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1、二阶矩阵的特征值与特征向量教学设计安家中学 陈维杰一、教学内容分析: 本节教材选自苏教版数学选修系列4-2，在课改前的教材中,一直没有出现过矩阵与变换的知识，本小节又是学生在高中阶段较难理解的内容之一 。在前面已学二阶矩阵的运算和常见的平面变换的基础上，本节课的学习对知识体系的建构和数形结合思想的应用要求较高。二、学生学习情况分析：任教的学生在年级属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习矩阵所具备的对新知识的接受能力及理解能力相对不足，尤其在初次接触高等数学知识时表现出非常想学但又很难理解的矛盾。三、设计思想 紧扣教材，层层深入，设置台阶，在学生的最近发展区帮助学生理解。四、教学目标能通过几何变换
2、直接求出二阶矩阵的特征值和特征向量，理解特征向量的存在性和不惟一性，理解并掌握用行列式的方法求特征值及其对应的特征向量。培养学生质疑、释疑的能力。五、教学重点与难点重点是二阶矩阵的特征值和特征向量的求解，难点是特征值和特征向量的概念理解、行列式的应用。六、教学过程设计（一）知识准备、新课引入1在学习第2.2.2节的伸压变换时，我们知道矩阵M=对应的伸压变换把弹簧向下压缩为原来的一半，对应的变换为TM: (x,y)(x,y).考察点（1,0），（0,1）对应的向量，有=，=。所以变换后，向量没有改变；向量方向没有改变，而长度变为原来的一半。因此，向量，变换后与各自的原象共线。设计意图：由伸压变换
3、引入矩阵的特征值与特征向量的定义较为直观2填空：矩阵对应的变换也使变换后向量，与各自的原象（ ）3 定义：二阶矩阵A的特征值和特征向量的概念见教材分析：像这样从几何变换的角度引出特征值和特征向量的概念，一方面能使学生对概念易于接受但另一方面也容易让学生误以为特征向量就是，或者他们的实数倍，所以此时需要设置一定的台阶加深概念的理解。（二）设置台阶1.从几何变换的角度直接给出的特征值和特征向量。2已知矩阵M=，向量=，=，=，计算，并根据计算结果回答：中，是矩阵M的特征向量的是那些？相应的特征值是多少？ 学情分析：对于问题1我们可以补充说明常见的平面变换中恒等变换,伸压变换，投影变换三类可以直接求
4、出特征值和特征向量（其中投影变换中出现有特征值为0的情况可以稍后再说），但更多的平面变换他们的特征值和特征向量难以直接看出，如问题2,那么怎么求出来呢？是否一定有解呢？（三）例题讲解例：求矩阵A=的特征值与特征向量。根据定义可设存在实数,对于非零向量,有即=，列成方程组所以当=1时；当时，所以矩阵A的两个特征值为1和-1，当=1时，取其一个特征向量，当时，取其一个特征向量。 学情预设：这是根据定义学生最容易想到的求解方法，但教材中并没有采用，而是笔锋一转用了二阶行列式，这造成了很多学生的不解。对于一群没有高阶矩阵和高阶行列式知识准备的高中生来说，这是无法顺利接受的。所以不妨把这一段过程展示在学
5、生面前之后，再提出如果去求解一个高阶矩阵的特征值和特征向量的话，要解多元方程组就有些繁琐，所以我们用行列式这个工具来试试。另辟蹊径：将方程组的解重新考虑，由于为非零向量，所以行列式=0，-1=0，1或-1，将代入方程组得，将代入方程组得，同样可得矩阵的特征值和对应的特征向量 设计意图：重新解读教材，为学生搭建理解的平台【归纳题型】进一步，对于矩阵的特征值和特征向量的求解，我们就可以先由行列式=（称为A的特征多项式）=0得到特征值。（四）牛刀小试1求出矩阵，的特征值和特征向量；2证明矩阵，没有实数特征值和特征向量，并给出几何解释。先由学生板演，然后教师点评学情预设：此时学生可以用特征多项式或不用
6、特征多项式两种方法取求解，也可以直接用几何意义求解，但后者较难说清，所以我们建议用代数手段解决，并强调解题规范，第二，应指出从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一直线上，这时特征向量或者方向不变（），或者方向相反（）；特别的，当时，特征向量就被变换成了0向量（如的特征值为1和0）。特别指出的是：特征向量一定为非零向量，但可以被变换成0向量。由于二阶矩阵的特征多项式为关于特征值的二次函数，方程的根最多有两个，对应于每个特征值的特征向量有无数个，我们通常只取其中一个，事实上若a是矩阵M对应于特征值的特征向量，则ta(实数)也必是矩阵M对应于特征值的特征向量，所以只要有一
7、个；如果无解则说明矩阵不存在特征值和特征向量。（五）、当堂反馈1 下列对于矩阵A的特征值的描述正确的是 （ ）A 存在向量 a，使得Aa=aB 对任意向量a，使得Aa=aC对任意非零向量a，使得Aa=a成立D存在一个非零向量 a，使得Aa=a 2求出下列矩阵的特征值和对应的特征向量 （1） （2）3 已知矩阵M的特征值为2和8，且2对应特征向量，8对应特征向量，求矩阵M（六）、小结1线性方程组与矩阵的关系 线性方程组是一个代数的问题，最早在数学上出现方程组，都是解决牛羊分配问题等等。那么我们在学了高中的几何以后，我们知道从解析几何角度，可以认识线性方程组，从直线相交平行重合的角度，还可以从向量
8、基本定理来认识方程组，那么现在我们从矩阵的角度，就是说我们给了一个变换，和一个变换结果，问是有没有一个东西，在这个变化下变到它，是谁变到了它。这一个观点在数学上，是一个非常重要的观点。把方程看成一个变换的这样一个观点，是一个非常重要的观点。求解方程组，也就是求一个已知向量的原象2通过有些平面变换，比如说伸压变换，我们看到有一些向量在这个变化下基本上没变，或者它根本就没有动，或者它只是拉伸了一下，就是它还是和原来的向量是共线的。我们把这样的向量，通过这样的例子，然后把它提炼出来，把它称为这种变换的特征向量和特征值，它的求解我们其实并不一定非得用行列式解决，我们可以从几何和消元法解二元方程组的角度多方面理解，但行列式的提出为多元方程组的求解提供了方便。