2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习：《三角形》.docx

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1、三轮冲刺复习培优同步练习：三角形1如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，CD 是 AB 边上的中线，点 E 为线段 CD 上一点（不与点 C、D 重合），连接 BE，作 EFBE 与 AC 的延长线交于点 F，与 BC 交于点 G，连 接 BF（1） 求证：CFGEBG；（2） 求EFB 的度数；（3）求的值2好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列 4 个问题，请你帮她解决如图，在 ABC 中，点 I 是ABC、ACB 的平分线的交点，点 D 是MBC、NCB 平分线的交点， BI、DC 的延长线交于点 E（1） 若BAC50，则BIC ；（2） 若BACx（0x90），则当ACB

2、等于多少度（用含 x 的代数式表示）时， CEAB，并说明理由；（3） 若D3E，求BAC 的度数13（1）思考探究：如图，ABC 的内角ABC 的平分线与外角ACD 的平分线相交于 P 点， 已知ABC70，ACD100求A 和P 的度数；（2） 类比探究：如图，ABC 的内角ABC 的平分线与外角ACD 的平分线相交于 P 点， 已知Pn求A 的度数（用含 n 的式子表示）；（3） 拓展迁移：已知，在四边形 ABCD 中，四边形 ABCD 的内角ABC 与外角DCE 的平分线所在直线相交于点 P，Pn，请画出图形；并探究出A+D 的度数（用含 n 的 式子表示）4如图 1，在ABC 中，B

3、D 平分ABC，CD 平分ACB（1） 若A80，则BDC 的度数为 ；（2） 若A，直线 MN 经过点 D1 如图 2，若 MNAB，求NDCMDB 的度数（用含 的代数式表示）；2 如图 3，若 MN 绕点 D 旋转，分别交线段 BC，AC 于点 M，N，试问在旋转过程中NDCMDB 的度数是否会发生改变？若不变，求出NDCMDB 的度数（用含 的代数式表 示），若改变，请说明理由；如图 4，继续旋转直线 MN，与线段 AC 交于点 N，与 CB 的延长线交于点 M，请直接写出 NDC 与MDB 的关系（用含 的代数式表示）25如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点 A（0，10），点

4、B（m，0），且 m0， AOB 绕点 A 逆时针旋转 90，得到ACD，点 O，B 旋转后的对应点分别为点 C，D （1）点 C 的坐标为 ；（2）设BCD 的面积为 S，用含 m 的代数式表示 S，并直接写出 m 的取值范围； 当 S12 时，请直接写出点 B 的坐标6如图，已知 A（3，0），B（0，1），连接 AB，过 B 点作 AB 的垂线段 BC，使 BABC， 连接 AC（1） 如图 1，求 C 点坐标；（2） 如图 2，若 P 点从 A 点出发沿 x 轴向左平移，连接 BP，作等腰直 BPQ，连接 CQ， 当点 P 在线段 OA 上，求证：PACQ；（3） 在（2）的条件下若

5、C、P，Q 三点共线，求此时APB 的度数及 P 点坐标37如图，在ABC 中，BC5，高 AD、BE 相交于点 O，BD CD，且 AEBE（1） 求线段 AO 的长；（2） 动点 P 从点 O 出发，沿线段 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q从点 B 出发沿射线 BC 以每秒 4 个单位长度的速度运动，P、Q 两点同时出发，当点 P 到达A 点时，P、Q 两点同时停止运动设点 P 的运动时间为 t 秒 POQ 的面积为 S，请用含 t 的式子表示 S，并直接写出相应的 t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，点 F 是直线 AC 上的一点且 CFBO是否存在 t

6、值，使以点 B、O、P 为顶点的三角形与以点 F、C、Q 为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条 件的 t 值；若不存在，请说明理由8已知在ABC 中，ABAC，BAC，直线 l 经过点 A（不经过点 B 或点 C），点 C 关 于直线 l 的对称点为点 D，连接 BD，CD（1）如图 1，1 求证：点 B，C，D 在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上2 直接写出BDC 的度数（用含 的式子表示）为 （2） 如图 2，当 60时，过点 D 作 BD 的垂线与直线 l 交于点 E，求证：AEBD；（3） 如图 3，当 90时，记直线 l 与 CD 的交点为 F，连接 BF将直线 l 绕点

7、 A 旋 转，当线段 BF 的长取得最大值时，直接写出 tanFBC 的值49如图，ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C不重合），Q 是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合），过 P 作 PEAB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D（1） 当BQD30时，求 AP 的长；（2） 证明：在运动过程中，点 D 是线段 PQ 的中点；（3） 当运动过程中线段 ED 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 ED 的长；如果变化 请说明理由10情景观察：（1）如图 1，在ABC 中，

8、ABAC，BAC45，CDAB 于 D，AEBC 于 E，CD 与 AE 相交于点 F1 写出图 1 中两对全等三角形 ；2 线段 AF 与线段 CE 的数量关系是 问题探究：（2）如图 2，在ABC 中，ABBC，BAC45，AD 平分BAC，且 ADCD 于 D，AD 与 BC 交于点 E求证：AE2CD拓展延伸：（3）如图 3，在ABC 中，ABBC，BAC45，点 D 在 AC 上，EDC BAC，DECE 于 E，DE 与 BC 交于点 F求证：DF2CE511已知在 BAC 中，BAC90，ABAC，点 D 为射线 BC 上一点（与点 B 不重合），过点 C 作 CEBC 于点 C

9、，且 CEBD（点 E 与点 A 在射线 BC 同侧），连接 AD，ED（1） 如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，请直接写出ADE 的度数（2） 当点 D 在线段 BC 的延长线上时，依题意在图 2 中补全图形并判断（1）中结论是否 成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（3） 在（1）的条件下，ED 与 AC 相交于点 P，若 AB2，直接写出 CP 的最大值12如图，在ABC 中，ABAC2，BC40，点 D 在线段 BC 上运动（点 D 不与点 B、C 重合），连接 AD，作ADE40，DE 交线段 AC 于点 E（1） 当BDA110时，EDC ，DEC ；点 D 从 B 向

10、 C 的运动 过程中，BDA 逐渐变 （填“大”或“小”）；（2） 当 DC 等于多少时，ABDDCE，请说明理由（3） 在点 D 的运动过程中，ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出 BDA 的度数，若不可以，请说明理由613如图 1，在ABC 中，ACB90，AC BC，点 D 为 BC 的中点，ABDE，BEAC （1）求证：ABCDEB；（2）连结 AD、AE、CE，如图 21 求证：CE 是ACB 的角平分线；2 请判断ABE 是什么特殊形状的三角形，并说明理由14如图 1，在ABC 中，ABAC，点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AD 上，连接 BE、CE（1）

11、求证：BECE；（2） 如图 2，若 BE 的延长线交 AC 于点 F，且 BFAC，垂足为 F，原题设其它条件不变求 证：CADCBF（3） 在（2）的条件下，若BAC45，判断CFE 的形状，并说明理由715如图，ABC 是等边三角形，D 是 BC 边的中点，以 D 为顶点作一个 120的角，角的两边分别交直线 AB、直线 AC 于 M、N 两点以点 D 为中心旋转MDN（MDN 的度数不变）， 当 DM 与 AB 垂直时（如图所示），易证 BM+CNBD（1） 如图，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 上时，BM+CNBD 是否 仍然成立？若成立，请给

12、予证明；若不成立，请说明理由；（2） 如图，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 的延长线上时，BM+CNBD 是否仍然成立？若不成立，请写出 BM，CN，BD 之间的数量关系，不用证明16如图所示，ABC 为等边三角形，点 D，点 E 分别在 CA，CB 的延长线上，连接 BD，DE， DBDE（1） 如图 1，若 CA：AD3：7，BE4，求 EC 的长；（2） 如图 2，点 F 在 AC 上，连接 BE，DBF60，连接 EF， 求证：BF+EFBD；如图 3，若BDE30，直接写出的值817问题提出：（1）如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点，且

13、BCa，ABb，填空：当ABC时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含 a，b 的式子表示）问题探究：（2）点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC6，AB3，如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边，作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE，连接 CD，BE，找出图中与 BE 相等的线段，请说明理 由，并直接写出线段 BE 长的最大值问题解决：（3）如图 3，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，0），点 B 的坐标为（5，0），点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA2，PMPB，BPM90，求线段 AM 长的最大值及此 时点 P 的坐标18数学活动课上，老师出示了一个问题

14、：如图 1，ABCDEF（点 A、B 分别与点 D、E 对应），ABAC，现将ABC 与DEF 按如图所示的方式叠放在一起，现将ABC 保持不动 DEF 运动，且满足点 E 在边 BC 边从 B 向 C 移动（不与 B、C 重合），DE 始终经过点 A，EF 与 AC 交于 M 点求证：ABE ECM（1） 请解答老师提出的问题（2） 受此问题的启发，小明 DEF 绕点 E 按逆时针旋转，使 DE、EF 分别交 AB、AC 边于点 N、M，连接 MN，如图 2，当 EBEC 时，小明猜 NEM 与ECM 相似，小明的猜想 正确吗？请你作出判断并说明理由；（3）在（2）的条件下，以E 为圆心，作

15、E，使得 AB 与E 相切，请在图 3 中画出E， 并判断直线 MN 与E 的位置关系，说明理由919在ABC 中，ACBC，ACB90，D 为 AB 边的中点，以 D 为直角顶点的 DEF 的 另两个顶点 E，F 分别落在边 AC，CB（或它们的延长线）上（1）如图 1，若 DEF 的两条直角边 DE，DF 与ABC 的两条直角边 AC，BC 互相垂直，则+DEFCEF，求当ABCDEF2 时，AC 边的长； CEF（2）如图 2，若 RtDEF 的两条直角边 DE，DF 与ABC 的两条直角边 AC，BC 不垂直，S+DEFCEF，是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出 ABC

16、，DEF，CEFABC之间的数量关系；（3）如图 3，若 DEF 的两条直角边 DE，DF 与ABC 的两条直角边 AC，BC 不垂直，且点 E 在 AC 的延长线上，点 F 在 CB 的延长线上，+DEFCEFABC是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出，DEF，CEFABC之间的数量关系10参考答案1（1）证明：ACB90，EFBE，FCGBEG90，又CGFEGB，CFGEBG；（2）解：由（1）得CFGEBG， ， ，又CGEFGB，CGEFGB，EFBECG ACB45；（3）解：过点 F 作 FHCD 交 DC 的延长线于点 H，由（2）知，BEF 是等腰直角三角形，

17、EFBE，FEH+DEB90，EBD+DEB90， FEHEBD，在FEH 和EBD 中，FEHEBD（AAS），FHED，11FCHACD45，CHF90， CFHCFH45，CHFH，在 RtCFH 中，CF FH，CFDE， 2解：（1）点 I 是两角 B、C 平分线的交点，BIC180（IBC+ICB）180 （ABC+ACB）180 （180A）90+ BAC115故答案为 115（2）当ACB 等于（1802x）时，CEAB理由如下： CEAB，ACEAx，CE 是ACG 的平分线，ACG2ACE2x，ABCACGBAC2xxx，ACB180BACABC（1802x）（3）由题意知

18、 BDE 是直角三角形D+E90若D3E 时，E22.5，设ABEEBGx，ACEECGy，则有 ，可得A2E45123解：（1）ABC70，ACD100，A1007030，P 点是ABC 和外角ACD 的角平分线的交点，PCD ACD50，PBC ABC35，P503515；（2）A2n理由：PCDP+PBC，ACDA+ABC，P 点是ABC 和外角ACD 的角平分线的交点，ACD2PCD，ABC2PBC，A+ABC2（P+PBC），A+ABC2P+2PBC，A+ABC2P+ABC，A2P，A2n；（3）（）如图延长 BA 交 CD 的延长线于 FF180FADFDA180（180A）（18

19、0D）A+D 180，由（2）可知：F2P2n，A+D180+2n（）如图，延长 AB 交 DC 的延长线于 FF180AD，P F，P （180AD）90 （A+D）13A+D1802n综上所述：A+D180+2n或 1802n4解：（1）如图 1 中，BD 平分ABC，CD 平分ACB，DBC ABC，DCB ACB，BDC180（DBC+DCB）180 （ABC+ACB）180 （180 A）90+ A，A80，BDC120故答案为 120（2）如图 2 中，MNAB，ADNC，ABDBDM，NDCBDM180A ACB ABC180 （180）90 结论不变理由：如图 3 中，NDCB

20、DMDMC+DCMBDMDBM+BDM+DCMBDM14 ABC+ ACB （180）90 ，结论成立结论：如图 4 中，NDC+MDB90 理由：NDC+BDM180BDC，BDC90+ ， NDC+BDM90 5解：（1）点 A（0，10），AO10，AOB 绕点 A 逆时针旋转 90得ACD，ACAO10，OAC90，C（10，10），故答案为：（10，10）；（2）延长 DC 交 x 轴于点 E，点 B（m，0），OBm，AOB 绕点 A 逆时针旋转 90得ACD，DCOBm，ACDAOB90，OAC90，ACE90，四边形 OACE 是正方形，DEx 轴，OEAC10，如图 1，当点

21、 E 在线段 OB 上时，BEOBOEm10，S DCBE m（m10），即 S m25m（m10），如图 2，当点 E 在线段 OB 的延长线上（点 B 不与 O，E 重合）时， 则 BEOEOB10m，S DCBE m（10m），15即 S m2+5m（0m10），当点 B 与 E 重合时，即 m10，BCD 不存在，综上所述，S m25m（m10）或 S m2+5m（0m10）；当 S12，m10 时， m25m12，解得：m 2（舍去），m 12， 1 2当 S12，0m10 时， m2+5m12，解得：m 4，m 6，3 4点 B 的坐标为（12，0）或（4，0）或（6，0）6解：（

22、1）作 CHy 轴于 H，则BCH+CBH90， ABBC，ABO+CBH90， ABOBCH，在ABO 和BCH 中，16ABOBCH，BHOA3，CHOB1，OHOB+BH4，C 点坐标为（1，4）；（2）PBQABC90，PBQABQABCABQ，即PBAQBC， 在PBA 和QBC 中，PBAQBC，PACQ；（3）BPQ 是等腰直角三角形，BQP45，当 C、P，Q 三点共线时，BQC135，由（2）可知，PBAQBC，BPABQC135，OPB45，OPOB1，P 点坐标为（1，0）7解：（1）如图 1 中，17AD 是高，ADC90，BE 是高，AEBBEC90，EAO+ACD9

23、0，EBC+ECB90， EAOEBC，在AOE 和BCE 中，AOEBCE，AOBC5（2）BD CD，BC5，BD2，CD3，由题意 OPt，BQ4t，当点 Q 在线段 BD 上时，QD24t，S t（24t）2t2+t（0t ）当点 Q 在射线 DC 上时，DQ4t2，S t（4t2）2t2t（ t5）（3）存在如图 2 中，当 OPCQ 时，OBCF，POBFCQ， BOPFCQ18CQOP，54tt，解得 t1，如图 3 中，当 OPCQ 时，OBCF，POBFCQ， BOPFCQCQOP，4t5t，解得 t 综上所述，t1 或 s 时，BOP 与FCQ 全等8证明：（1）如图 1，

24、连接 DA，并延长 DA 交 BC 于点 M，点 C 关于直线 l 的对称点为点 D，ADAC，且 ABAC，ADABAC，点 B，C，D 在以点 A 为圆心，AB 为半径的圆上 ADABAC19ADBABD，ADCACD，BAMADB+ABD，MACADC+ACD， BAM2ADB，MAC2ADC，BACBAM+MAC2ADB+2ADC2BDC BDC故答案为： （2）如图 2，连接 CE，BAC60，ABACABC 是等边三角形BCAC，ACB60，BDCBDC30，BDDE，CDE60，点 C 关于直线 l 的对称点为点 D，DECE，且CDE60CDE 是等边三角形，CDCEDE，DC

25、E60ACB，BCDACE，且 ACBC，CDCE，BCDACE（SAS）BDAE，（3）如图 3，取 AC 的中点 O，连接 OB，OF，BF，20在BOF 中，BO+OFBF，当点 O，点 B，点 F 三点共线时，BF 最长， 如图，过点 O 作 OHBC，BAC90，ABAC，BCAC，ACB45，且 OHBC，COHHCO45， OHHC，OCHC，点 O 是 AC 中点，AC2HC，BC4HC，BHBCHC3HCtanFBC 9（1）解：设 APx，则 BQx，BQD30，C60， QPC90，QC2PC，即 x+62（6x）， 解得 x2，即 AP2（2）证明：如图，21过 P 点

26、作 PFBC，交 AB 于 F，PFBC，PFAFPAA60，PFAPAF，PFBQ，又BDQPDF，DBQDFP，DQBDPF，DQDP 即 D 为 PQ 中点，（3）运动过程中线段 ED 的长不发生变化，是定值为 3， 理由：PFAPAF，PEAF， ，又DQBDPF， ， 10解：情景观察：（1）ABAC，AEBC，BEEC BC，且 ABAC，AEAEABEACE（SSS）CDAB，BAC45BACACD45ADCD，AEBC，CDAB，B+BAE90，B+BCD90，BAEBCD，且ADCBDC90，ADCD， ADFCDB（ASA）22故答案为：ABEACE，ADFCDB； ADF

27、CDBBCAFAF2CE故答案为：AF2CE；问题探究：（2）如图，延长 AB、CD 交于点 G，AD 平分BAC，CADGAD，ADCD，ADCADG90， 在ADC 和ADG 中，ADCADG（ASA），CDGD，即 CG2CD，BAC45，ABBC，BACBCA45ABC90CBG90， G+BCG90，G+BAE90，BAEBCG，在ABE 和CBG 中，23，ADCCBG（ASA），AECG2CD拓展延伸：（3）如图，作 DGBC 于点 H，交 CE 的延长线于 G，BAC45，ABBC，BACACB45，ABBC，且 DGBC，DGAB，GDCBAC45，EDC BAC，EDC B

28、AC22.5EDG， DHCH，又DECE，DECDEG90，在DEC 和DEG 中，DECDEG（ASA），DCDG，GECE，DHFCEF90，DFHCFE， FDHGCH，在DHF 和CHG 中，24，DHFCHG（ASA），DFCG2CE11解：（1）如图 1，连接 AE，在 RtBAC 中，BAC90，ABAC， BACB45CEBC，BCE90345B3又ABAC，BDCE，ABDACEADAE，BADCAEDAEBAC90DAE 是等腰直角三角形ADE45（2）补全图形，如图 2 所示，结论成立证明：如图，连接 AE，在 BAC 中，BAC90，ABAC， B145CEBC，BC

29、E90245B2又ABAC，BDCE，ABDACE25ADAE，BADCAEDAEBAC90DAE 是等腰直角三角形ADE345（3）由（1）知，ADE 是等腰直角三角形， AB2，AC2，当 AP 最小时，CP 最大，即：DEAC 时，AP 最小，ADE45，ACB45，ADBC，AD BC AB ，在 ADP 中，APCPACAP1即：CP 的最大值为 1AD1，12解：（1）ADB+ADE+EDC180，且ADE40，BDA110， EDC30，AEDEDC+ACB30+407026EDC180AED110，故答案为：30，110，BDA+B+BAD180，BDA140BAD点 D 从

30、B 向 C 的运动过程中，BAD 逐渐变大BDA 逐渐变小，故答案为：小（2）当 DC2 时，ABDDCE，理由如下：ADCB+BAD，ADCADE+CDE，BADE40， BADCDE，且 ABCD2，BC40，ABDDCE（ASA）（3）若 ADDE 时，ADDE，ADE40DEADAE70DEAC+EDCEDC30BDA180ADEEDC1804030110若 AEDE 时，AEDE，ADE40ADEDAE40，AED100DEAC+EDCEDC60BDA180ADEEDC180406080综上所述：当BDA80或 110时，ADE 的形状可以是等腰三角形 13解：（1）ACB90，BE

31、AC，CBE90，ABC 和DEB 都是直角三角形，AC BC，点 D 为 BC 的中点，27ACBD，又ABDE，RtABCRtDEB（HL）；（2）由（1）得：ABCDEB， BCEB，又CBE90，BCE45，ACE904545，BCEACE，CE 是ACB 的角平分线ABE 是等腰三角形，理由如下： 在ACE 和DCE 中 ，ACEDCE（SAS），AEDE，又ABDE，AEAB，ABE 是等腰三角形14证明：（1）ABAC，D 是 BC 的中点， BAECAE，在ABE 和ACE 中，ABEACE（SAS），BECE；（2）ABAC，点 D 是 BC 的中点， ADBC，28CAD+

32、C90，BFAC，CBF+C90，CADCBF；（3）CEF 是等腰直角三角形，理由：BAC45，BFAF，ABF 为等腰直角三角形， AFBF，在AEF 和BCF 中，AEFBCF（ASA），EFCF，CFE90，CFE 为等腰直角三角形15解：（1）结论 BM+CNBD 成立，理由如下：如图，过点 D 作 DEAC 交 AB 于 E，ABC 是等边三角形，ABC60，DEAC，BEDA60，BDEC60， BBEDBDE60，BDE 是等边三角形，EDC120，29BDBEDE，EDN+CDN120，EDM+EDNMDN120，CDNEDM，D 是 BC 边的中点，DEBDCD，在CDN

33、和EDM 中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBM+EMBM+CN；（2）上述结论不成立，BM，CN，BD 之间的数量关系为：BMCNBD；理由如下： 如图，过点 D 作 DEAC 交 AB 于 E，ABC 是等边三角形，ABC60，NCD120，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE 是等边三角形，MEDEDC120，BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM120， CDN+CDMMDN120，CDNEDM，D 是 BC 边的中点，30DEBDCD，在CDN 和EDM 中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBMEMBMCN，BMCNBD16解：（1）如图 1，延长 CB 至 H，使 EHBC，连接 DH，DBDE，DBEDEB，DEHDBC，且 DEDB，EHBC， DEHDBC（SAS）DHAC，ABC 是等边三角形，C60，ACBC，DHC 是等边三角形，DCCH，CA：AD3：7，设 AD7a，AC3aBCEH， CDCH10a，BECHEHBC4a4，a1，31ECEB+BC7a7；（2）如图 2，延长 CB 至