建在距点A1km处，才能使它到两所学校的距离相等4解：连接BD，AB3cm，AD4cm，A90BD5cm，ABD346cm2又BD
18、5cm，BC13cm，CD12cmBD2+CD2BC2BDC90BDC51230cm2S四边形ABCDABD+BDC6+3036cm25解：连接BDA90，AB2cm，AD根据勾股定理可得BD3，又CD5，BC4，CD2BC2+BD2，BCD是直角三角形，CBD90，S四边形ABCDSABD+SBCDABAD+BCBD2+43+6（cm2）6解：（1）60；（3分）（2）如图（2），ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACD+DCBDCB+BCEACDBCE（5分）ACDBCE（SAS）ADBE，1（7分）（3）如图（3），当点D在线段AM上（不与点A重合）时，由（
19、2）可知ACDBCE，则CBECAD30，作CHBE于点H，则PQ2HQ，连接CQ，则CQ5在CBH中，CBH30，BCAB8，则CHBCsin3084在CHQ中，由勾股定理得：HQ分）如图5，当点D在线段AM的延长线上时，ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACB+DCBDCB+DCEACDBCEACDBCE（SAS）（，则PQ2HQ69CBECAD30，同理可得：PQ6（11分）如图4，当点D在线段MA的延长线上时，ABC与DEC都是等边三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACD+DCEBCE+ACB180ACDBCEACDBCE（SAS）CBECADCA
20、M30CBECAD150CBQ30同理可得：PQ6综上，PQ的长是6（13分）7证明：延长ED到G，使DGDE，连接EF、FG、CG，如图所示：在EDF和GDF中，EDFGDF（SAS），EFFG又D为斜边BC中点BDDC在BDE和CDG中，BDECDG（SAS）BECG，BBCGABCGGCA180A1809090在FCG中，由勾股定理得：FG2CF2+CG2CF2+BE2EF2FG2BE2+CF28解：连接BD，作DEAB于E，ABAD6，A60，ABD是等边三角形，AEBEAB3，DE3，因而ABD的面积是ABDE639，ADC150CDB1506090，则BCD是直角三角形，又四边形的
21、周长为30，CD+BC30ADAB306618，设CDx，则BC18x，根据勾股定理得到62+x2（18x）2解得x8，BCD的面积是6824，S四边形ABCDABD+BDC9答：四边形ABCD的面积是9+24+249解：（1）过点B作BDAE于D在BCD中，BCD60，设CDx，则BD在ABD中，BAD45，BC2x则ADBD，AB由AC+CDAD得20+xBDx解得：x10故AB30+10+10答：港口A到海岛B的距离为海里（2）甲船看见灯塔所用时间：乙船看见灯塔所用时间：所以乙船先看见灯塔小时小时10解：如右图所示，连接AC，B90，ABBC2，AC2，BAC45，又CD3，DA1，AC
22、2+DA28+19，CD29，AC2+DA2CD2，ACD是直角三角形，CAD90，DAB45+90135故DAB的度数为13511解：如图，过点A作ADBC交CB的延长线于D，在ABC中，ABC3，BC2，AD3，ABC135，ABD18013545，ABAD3，BDAD3，在RtADC中，CD2+35，由勾股定理得，AC12解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（）2（x+1）2，解得：x12，芦苇的长度x+112+113（尺），答：水池深12尺，芦苇长13尺13解：PB2PC2的值不变，根据勾股定理PB2BD2+DP2，PC2CD2+PD2PB2PC2BD2+D
23、P2（CD2+PD2）DB2DC2答：PB2PC2的值不变解；在直角ABC中，已知AB2.5m，BC0.7m，则AC2.4m，ACAA1+CA1CA12m，在直角1B1C中，ABA1B1，且A1B1为斜边，CB11.5m，BB1CB1CB1.50.70.8m答：梯足向外移动了0.8m15解：如图，过C作CDAB于D，BC400米，AC300米，ACB90，根据勾股定理得AB500米，ABCDBCAC，CD240米240米250米，故有危险，因此AB段公路需要暂时封锁16解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，ABC120，BC20，BE10，在ACE中，AC28100+300，；（
24、2）乘客车需时间乘列车需时间选择城际列车（小时）；（小时）；17解：（1）C90，AB2.5，BC0.7，AC2.4（米），答：此时梯顶A距地面的高度AC是2.4米；（2）梯子的顶端A下滑了0.9米至点A，ACACAA2.40.91.5（m），在ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2AB2，即1.52+BC22.52，BC2（m），BBCBBC20.71.3（m），答：梯子的底端B在水平方向滑动了1.3m18解：ADBC，ADBADC90在ADB中，B+BAD90，B45，BBAD45，ADBD1，AB在ADC中，C30，AC2AD2，CD，BCBD+CD1+，AB+AC+BC+319解：（1
25、）连接BD，ABAD，A60，ABD是等边三角形，ADB60，DB4，42+82（4）2，DB2+CD2BC2，BDC90，ADC60+90150；（2）过B作BEAD，A60，AB4，BEABsin6042，四边形ABCD的面积为：ADEB+DBCD4+484+1620解：（1）在ACD中，D60，CD10，AC，DAC30，又ADBC，ACBDAC30，在ACB中，ABAC（2）在ABE中，AEB45，BEAB，由（1）可知，BCECBCBEAB15，21解：（1）作DEAB交BC于E，如图所示：则CDEA60，设CDx米，ACl，ACB90，CED30，DE2CD2x，CEx，BDC75
26、，BDE15，CEDBDE+DBE，DBE15BDE，BEDE2x，又A60，BCAC，x+2x（x+40），解得：x20即CD20，米；（2）这辆车在本路段不超速；理由如下：由（1）得：x20BCCE+BE，20+22060+40（米），校车从B到C匀速行驶用时10秒，速度为（60+40）106+4（米/秒）46.67千米/小时50千米/小时，这辆车在本路段不超速22解：两直角边AC6cm，BC8cm，在ABC中，由勾股定理可知AB10，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CDDE，AEAC6，BE1064，设DECDx，BD8x，在BDE中，根据勾股定理得：BD2DE2+BE2，即（8x）2x2+42，解得x3即CD的长为3cm23（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x、y和z，若满足x2+y2z2，则称这个三角形为勾股三角形，无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y102；（3）证明：过B作BHAC于H，如图所示：设AHxABH中，BHCBH中，（，）2+（1+x）24，解得：x，AHBH，HC1，AABH45，tanHBC