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1、有理数知识点目录一、正数和负数 .2考向 1:正数和负数的概念.2考向 2:正数和负数的相反意义.2二、有理数 .3考向 3:有理数的分类.3三、数轴 .4考向 4:数轴的定义.5考向 5:利用数轴比较两数的大小.7四、相反数 .9考向 6:相反数.9五、绝对值 .10 考向 7:求一个数的绝对值. 11考向 8:有理数的大小比较. 11六、有理数的加法 .18考向 9:有理数的加法.18七、有理数的减法 .20考向 10:有理数的减法.20八、有理数的乘法 .24考向 11:有理数的乘法.24九、有理数的除法 .26考向 12:有理数的除法.27十、乘方 .29考向 13:乘方的运算.29一
2、、 有理数的混合运算.31二、 科学计数法 .32考向 14:科学计数法.32十三、近似数 .33考向 15:近似数.33参考答案: .34 有理数知识点总结与典型例题一、正数和负数1、正数和负数的概念:1 比 0 大的数叫做正数;2 比 0 小的数叫做负数;3 0 既不是正数,也不是负数,0 是正数与负数的分界(0 的意义已不仅是表示“没有”). 说明:字母 a 可以表示任意数,当 a 表示正数时,-a 是负数;当 a 表示负数时,-a是正数;当 a 表示 0 时,-a 仍是 0。(带正号的数是正数,带负号的数是负数, 这种说法是错误的,例如+a,-a 就不能做出简单判断);正数有时也可以在
3、前面加“ +”,有时“ +”省略不写。所以省略“ +”的正数 的符号是正号.2、正数和负数的意义:在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义.例如:零上 3记作+3,零下 2可记作-2.典型例题考向 1:正数和负数的概念1、下列各数:+3,-1 1,0.154,-2.5, 中,正数有( ) 3 2A1 个B2 个C3 个 D4 个2、在 1,-2,-5.5,0,4 5, - ,3.14 中,负数的个数为( ) 3 7A3 个 B4 个 C5 个 D6 个33、在 5, ,-1,0.001 这四个数中,小于 0 的数是(23A5 B C0.001 D-12)1 34、在 2, , ,
4、-1 四个数中,与其余三个不同的是( )2 41 3A2 B C. D-12 4考向 2:正数和负数的相反意义5、如果收入 80 元记作+80 元,那么支出 20 元记作( )A+20 元 B-20 元 C+100 元 D-100 元6、若火箭发射点火前 10 秒记为-10 秒,那么火箭发射点火后 5 秒应记为( )A-5 秒 B-10 秒 C+5 秒 D+10 秒7、如果+30m 表示向东走 30m,那么向西走 40m 表示为( )A+30m B-30m C+40m D-40m8、如果用+0.02 克表示一只乒乓球质量超出标准质量 0.02 克,那么一只乒乓球质量低 于标准质量 0.02 克
5、记作( )A+0.02 克 B-0.02 克 C0 克 D+0.04 克9、向东运动记作“+”,向西运动记作“-”,下列说法正确的是( )A-5 表示向东运动了 5 米 B向西运动 5 米表示向东运动了-5 米C+5 表示向西运动了 5 米 D向西运动 5 米也可以记作向西运动-5 米二、有理数1、有理数的概念:1 整数和分数统称为有理数;2 正整数、0、负整数统称为整数(0 和正整数统称为自然数); 正分数和负分数统称为分数.说明:由于整数可以看成是分母为 1 的分数,所以有理数可以用qp(p , q是整数,q 0)表示;只有能化成分数的数才是有理数;是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是
6、有理数;有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数。 2、有理数的分类:说明:有理数最终可分为 5 类:正整数、正分数、零、负整数、负分数; 其他常见分类方法:例如:非正数、非负整数、非负有理数 非正数:(不是正数)=负数和零非负整数:(不是负的整数)=正整数和零非负有理数:(不是负的有理数)=正有理数和零典型例题考向 3:有理数的分类1、0 这个数是( )A正数 B负数 C整数 D无理数2、-3 不是( )A有理数 B整数 C自然数 D负有理数3、下列说法中,不正确的是( )A 有最小正整数,没有最小的负整数B 若一个数是整数,则它一定是有理数C 0 既不是正有理数,也不是负有理数D 正
7、有理数和负有理数组成有理数4、下列各数中,是正分数的是( )A12B2 C0 D-0.35、下面说法正确的是( ) A有理数是整数B 有理数包括整数和分数C 整数一定是正数D 有理数是正数和负数的统称 6、在有理数-3,0,2 8,3.7, - 中,属于非负数集合的个数为( ) 3 5A4 B3 C2 D17、下列说法正确的是( )A 0 是最小的有理数B 一个有理数不是正数就是负数C 分数不是有理数D 没有最大的负数8、如图表示负数集合与整数集合,则图中重合部分 A 处可以填入的数是( )A3 B0 C-2.6D-79、有理数 2.5,-8,-0.7,3 1, -2 4,-5%和 0 中,分
8、数的个数有( )A2 个 B3 个C4 个D5 个思路点拨:根据分数定义 2.5、-0.7、3 1、 - 、-5%都是分数,所以共有 5 个,在有 2 4理数中,除了整数就是分数.10、下列数0.15p, ,- 32,022,7,0.87,0.1010010001L中,是有理数的有()A3 个 B4 个 C5 个 D6 个三、数轴1、数轴的定义:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.说明:数轴是一条向两端无限延伸的直线;2 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;3 同一数轴上的单位长度要统一;4 数轴的三要素都是根据实际需要规定的.2、数轴上的点与有理数的关系:1 所有的有
9、理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右边的点表示,负有理 数可用原点左边的点表示,0 用原点表示;2 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点不是有理数) 3、数轴的画法:1 画一条直线,在直线上任取一点表示 0,作为原点;2 规定正方向(通常向右);3 任取适当的长度为单位长度,注意数轴上每一个表示的长度必须一致.4、利用数轴比较两数大小:1 在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;2 表示正数的点在原点的右侧,表示负数的点在原点的左侧;3 正数都大于 0,负数都小于 0,正数大于负数;
10、4 两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小;典型例题考向 4:数轴的定义1、下列各图中,符合数轴定义的是( )A. B.C.D.2、如图所画的数轴正确的有()A1 条B2 条C3 条D4 条考向 5:利用数轴比较两数的大小3、如图所示,在数轴上点 A 表示的数可能是( )A1.5 B-1.5 C-2.6 D2.6 4、数轴上表示-4 的点到原点的距离为( )A4 B-4 C1 1D -4 45、如图,点 O、A、B 在数轴上,分别表示数 0、1.5、4.5,数轴上另有一点 C,到点 A 的距离为 1,到点 B 的距离小于 3,则点 C 位于( )A点 O 的左边 B点 O 与点 A 之
11、间C点 A 与点 B 之间 D点 B 的右边6、 在数轴上到原点距离等于 2 的点所表示的数是( ) A-2 B2 C2 D不能确定7、 如图,在数轴上点 A 表示( )A-2 B2 C2 D08、如图,数轴上一点 A 向左移动 2 个单位长度到达点 B,再向右移动 5 个单位长度到 达点 C若点 C 表示的数为 1,则点 A 表示的数( )A7 B3 C-3 D-29、数 a、b 在数轴上的位置如图所示,那么( )A0ab B0ba Ca0b Db0a10、实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则 a 与 b 的大小关系是( )Aab Ba=b Cab D不能判断四、相反数1、相反数的定义:
12、只有符号不相同的两个数叫做互为相反数。例如 a 与-a,其中一个叫做 另一个的相反数。 说明:相反数是成对出现的;2 相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;3 0 的相反数是它本身;相反数为本身的数是 0;4 在数轴上,离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.2、相反数的性质:若 a 与 b 互为相反数,则 ab=0,即 a=-b;反之,若 ab=0,则 a 与 b 互为相反数. 典型例题考向 6:相反数1、12的相反数是( )A.-1 1B.2 2C.2D.-22、一个数的相反数是 3,则这个数是( )A.-1 1B.3 3C.-3D.33、如图,数轴上有 A、B、C、D 四个
13、点,其中表示互为相反数的点是( )A点 A 与点 D B点 A 与点 C C点 B 与点 D D点 B 与点 C 4、如果 a 与-3 互为相反数,那么 a 等于( )A.3B.-3C.1 1D. -3 35、化简-(-3)的结果是( )A.3B.-3C.1 1D. -3 36、如果 a 与 2 的和为 0,那么 a 是( )A.2B.1 1C. -2 2D.-27、若 x 与 y 互为相反数,则 x+y 的值为( )A.0 B.1 C.-1 D.1五、绝对值1、绝对值的定义:一般地,数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值,记作|a|. 2、绝对值的性质:任何一个有理数的绝对值都
14、是非负数(|a|0),也就是说绝对值具有非负性。 一个正数的绝对值是它本身;2 一个负数的绝对值是它的相反数;3 0 的绝对值是 0.即:如果 a0,那么|a|=a;如果 a=0,那么|a|=0;如果 a0 时,a+ba 当 b0 时,a+bb,则 a-b0;若 ab,则 a-b0.典型例题考向 10:有理数的减法1、计算 2-(-3)的结果等于( )A-1 B1 C5 D62、计算(-3)-(-9)的结果等于( )A12 B-12 C6 D-63、比-1 小 2 的数是( )A-3 B-2 C-1 D34、计算:-3-|-6|的结果为( )A-9 B-3 C3 D95、有理数 a,b 在数轴
15、上的对应点的位置如图所示,则( )Aa+b0 Ba+b0 Ca-b=0 Da-b06、计算:0-12=( )A.1 1B.-2 C.-2 2D.27、如图,数轴上 A 点表示的数减去 B 点表示的数,结果是( )A8 B-8 C2 D-28、请阅读一小段约翰斯特劳斯作品,根据乐谱中的信息,确定最后一个音符的时值长应 为( )A.1 1 1 3B. C. D.8 2 4 49、a,b 在数轴上的位置如图所示,则 a,b,a+b,a-b 中,负数的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个10、已知 a,b 两数在数轴上的位置如图所示,设 M=a+b,N=-a+b,H=a-b,则下列各式
16、正确的是( )AMNH BHNM CHMN DMHN 11、有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则 a-b 的值在( )- +2 +4 - -2 - +123727A-3 与-2 之间 B-2 与-1 之间 C0 与 1 之间 D2 与 3 之间 12、有理数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,则|a+c|+|c-b|-|b+a|=( )A-2b B0 C2c D2c-2b13、若|a|=5,|b|=3,则|a-b|等于( )A2 B8 C2 或 8 D2 或814、 若|x|=4,|y|=2,且|x+y|=x+y,则 x-y=( ) A2 B-2 C6 D2 或 615、 计算:23(
17、-17)-6-(-28) 1-15 -331 2 1-4 +87 3 712.3 -7.2 +(-2.3)-(-15.2)21 2 1 1 1 0 -1 3 1 1 3 1 -( -3.25) +2 -7 (-55)-(+3 ) -(+7 )-(-8 )2 4 2 4 4 2|-41 3 1 3-(- )|-(|-4 |-|- |) 4 4 4 4-73 1 1 1 +4 +( -18 ) + -6 -8 2 4 2八、有理数的乘法1、有理数的乘法法则:1 两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;2 任何数同 0 相乘,都得 0.说明:多个不为 0 的数相乘,负因数的个数是偶数时,积为正
18、数;负因数的个数是奇 数时,积为负数,即先确定符号,再把绝对值相乘,绝对值的积就是积的绝对值; 多个数相乘,若其中有因数 0,则积等于 0;反之,若积为 0,则至少有一个 因数是 0.2、倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为:a1 1 1 1=1(a0),就是说 a 和 互为倒数,即 a 是 的倒数, 是 a 的倒数. a a a a说明:0 没有倒数;正数的倒数是正数,负数的倒数是负数; 倒数等于它本身的数是 1 或-1.3、有理数乘法运算律:两数相乘,交换因数的位置,积相等;乘法交换律:a b =b a三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数
19、相乘,积相等;乘法结合律:(ab)c =a(bc)一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.乘法分配律:a(b +c) =ab +ac典型例题考向 11:有理数的乘法1、(-3)3 的结果是( )A-9 B0 C9 D-62、计算(-6)(-1)的结果等于( )A6 B-6 C1 D-13、计算:|-3|2 的值等于( )A6 B-6 C6 D-14、若 x=(-2)(-3),则 x 的相反数是( )A.-1 1B.6 6C.-6 D.65、若 ab0,则 ab 与 0 的大小关系是( )Aab0 Bab=0 Cab0 D以上选项都有可能 6、若 a+b0,且 ab0
20、,则( )A a0,b0B a0,b0C a,b 异号且负数的绝对值大Dab 异号,且正数的绝对值大7、a、b 两数在数轴上的位置如图所示,下列结论中正确的是( )Aa0,b0 Ba0,b0 Cab0 D以上均不对 8、已知|a|=5,|b|=2,且 a+b0,则 ab 的值是( )A10 B-10 C10 或-10 D-3 或-79、如图,数轴上 A,B 两点所表示的两数的( )A和为正数 B和为负数 C积为正数 D积为负数10、已知|x|=3,|y|=7,且 xy0,则 x+y 的值等于( )A10 B4 C-4 D4 或-411、已知 a,b 都是有理数,|a|=-a,|b|b,则 ab 是( )A负数 B正数 C负数和零 D非负数12、已知在数轴上 a、b 的对应点如图所示,则下列式子正确的是( )Aab0 B|a|b| Ca-b0 Da+b013、如果 a,b 满足 a+b0,ab0,则下列各式正确的是( ) A|a|b| B当 a0,b0 时,|a|b|C|a|b| D当 a0,b0 时,|a|b|14、若 m+n0,m +n2