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1、2k 1课程编号：MTH17060北京理工大学 2012-2013 学年第一学期2010 级泛函分析试题（A 卷）一、 （10 分）设 T 是赋范线性空间 X 到自身的线性映射。证明以下三条等价： （1）T 连续； （2）T 在零点连续； （3）T 有界。二、 （10 分）设 H 是 Hilbert 空间。证明：（1）若x xn，则对于任意固定的y H，(x , yn)(x, y)；（2）若x x ， y y ，则 (x, yn n n n)(x,y)。三、（10 分）设 H 是 Hilbert 空间，A B (H)且存在m 0使得x H , (Ax, x )m x2，证明：存在A-1 B (
2、H)。四、（10 分）设 H 是 Hilbert 空间，M 是 H 的线性子空间。证明：M 在 H 中稠密的充分必要条件是M=q。注：M 仅为 H 的子集时充分性不成立，试举反例五、（15 分）设C 0,1为区间0,1上连续函数的全体，对于f C 0,1，令f =max f (x) x0,1。证明：（1）C 0,1是完备的赋范线性空间，即 Banach 空间；（2）对于t 0,1，令Ft(f)=f(t)，则Ft是C 0,1上线性有界泛函，求Ft。六、（15 分）设f , f L2 k0,1,k=1,2, L ，且 f f , a.e.0,1。证明：lim fkk k= f当且仅当1 2lim
3、f -f =0 ，其中 f = f (x)dx, f L2 k 0,1 0,1。七、（15 分）设f , f12是 Hilbert 空间 H 上的线性无关的线性有界泛函，M =ker f1Iker f2。证明：（1）M 是闭的线性子空间；（2）存在y , y H 使得对于 x H ，有 x =x +ly +ly ，其中 x 为 x 在 M 上的正交 1 2 0 1 1 2 2 0投影，l,1l 2。（附加：试证明在题设条件下此分解式唯一。）八、（15 分）在C 0,1上分别令x=max x (t),x = x (t)dt，其中x C 0,1。t0,110（1）分别证明和是C 0,1上的范数；（
4、2）比较这两种范数的强弱；1（3）它们是否等价？给出理由。（要求使用两种方法）注：2010 级为闭卷 1 / 4p课程编号：MTH17060北京理工大学 2013-2014 学年第一学期2011 级泛函分析试题（ A 卷）一、（1）给出赋范线性空间的定义，证明范数是连续的一元函数；（2） 给出距离空间的定义，证明距离是连续的二元函数；（3） 证明赋范线性空间构成距离空间；（4） 距离空间是否为赋范线性空间？举出反例或给出证明。（试举两类反例）二、设 B 是 Banach 空间，f是 B 上的线性泛函。证明以下五条等价：（1） f 连续；（2） f 在某点连续；（3） f 在零点连续；（4） f
5、 有界；（5） ker f 是闭线性子空间。（比较条件（2）与条件（2）：f 在任意某点连续的区别！）三、设 X,Y 均为内积空间， T =sup Tx令。证明：B (X,Y )为 X 到 Y 的线性有界算子全体，对于T B (X,Y )，（1）x 1B (X,Y )是赋范线性空间；（2）若 Y 完备，则B (X,Y )完备。四、设f , f Lp n0,1,1p,n =1,2, L，证明：f Lf n当且仅当以下条件成立：（1）fnp fp； （2）f mf n注：p =时充分性不成立，试举反例。五、考虑实 Hilbert 空间L2 0,1，设gL2 0,1,fL20,1，定义L20,1上的
6、泛函为F (f)=f (x)g(x)dx，证明F是线性连续泛函，并求F。0,1六、设e,f nn是Hilbert 空间 H 中的两个标准正交集，满足条件e -fnn20使得x H , (Ax, x )m x2，证明：（1）A 是单射；（2）A 是满射；（3）判断A-1是否有界？并给出理由。注：2011 级为半开卷 另注：2012 级为闭卷2 / 41+ x2t课程编号：MTH17060北京理工大学 2015-2016 学年第一学期 2013 级泛函分析试题（B 卷）一、（30 分）考虑二维平面2，对于 x =(x,x )1 22，定义x = x + x 1 2。（1）证明(2, )是赋范线性空
7、间；（2）证明 (2, )是Banach 空间；（3）画出21中单位圆 x 2x 1 的图形；1（4）1(2, )是否为内积空间？请说明理由； 1（2）（5）问请各用两种方法证明！）（5）在2中定义另一种范数 x2=x12 22，问：在2上 1和2是否等价？（6）令A =a11a21a12a22，其中a , a , a , a 11 12 21 22，则 A 是(2, 1)上的线性变换，证明：A 是线性有界算子，并求 A 。二、（10 分）设 X 和 Y 是赋范线性空间，T 是 X 到 Y 的线性算子，证明以下两条等价：（1）T 连续 （2）T 有界 三、（10 分）设f 和g是L20,1n
8、n上的标准正交系，若它们满足 fn(x)-g(x)dx1 n，证明：f 是 nL2 0,1上的标准正交基的充分必要条件是gn =1 0,1是L2 0,1 n上的标准正交基。四、（因课时充足新加的内容）（10 分）设 A 是无穷维 Hilbert 空间 H 上的紧算子，证明： （1）A 是 H 上的线性有界算子；（2）A 不存在有界逆。（试各用两种方法证明！）五、（10 分）设 X 是 Banach 空间，f是 X 上线性泛函，证明f有界的充分必要条件是ker f是 X 的闭线性子空间。六、（10 分）设x , L , x 1n是赋范线性空间 X 中的线性无关元，证明$f X * , i =1,
9、L , n i，使得f (x)i j=dij, i, j =1,L , n。（试用两种方法证明！）七、（20 分）（1）给定函数y ()C0,1，常数l满足l1e -1，考虑积分方程：x (t)-let-sx(s)ds=y(t),t0,1，证明此方程在C 0,1中有唯一解；0（2）对于t 0,1,fC0,1，令Ft(f)=f(t)，证明 F 是 C 0,1t上有界线性泛函，并求其算子范数。（若将（1）的条件改为l1，能否得出结论）注：2013 级为闭卷3 / 41p课程编号：MTH17179北京理工大学 2016-2017 学年第一学期2014 级泛函分析试题（A 卷）一、（20 分）设 B
10、是 Banach 空间， f 是 B 上的线性泛函。证明以下四条等价：（1）f连续；（2）f在零点连续；（3）f有界；（4）ker f是闭线性子空间。二、（50 分，1-6 小题每题 5 分，7、8 小题每题 10 分）设C 0,1为区间0,1上连续函数的全体。对于f , g C 0,1，在其上定义d (f, g )=max f (t)-g(t),f=max f (t)。t0,1t0,1（1） 证明（2） 证明（3） 证明(C0,1,d (C0,1,d (C0,1,d)为度量空间；)中的度量收敛性等价于一致收敛； )完备；（4）证明(C0,1,g)为赋范线性空间；（5）g可以是由内积引出的吗？
11、（6）(C0,1,g)中的单位球面是紧的吗？（7）对于f C 0,1，定义f1= f (t)dt 0。问g1和g的强弱关系，它们等价吗？（8）t 0,1，定义F : t af (t)，证明F是(C0,1,g)上有界线性泛函，并求F。三、（10 分）设f , f Lp n(E),1p,n =1,2, L，证明：f Lf n的充分条件为：（1）f fna.e.E；（2）fnp fp。考试时当场否定了必要性，理由何在？四、（10 分）设e,f nn是Hilbert 空间 H 中的两个标准正交集，满足条件e -fnn21。n =1求证：两者中一个完备蕴含另一个完备。五、（10 分）设x , L , x 1n是赋范线性空间 X 中的线性无关元，证明$f X * , i =1,L , n i，使得f (x)i j=dij, i, j =1,L , n。（试用两种方法证明！）注：2014 级为闭卷4 / 4