二次根式的概念公开课获奖教案.docx

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1、22222223222161第 1 课时二次根式二次根式的概念(10) （ab）(ab0)1 能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要解析： 要判断一个根式是不是二次根 式，一是看根指数是不是 2，二是看被开方 数是不是非负数性；(难点)2 能根据算术平方根的意义了解二次解：因为 11， （7） ，1 1 5 6根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围(重点)130，3x (x3) ，（a1），一、情境导入问题 1 ：你能用带有根号的式子填空 吗？(1) 面 积 为 3 的 正 方 形 的 边 长 为 _ ，面积为 S 的正方形的边长为 _(1)

2、一个长方形围栏，长是宽的 2 倍，面 积为 130m ，则它的宽为_m.(2) 一个物体从高处自由落下，落到地面 所用的时间 t(单位：s)与落下的高度 h(单位：（ab） (ab0)中的根指数都是 2，且被3开方数为非负数，所以都是二次根式. 13的 根指数不是 2， 5， x(x0)， x 5 的被开方数小于 0，所以不是二次根式方法总结：判断一个式子是不是二次根 式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1) 带二次根号 “ ”； (2) 被开方数是非负 数探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的 x 的取值 范围m)满足关系 h5t

3、 ，如果用含有 h 的式子表 示 t，则 t_问题 2：上面得到的式子 3， S， 65，(1)1 3x x5 ；(2) ；(3) .43x x2 xh5分别表示什么意义？它们有什么共同解析：根据二次根式的性质和分式的意 义，被开方数大于或等于 0 且分母不等于 0，特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？列不等式(组)求解4解：(1)由题意得 43x0，解得 x .34 1当 x 时， 有意义；43x(1) 11；(2) 5；(3) （7） ；3 1 1(4) 13；(5) ；(6) 3x(x3)；5 63x0，(2) 由题意得 x20，解得

4、 x3 且(7) x (x0) ； (8) (9) x 5；（a1） ；x2.当 x3 且 x2 时，3x有意义；x22 22 2222x22x222x 3x2 2x50，(3)由题意得 解得 x5 且x0，x5x0.当 x5 且 x0 时， 有意义x1 1 1 1 1 1 1 1 ； 2 3 2 21 61 1 1 1 1 1 1 1 . 3 4 3 31 12(1)请你根据上面三个等式提供的信息，方法总结：含二次根式的式子有意义的 条件：写出1 11 的结果； 4 5(1)如果一个式子中含有多个二次根式， 那么它们有意义的条件是各个二次根式中 的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式 子

5、中含有分母，则除了保证二次根式中的被 开方数为非负数外，还必须保证分母不为 零【类型二】 利用二次根式的非负性求 解(1)已知 a、b 满足 2a8|b 3(2)请你按照上面各等式反映的规律，试 写出用含 n 的式子表示的等式(n 为正整数) 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是 1，第二个加数是个分 数，设分母为 n，第三个分数的分母就是 n 1，结果是一个带分数，整数部分是 1，分 数部分的分子也是 1，分母是前项分数的分 母的积； (2) 根据 (1)找的规律写出表示这个|0，解关于 x 的方程(a2)xba1；规律的式子(2)已知 x、y 都是实数，且 y x3 3

6、x4，求 y 的平方根解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对 值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非 负性即可求得 x 的值，进而求得 y 的值，进 而可求出 y 的平方根11201 1 1 1解： (1) 1 1 4 5 4 41；1 1 1 1(2) 1 1 n （n1） n n1解： (1) 根据题意得2a80， b 30，解得11 (n 为正整数)n（n1）方法总结：解答规律探究性问题，都要a4， 则(a2)xb a1，即2x3 b 3.5，解得 x4；x30，(2)根据题意得 解得 x3.则3x0，y4，故 y 4 64， 648，y 的平通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通

7、过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示 出来三、板书设计1二次根式的定义一般地，我们把形如 a(a0)的式子叫 做二次根式2二次根式有意义的条件方根为8.被开方数 ( 式) 为非负数； a 有意义a方法总结：二次根式和绝对值都具有非 负性，几个非负数的和为 0，这几个非负数 都为 0.探究点三：和二次根式有关的规律探究 性问题先观察下列等式，再回答下列问 题0.通过将新知识与旧知识进行联系与对 比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已 有的知识进行探究，由此引入二次根式在 教学过程中让学生感受到研究二次根式是1 1 1 1 11 1 1 ； 1 2 1 11 2实际的需要，体会到数学与实际生活间的

8、紧 密联系，以此充分激发学生学习的兴趣222 22 22 22 22 222222171勾股定理第 1 课时勾股定理AB13cm，BC5cm，AC AB2BC 1 经历探索及验证勾股定理的过程， 体会数形结合的思想；(重点)2 掌握勾股定理，并运用它解决简单12cm；(2) ABC30(cm )；1 1CB AC 512 2 2的计算题；(重点)3 了解利用拼图验证勾股定理的方 法(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态 优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它 由若干个图形组成，而每个图形的基本元素 是三个正方形和一个直角三角形各组图形 大小不一，但形状一致，结构奇巧你能说 说其

9、中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】 直接运用勾股定理 如图，在ABC 中，ACB90，AB13cm，BC5cm，CDAB 于 D，求：1 1(3)S AC BC CD AB，CD ABC 2 2AC BC 60 cm.AB 13方法总结：解答此类问题，一般是先利 用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法 表示出同一个直角三角形的面积，然后根据 面积相等得出一个方程，再解这个方程即 可【类型二】 分类讨论思想在勾股定理 中的应用在ABC 中，AB15，AC13， BC 边上的高 AD12，试求ABC 的周长解析：本题应 ABC 为锐角三角形和 钝角三角形两种情况进行讨论解：此题应

10、分两种情况说明：(1)当ABC 为锐角三角形时，如图所示在 ABD 中，BD AB AD 15 12 9. 在 ACD 中 ， CD AC AD 13 12 5 ， BC 5 9 14，ABC 的周长为 15131442；(1)AC 的长；(2)当ABC 为钝角三角形时，如图 所示在 ABD 中，BD AB AD (2)S ；ABC1512 9. 在 ACD 中 ， CD (3)CD 的长ACAD 131225 ， BC 9 5解析： (1) 由于在 ABC 中， ACB 90，AB13cm，BC5cm，根据勾股定理 即可求出 AC 的长；(2)直接利用三角形的面 积公式即可求出 S ；(3)

11、根据面积公式得ABC到 CD ABBC AC 即可求出 CD.解：(1)在ABC 中，ACB90，4，ABC 的周长为 1513432. 当ABC 为锐角三角形时 ABC 的周长 为 42；当ABC 为钝角三角形时 ABC 的周长为 32.方法总结：解题时要考虑全面，对于存 在的可能情况，可作出相应的图形，判断是22222 2 2 2 2 2 222222222 2 2否符合题意【类型三】 勾股定理的证明 探索与研究：和化简整理证明勾股定理探究点二：勾股定理与图形的面积 如图是一株美丽的勾股树，其中方法 1 ： 如 图 ：所有的四边形都是正方形，所有的三角形都 是直角三角形，若正方形 A、B、

12、C、D 的面 积分别为 2，5，1，2.则最大的正方形 E 的 面积是_对任意的符合条件的直角三角形 ABC 绕其顶点 A 旋转 90得直角三角形 AED，所 以BAE90，且四边形 ACFD 是一个正 方形，它的面积和四边形 ABFE 的面积相等， 而四边形 ABFE 的面积等于 BAE 和BFE 的面积之和根据图示写出证明勾 股定理的过程；方法 2：如图：该图形是由任意的符合条件的两个全 等的 BEA 和 ACD 拼成的，你能根 据图示再写出一种证明勾股定理的方法解析：根据勾股定理的几何意义，可得 正方形 A、B 的面积和为 S ，正方形 C、D1的面积和为 S ，S S S ，即 S 2

13、512 1 2 3 3210.故答案为 10.方法总结：能够发现正方形 A、B、C、 D 的边长正好是两个直角三角形的四条直 角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A、 B、C、D 的面积和即是最大正方形的面积三、板书设计1勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别吗？为 a，b，斜边长为 c，那么 a2bc.解析：方法 1：根据四边形 ABFE 面积 等于 BAE 和 BFE 的面积之和进行 解答；方法 2：根 ABC 和 ACD 的 面积之和等于 ABD BCD 的面积之 和解答解：方法 1：S S 正方形 ACFD 四边形 ABFE BAE2勾股定理的证明“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、

14、 “詹姆斯 加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯 图”3勾股定理与图形的面积S，即 bBFE1 1 c (ba)(ba)，整理 2 2课堂教学中，要注意调动学生的积极性让得 2b c b a ，a b c ； 方法 2：此图也可以看成 BEA 绕其直角顶点 E 顺时针旋转 90，再向下平移得 到S ，S四边形 ABCD ABC ACD 四边形 ABCD S ，S ABD BCD ABC ACD ABD学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效 率勾股定理的验证既是本节课的重点，也 是本节课的难点，为了突破这一难点，设计 一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从 形上感知，再层层设问，从面积 (数)入手，SBCD1，即 b21 1 ab c2 21 a(ba)，整理得 2师生共同探究突破本节课的难点b abc a(ba)，b abc aba ， a b c .方法总结：证明勾股定理时，用几个全 等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后 利用大图形的面积等于几个小图形的面积