高考数学立体几何试题及解析.docx

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1、CD高考数学立体几何（文科）试题一、选择题1 （2013 年高考重庆卷（文 8）某几何体的三视图如题(8)所示,则该几何体的表面积为（ ）A180B200220240【答案】D【解析】本题考查三视图以及空间几何体的表面积公式。由三视图可知该几何体是个四棱柱。棱柱 的底面为等腰梯形，高为 10.等腰梯形的上底为 2，下底为 8，高为 4，腰长为 5。所以梯形的面积为2 +824 =20，梯形的周长为2 +8 +2 5 =20。所以四棱柱的表面积为20 2 +20 10 =240，选 D.2 （2013 年高考课标卷（文 9） 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O -xyz 中的坐标分别是(1,0

2、,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（ ）(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】在空间直角坐标系中，先画出四面体O -ABC的直观图，以 zOx 平面为投影面，则得到正视图(坐标系中红色部分),所以选 A.133 （2013 年高考课标卷（文 11） 某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为（ ）A16 +8pB8 +8pC16 +16pD8 +16p【答案】A【解析】由三视图可知，该几何体的下部分是平放的半个圆柱，圆柱的底面半径为 2,圆柱的高为 4。上部分是个长方体，长方体的棱长分别为

3、2,2,4.所以半圆柱的体积为12p224 =8p，正方体的体积为2 2 4 =16，所以该几何体的体积为16 +8p，选 A.4 （2013 年高考大纲卷（文 11） 已知正四棱锥ABCD -A B C D 中，AA =2 AB , 则CD与平面 BDC 所成角1 1 1 1 1 1的正弦值等于（ ）A23B33C23D13【答案】A【解析】如图，因为 BD平面 ACC A ，所以平面 ACC A 平面 BDC ，在 CC O 中，过 C 作 CH1 1 1 1 1 1C O 于 H，连结 DH，则CDH 即为所求，令 1AB =a，显然CH =2a 2 a22 4 a2 +( a )222

4、 a 2 2= = a3 3a2，所以sin CDH =2a2=a 3，故选 A.25 （2013 年高考四川卷（文 2）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是（ ） A棱柱 B棱台 C圆柱 D圆台【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体为圆台.6 （2013 年高考浙江卷（文 5）已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是（ ）A108cm3 B100 cm3 C92cm3 D84cm3【答案】B【解析】此图的直观图是一个底面边长为 6 和 3，高为 6 的长方体截去一个角，对应三棱锥的的三条侧棱上分别为 3,4,4.如图。所以该几何体的体积为1 6 6 3 - 3

5、 3124 4 =100cm3，选 B.37 （2013 年高考北京卷（文 8）如图,在正方体ABCD -A B C D1 1 1 1中,P为对角线BD1的三等分点,则 P到各顶点的距离的不同取值有A1D1B1C1DPCAB（ ）A3 个 【答案】BB4 个 C5 个D6 个【解析】设正方体边长为 3，则BP2=1 +2 =3，D P12=4 +8 =12，DP2=1 +8 =9，B P 2 =2 +4 =6 1，AP 2 =CP 2 =1 +5 =6，A P 2 =C P 2 =5 +4 =9 1 1，故共有 4 个不同的取值。8 （2013 年高考广东卷（文） 某三棱锥的三视图如图 2 所

6、示,则该三棱锥的体积是421正视图俯视图1侧视图图 2（）A16B13C23D1【答案】B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为 2，则1 1V = 112= 3 213，选 B.9 （2013 年高考湖南（文 7） 已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图 是一个面积为 2 的矩形,则该正方体的正视图的面积等于_（ ）A32B1 C2 +12D2【答案】D【解析】本题考查三视图的计算。因为侧视图是一个面积为2的矩形，所以侧视图的底长为2，即侧视图看到的是正方形的对角线，所以正视图和侧面图面积相同，即为2，选 D.10（2013 年高考浙江卷（文 4）

7、设 m.n 是两条不同的直线, . 是两个不同的平面,（ ） A若 m ,n ,则 mn B若 m ,m ,则 C若 mn,m ,则 nD若 m , ,则 m【答案】C【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以 A,B 错误。 两条平行线中的一条直线垂直于某个平面，则另一条也垂直该平面，所以 C 正确，选 C.11（2013 年高考辽宁卷（文 10） 已知三棱柱ABC -A B C 1 1 1的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若AB =3，AC =4 , AB AC , AA =12 ,则球 O 的半径为（ ）1A3 172B2 10C132D3 105侧【答

8、案】C【解析】由球心作面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 中点 M。计算 AM=52，由垂径定理，OM=6，所以半径 R=5 13 ( ) 2 +6 2 =2 2,选 C.12（2013 年高考广东卷（文） 设l为直线,a,b是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A若l /a , l / b ,则 a/ bB若l a, l b ,则 a/ bC若 l a, l / b,则 a/bD若 ab, l / a ,则 l b【答案】B【解析】平行的传递性只有在线性和面面之间成立，其他的线面混合的不成立，所以 A 错误.垂直于同一条直线的两个平面平行，所以 B 正确。C 中，ab，所以错误。D 中，

9、l /b也有可能。所以选 B.13（2013 年高考山东卷（文 4）一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如右图 所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ）A 4 5,8B 4 5,83C 4( 5 +1),83D8,8【答案】B【解析】由三视图可知四棱锥的底面边长是 2，高为 2，侧面上的斜高是 5 ，所以1 1 8 S =4 2 5 =4 5, V = 2 2 2 =2 3 3，故选 B.14（2013 年高考江西卷（文 8）一几何体的三视图如右所示,则该几何体的体积为6（ ）A200+9 B200+18 C140+9 D140+18【答案】A【解析】本题考查三视图以及空间几何体

10、的体积。由三视图可在，该几何体下半部分为长方体，边长分别为 810,4,5，所以体积为10 4 5 =200。上半部分为平放的半圆柱，上底半径为 3，高是 2，所以半圆柱的体积为12p322 =9p，所以该几何体的体积为200 +9p，选 A.二、填空题15（2013 年高考课标卷（文 15） 已知正四棱锥 O -ABCD 的体积为3 22，底面边长为 3 ，则以【答案】O24为球心，pOA为半径的球的表面积为_。【解析】设正四棱锥的高为1h ，则 ( 3)32h =3 2 3 2 ，解得高 h =2 2。则底面正方形的对角线长为2 3 =6 ，所以 OA =(3 2 6 ) 2 +( )2

11、22= 6,所以球的表面积为4p( 6)2=24p.16（2013 年高考湖北卷（文 16） 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题:在下雨 时,用一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一 尺八寸. 若盆中积水深九寸,则平地降雨量是_寸.(注:平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;一尺等于十寸)【答案】37【解析】本题考查圆台的体积公式。做出圆台的轴截面如图 ,由题意知，BF =14（单位寸，下同），OC =6 , OF =18, OG =9 ,即 G 是中点，所以 GE 为梯形的中位线，所以GE =14 +62=10，即积水的上底面半径为 10

12、.所以盆中积水的体积为13(100p+36p+ 100p36p) 9 =588p。喷口的面积为142p=196p，所以588p196p=3，即平地降雨量是 3 寸。17（2013 年高考课标卷（文 15） 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB =1: 2 , AB 平 面 a, H 为垂足, a截球 O 所得截面的面积为 p ,则球 O 的表面积为_.【答案】【解析】因为 a 截球 O 所得截面的面积为 p ，所以截面小圆的半径 HC =1 .设球半径为 R ，则2 4 AH = 2 R = R3 3，所以4 1 OH = R -R = R3 3.在直角三角形OHC中，O

13、C2=OH2+HC2，即R R 2 =( ) 2 +13，解得R 2 =98，所以球的表面积为9 9p4pR 2 =4p =8 2。8218（2013 年高考卷（文 10） 某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_.12 1 1 2正（主）视图侧（左）视图俯视图【答案】3【解析】由题意，该四棱锥底面为边长等于 3 的正方形，体高为 1，V =133 3 1 =3.19（2013 年高考陕西卷（文 12） 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为_.3p【答案】【解析】 综合三视图可知，立体图是一个半径 r=1 的半个球体。其表面积 =124pr2 +pr2 =3p。20（2013 年高考大

14、纲卷（文 16） 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK =32，且圆O与圆K 所在的平面所成角为60 ，则球 O 的表面积等于_.16p【答案】【解析】如图，公共弦 MN=R,中点为 E，连 OE、KE，则 3OEK =60，所以OKOE = = = 3sin 60 3，在 OME 中，OM 2 =OE 2 +ME 2，即R R 2 =3 +( )22，所以R 2 =4.2所以球的表面积为S =4pR2 =16p.921（2013 年上海高考数学试题（文科 10） 已知圆柱 W 的母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上地面圆心,A、B是下底面圆周上两个不同的点

15、,BC是母线,如图.若直线OA与BC所成角的大小为,6则1r=_.【答案】3【解析】由题知，tanp6r 3 l= = = 3 l 3 r22（2013 年高考天津卷（文 10） 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为 正方体的棱长为 _.3【答案】9p2, 则【解析】设正方体的棱长为 a ，则正方体的体对角线为直径，即9p 4 3 9p3a =若球的体积为，解得。，即 p( a ) 3 =2 3 2 23a =2r，即球半径r =32a。23（2013 年高考辽宁卷（文 13） 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】16p-16【解析】直观图是圆柱中去除正四棱

16、柱。V =p22 4-224=16p-16.24（2013 年高考江西卷（文 15）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且 AB/CD, 则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_.10【答案】4【解析】本题考查空间立体几何中的线面位置关系的判断在正四面体题中，取 CD 的中点 H,则CD EFH,又 AB/CD，所以平面EFH平行于正方体的左右两个侧面，所以直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数由图象可知 4。25（2013 年高考安徽（文） 如图,正方体ABCD -A B C D1 1 1 1的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q为线段 CC 上的

17、动点,过点 A, P, Q 1的平面截该正方体所得的截面记为 S ,则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当0 CQ 1 1 3 时, S 为四边形;当 CQ = 时, S 为等腰梯形;当 CQ =2 2 4时,S与C D1 1的交点 R满足 C R = 11 3;当 CQ 1 3 4时,S为六边形;当 CQ =1时,S6 的面积为 .2【答案】【解析】（1）CQ =12，S 等腰梯形，正确，图如下：11（2） CQ =1 ，S 是菱形，面积为2 3 6=2 2，正确，图如下：（3）CQ =3 1 ，画图如下： C R =4 1 3，正确（4）34CQ 1，如图是五边形，不正确；12

18、（5）0 CQ 12，如下图，是四边形，故正确【考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。三、解答题26（2013 年高考辽宁卷）如图,AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C 是圆O上的点.(I)求证:BC 平面PAC；(II)设Q为PA的中点， G为DAOC的重心，求证： QG / / 平面PBC .13【答案】(I) 由 AB 式圆 O 的直径，得 ACBC.由 PA平面 ABC，BC 平面 ABC，得 PABC,又 PAAC=A,PA 平面 PAC，AC 平面 PAC,所以 BC平面 PAC.（II） 连 OG 并延长交 AC 与 M，链接 QM，QO.由 G 为

19、AOC 的重心，得 M 为 AC 中点，由 G 为 PA 中点，得 QM/PC.又 O 为 AB 中点，得 OM/BC.因为 QMMO=M,QM 平面 QMO.所以 QG/平面 PBC.27（2013 年高考浙江卷（文）如图,在在四棱锥 P-ABCD 中,PA面 ABCD,AB=BC=2,AD=CD= 7,PA= 3, ABC=120,G 为线段 PC 上的点.()证明:BD面 PAC ;()若 G 是 PC 的中点,求 DG 与 APC 所成的角的正切值;()若 G 满足 PC面 BGD,求PGGC的值.1432 222【答案】解:证明:()由已知得三角形 ABC 是等腰三角形,且底角等于

20、30,且 AB =CB AD =CD DABD DCBD ABD =CBD =60 且BAC =30,所BD =DB以;、BD AC,又因为PA ABCD BD PA BD AC BD PAC ;()设ACBD =O,由(1)知 DO PAC ,连接 GO ,所以 DG 与面 APC 所成的角是 DGO ,由已知及(1)知:BO =1, AO =CO =3 DO = 7 -3 =2,1 1 OD 2 4GO = PA = 3 tan DGO = = = 3 ,所以 DG 与面 APC 所 2 2 GO 1 32成的角的正切值是433;()由已知得到:PC = PA +AC = 3 +12 =

21、15,因为PC BGD PC GD ,在 DPDC中,PD =3 +7 = 10, CD = 7, PC = 15,设PG =x CG = 15 -x 10 -x =7 -( 15 -x ) PG =x =3 2 PG 3 15, GC = 15 =5 5 GC 228（2013 年高考陕西卷（文） 如图, 四棱柱 ABCD-A B C D 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A O1 1 1 1 1平面 ABCD, AB =AA = 2 .1D1C1A1B1DAOBC() 证明: A BD / 平面 CD B ;1 1 1() 求三棱柱 ABD-A B D 的体积.1 1 1【答

22、案】解: () 设B D 线段的中点为 O 1 1 115.Q BD和B D 是ABCD -A B C D 的对应棱 BD / B D 1 1 1 1 1 1 1 1.同理，QAO和A O 是棱柱ABCD -A B C D 的对应线段1 1 1 1 1 1 AO / A O 且AO / OC A O / OC且A O =OC 四边形A OCO 为平行四边形 1 1 1 1 1 1 1 1 A O / O C .且A O I BD =O , O C I B D =O 面A BD / 面CD B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.(证毕)() Q A O 面ABCD A O是三棱柱 A B

23、D -ABD的高1 1 1 1 1.在正方形 AB CD 中,AO = 1 .在RTDA OA中，A O =1.1 1三棱柱A B D -ABD的体积V 1 1 1A B D -ABD 1 1 1=SDABDA O =112( 2)21=1.所以,三棱柱 A B D -ABD的体积 V 1 1 1A B D -ABD 1 1 1=1.29（2013 年高考福建卷（文） 如图,在四棱锥P -ABCD中,PD 面ABCD,AB / / DC,AB AD,BC =5,DC =3,AD =4,PAD =60.(1)当正视图方向与向量 AD的方向相同时,画出四棱锥P -ABCD的正视图.(要求标出尺寸,

24、并画出演算过程);(2)若 M 为 PA的中点,求证:DM / / 面 PBC;(3)求三棱锥D -PBC的体积.【答案】解法一:()在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE AB ,垂足为 E , 由已知得,四边形 ADCE 为矩形, AE =CD =3在 RtDBEC 中,由 BC =5 , CE =4 ,依勾股定理得:BE =3,从而 AB =6又由 PD 平面 ABCD得, PD AD从而在 RtDPDA中,由 AD =4 ,PAD =60,得 PD =4 3正视图如右图所示:()取 PB 中点 N ,连结 MN , CN 在 DPAB 中, M 是 PA 中点,163 MN AB ,

25、 MN =12AB =3 ,又 CD AB , CD =3 MN CD ,MN =CD四边形 MNCD为平行四边形, DM CN又 DM 平面 PBC,CN 平面 PBC DM 平面 PBC() VD -PBC=VP -DBC1= S PDDDBC又 sDPBC=6 , PD =4 3 ,所以 VD -PBC=8 3解法二:()同解法一()取 AB 的中点 E ,连结 ME , DE 在梯形 ABCD 中, BE CD ,且 BE =CD 四边形 BCDE 为平行四边形 DE BC ,又 DE 平面 PBC,BC 平面 PBC DE 平面 PBC,又在 DPAB 中,ME PBME 平面 PB

26、C, PB 平面 PBC ME 平面 PBC.又 DE ME =E ,平面 DME 平面 PBC ,又 DM 平面 DME DM 平面 PBC()同解法一30（2013 年高考广东卷（文） 如图 4,在边长为 1 的等边三角形ABC中,D, E分别是AB, AC边上的点,AD =AE , F 是 BC 的中点, AF 与 DE 交于点 G ,将 DABF 沿 AF 折起,得到如图 5所示的三棱锥A -BCF,其中BC =22.(1) 证明:DE/平面BCF;(2) 证明: CF 平面 ABF ;(3) 当AD =23时,求三棱锥 F -DEG 的体积 VF -DEG.17A -BCF也成立,平

27、面 ,平面 ,平面 ;ABC F BC AF BC 2A -BCF, AAGEDGEDFCBFC图 4B图 5【答案】(1)在等边三角形 ABC 中, AD =AEAD AE =DB EC,在折叠后的三棱锥 中 DE / / BC,DE BCFBC BCF DE / / BCF1BF =CF =(2)在等边三角形 中, 是 的中点,所以 , .在三棱锥 中,BC =22 BC 2 =BF 2 +CF 2 CF BFBF CF =F CF 平面ABF;(3)由(1)可知GE / / CF,结合(2)可得GE 平面DFG.VF -DEG=VE -DFG1 1 1 1 1 1 3 1 3 = DG

28、FG GF = =3 2 3 2 3 3 2 3 32431（2013 年高考湖南（文） 如图 2.在直棱 ABC-A B C 中,BAC=90,AB=AC=1 1 1中点,点 E 在棱 BB 上运动.1(I) 证明:ADC E;1(II)当异面直线 AC,C E 所成的角为 60时,求三棱锥 C A B E 的体积.1 1- 2 1,AA =3,D 是 BC 的 11811 1 1A B CD【答案】解: ()因为E为动点，所以需证AD 面CBB C1 1.Q ABC -A B C 是直棱柱 BB 面ABC, 且AD 面ABC BB AD 1 1 1 1 1又 Q RT DABC 是等腰直角

29、且 D为 BC 的中点，BC AD.由上两点，且BC BB =B AD 面CBB C 且C E 面CBB C AD C E.1 1 1 1 1 1 1毕)(证()Q CA / C A , A C E =60 在RT DA C E中， AE =1 1 1 1 1 16. 在RTDA B E中，EB =2. Q ABC -A B C 是直棱柱 EB 是三棱锥E -A B C 的高 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. VC -A B E 1 1 1=VE -A B C 1 1 1=1 1 2 2 S EB = 12= 所以三棱锥C -A B E的体积为 .3 1 1 3 3 332（2013

30、年高考北京卷（文） 如图,在四棱锥 P -ABCD 中, AB / / CD , AB AD , CD =2 AB,平面 PAD 底面ABCD,PA AD,E和 F分别是CD和PC的中点,求证:(1) PA 底面 ABCD ;(2) BE / / 平面 PAD ;(3)平面 BEF 平面 PCD【答案】(I)因为平面 PAD平面 ABCD,且 PA 垂直于这个平面的交线 AD 所以 PA 垂直底面 ABCD.(II)因为 ABCD,CD=2AB,E 为 CD 的中点所以 ABDE,且 AB=DE所以 ABED 为平行四边形,所以 BEAD,又因为 BE平面 PAD,AD平面 PAD所以 BE平

31、面 PAD.19(III)因为 ABAD,而且 ABED 为平行四边形所以 BECD,ADCD,由(I)知 PA底面 ABCD,所以 PACD,所以 CD平面 PAD所以 CDPD,因为 E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点所以 PDEF,所以 CDEF,所以 CD平面 BEF,所以平面 BEF平面 PCD.33（2013 年高考课标卷（文） 如图,三棱柱ABC -A B C 1 1 1中,CA =CB,AB =AA1,BAA =601.()证明:AB AC1;()若AB =CB =2,AC =16,求三棱柱ABC -A B C 1 1 1的体积.C C1BB1AA1【答案】(I)取 A

32、B 的中点 O,连接OC O、OA O、1A B1,因为 CA=CB,所以OC AB,由于 AB=A A ,1BA A =600,故1DAA, B为等边三角形,所以 OA AB.120因为 OC OA =O,所以 AB1平面 OA C.又 A CC 平面 OA C,故 AB1 1 1AC.(II)由题设知DABC 与DAA B都是边长为 2的等边三角形，AA B都是边长为 2的等边三角形，所以1 1OC =OA = 3, 又AC = 6，则AC 1 1 12+OA 2，故OA OC. 1 1因为OC AB =O , 所以OA 平面ABC，OA 为棱柱ABC -A B C 的高，1 1 1 1 1又DABC的面积SABC= 3，故三棱柱ABC-A B C 的体积V =S1 1 1ABCOA =3.134（2013 年高考山东卷（文） 如图,四棱锥P -ABCD中, AB AC , AB PA , ABCD , AB =2CD , E , F , G , M , N分别为PB , AB , BC , PD , PC的中点()求证: CE平面 PAD;()求证: 平面 EFG 平面 EMN【答案】212235（2013 年高考四川卷（