高中数学等差数列、等比数列,典型例题、常见考题、基础测试、考试模拟,全部附答案.docx

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1、nn1n5253nnn 1*高中数学 数列（等差、等比）第一节数列的概念与简单表示法一 、走进教材(1)1在数列a 中，a 1，a 1 (n2)，则 a ( )an13A.B.53C.8 2D.2观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10 条直线相交所得的交点最多有 _个。二、基础检测1数列3,7，11,15，的通项公式可能是( )Aa 4n7 Ba (1) (4n1) n nCa (1) (4n1) Da (1) n n(4n1)2设数列a 的前 n 项和 S nn n2，则 a 的值为( ) 8A15 B16 C49 D643 已知数列a 满足 a 0，an 1n1a 3n3a 1n，n

2、N ，则 a 等于( )2 015A0 B 3 C. 3 D.3212 4 8 16 32 64n 1n2n4已知数列a 的前 n 项和 S nn n21，则 a _。 n5已知数列a 满足 a 1，a 3a 2，则 a _。n 1 n1 n n考点一考点精讲由数列的前几项求数列的通项公式【典例 1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式。 (1)1,7，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；1 1 5 13 29 61(3) ， ， ， ， ， ，。【变式训练】 (1) 已知数列的前 4 项为 2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项不可能 是( )Aa (1) nnC

3、a 2sin n12，n为奇数 Ba 0，n为偶数Da cos(n1)1219 3 19 32 22 2*n123n1n1(2)3 5 7 9 ab已知数列 ， ， ， ， ，根据前三项给出的规律，则实 2 4 6 ab 10数对(a，b)可能是( )A(19,3) B(19，3) C. ， D. ， 考点二由 a 与 S 的关系求通项公式 n n【典例 2】 (1). 已知数列a 的前 n 项和为 S ，且 a 1，a S 1，其中 nn n 1 n1 nN ，则数列a 的通项公式是 a _。n n(2) 设数列a 的前 n 项和为 S 。若 S 4，a 2S 1，nN ，则 a _，n n

4、 2 n1 n 1S _。5【变式训练】. 已知数列a 的前 n 项和为 S ，a 1，S 2a ，则 S ( )n n 1 n n1 nA2n13 2 B. C. n1D.21n1考点三由数列的递推关系求通项公式母题发散【典例 3】 设数列a 中，a 2，a a n1，则 a _。n 1 n1 n nn【母题变式】 1.若将本典例“a a n1”改为“a a ”，如何求解？n1 n n 1 n2若将本典例“an1a n1”改为“a nn2a ”，如何求解？ a 2n3*1212511nn*3若将本典例条件换为“a 1，a a 2n”，如何求解？1 n 1 n考点四数列的性质多维探究角度一：数

5、列的周期性【典例 4】 (1)在数列a 中，a 1，a 5，a a a (nN )，则 a 等于n 1 2 n2 n1 n 2 015_。(3) . 数列 a 满足 ann12an，0an ， 2an1，an 1，3a ，则数列的第 2 017 项为 1_。角度二：数列的单调性【典例 5】10已知数列a 的通项 a (n1) n(nN )，试问该数列a 有没有n最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由。42nn5 4A.D.nnn2A.D.2*nnn*微型考场1 1 11若数列 a ，则 a a ( )n1 n2110B110C.1 1990 90n12已知数列a 的前 n 项

6、和 S ，则 a a 等于( )3 4130B.132C.1201123已知数列a 的通项公式为 a n 2n(nN )，则“ 0，a a 0，则当 n_时，a 的前n 7 8 9 7 10 nn 项和最大。62*5n1n*nn考点精讲考点一 等差数列的基本运算【典例 1】. 已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，且 a a 4，S 5。n n 3 6 5(1)求数列a 的通项公式；n(2)若 T |a |a |a |a |，求 T 的值和 T 的表达式。n 1 2 3 n 5 n【变式训练】 (1)已知a 为等差数列，S 为其前 n 项和。若 a 6，a a 0，n n 1 3 5则 S

7、_。6(2)已知a 是等差数列，S 是其前 n 项和。若 a a 3，S 10，则 a 的值n n 1 2 5 9是_。考点二 等差数列的判定与证明【典例 2】3 1(2017 兰州模拟)已知数列a 中，a ，a 2 (n2，nN )，an11数列b 满足 b (nN )。a 1n(1)求证：数列b 是等差数列；n(2)求数列a 中的通项公式 a 。n n7n n*SNa (a1)【变式训练】 已知数列a 的各项均为正数，前 n 项和为 S ，且 S (nn n n 2)。(1)求证：数列a 是等差数列；n1(2)设 b ，T b b b ，求 T 。n n 1 2 n nn考点三 等差数列的

8、性质及应用【典例 3】 (1)(2015 全国卷)设 S 是等差数列a 的前 n 项和，若 a a a 3，n n 1 3 5则 S ( )5A5 B7 C9 D11(2)设等差数列a 的前 n 项和为 S ，且 S 12，S 45，则 S _。n n 3 9 12(3)已知a ，b 都是等差数列，若 a b 9，a b 15，则 a b _。n n 1 10 3 8 5 6【变式训练】(1)(2016 银川模拟)已知a 是等差数列， a 15，S 55，则过点n 4 5P(3，a )，Q(4，a )的直线斜率为( ) 3 4A4 B.14C4 D14(2)已知等差数列a 的公差为 2，项数是

9、偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项n之和为 25，则这个数列的项数为( )A10 B20 C30 D4088*a考点四等差数列前 n 项和的最值问题母题发散【典例 4】 在等差数列a 中，已知 a 20，前 n 项和为 S ，且 S S ，求当 nn 1 n 10 15取何值时，S 取得最大值，并求出它的最大值。n【母题变式】若将本典例条件“ a 20”改为“a 20”，其他条件不变，求1 1当 n 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值。n【拓展变式】 设 S 为等差数列a 的前 n 项和，(n1)S nSn n nn1a(nN )。若 71，则( )AS 的最大值是 S n8BS 的

10、最小值是 S n8CS 的最大值是 S n 7DS 的最小值是 S n7921a11n n 1微型考场1已知数列a 为等差数列，其前 n 项和为 S ，若 a 6，S 12，则公差 d 等于( )n n 3 3A1 B.53C2 D32已知等差数列a 的前 n 项和为 S ，满足 a S 2 016，则 a 等于( )n n 2 016 2 016 1A2 017 B2 016 C2 015 D2 01414 在等差数列a 中，若 a a a a a 80，则 a a 的值为( )n 2 4 6 8 10 7 8A4 B6 C8 D104已知在数列a 中，a 2，an 351 1，若 是等差数

11、列，则 a 等于_。 n5已知 A x|2 x2 且 x7m1，m，nN ，则 A 中各元素的和为_。n 61069S 2 S5第三节等比数列一 、走进教材1等比数列a 各项均为正数，且 a a a a 18，则 log a log a log an 5 6 4 7 3 1 3 2 3 10( )A12 B10 C8 D2log 53S 1 S2设等比数列a 的前 n 项和为 S ，若 ，则 _。n n3 3二、基础检测1等比数列a 中，a 4，则 a a 等于( )n 4 2 6A4 B8 C16 D322已知等比数列a 满足 a a 3，a a 6，则 a ( )n 1 2 2 3 7A6

12、4 B81 C128 D2433某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入。若该公司2015 年全年投入研 发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年 投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( )(参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30)A2018 年B2019 年C2020 年D2021 年4等比数列a 的前 n 项和为 S ，若 S 3S 0，则公比 q_。n n 3 25若等比数列a 的各项均为正数，且 a a a a 2en 10 11 9 12_。，则 lna lna lna 1 2 2011228D.8S

13、2考点精讲考点一等比数列的基本运算【典例 1】a 为等比数列，求下列各值。 n1(1)已知 a a 36，a a 18，a ，求 n；3 6 4 7 n(2)已知 a a 36，a a 15，求公比 q；2 8 3 7(3)已知 q 2，S 15(1 2)，求 a 。8 1【变式训练】(1)若等比数列a 的各项均为正数， a 2a 3，an 1 24a a ，则 3 2 6a ( )43A.B.245C.316916S(2)设 S 为等比数列a 的前 n 项和，a 8a 0，则 的值为( )n n 2 541A.B.1716C2 D17考点二 等比数列的判定与证明母题发散12*nnnnnn32

14、5【典例 2】(1)对任意等比数列a ，下列说法一定正确的是( )nAa ，a ，a 成等比数列 1 3 9Ca ，a ，a 成等比数列 2 4 8Ba ，a ，a 成等比数列 2 3 6Da ，a ，a 成等比数列 3 6 9(2)已知数列a 的前 n 项和为 S ，a 1，S 4a 2(nN )，若 b a 2a ，n n 1 n1 n n n1 n求证：b 是等比数列。n【母题变式】 1.在本典例(2)的条件下，求a 的通项公式。na2 在本典例(2)中，若 c ，证明：c 为等比数列。3 n1【拓展变式】 (2016 全国卷)已知数列a 的前 n 项和 S 1a ，其中 0。 (1)证

15、明：a 是等比数列，并求其通项公式；n31(2)若 S ，求 。13222n22 3考点三等比数列的性质应用【典例 3】 (1)公比为 2 的等比数列a 的各项都是正数，且 a a 16，则 log an 3 11 2 10等于( )A4 B5 C6 D7(2)各项均为正数的等比数列a 的前 n 项和为 S ，若 S 2，S 14，则 S 等于n n n 3n 4n( )A80 B30 C26 D16【变式训练】(1)已知方程( xmx2)(x1nx2)0 的四个根组成以 为首项的m等比数列，则 ( )3 3 2A. B. 或C.23D以上都不对(2)已知等比数列a 的前 n 项和为 S ，若

16、 S 3，S S 12，则 S _。n n 4 12 8 8微型考场142333 331在等比数列a 中，若 a 0，a 18，a 8，则公比 q 等于( )n 1 2 43A.B.2 2 2 2C D. 或2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步 健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还” 其大意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，第二天起脚痛每天走的路程为 前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”则该人最后一天走的路程为( )A24 里B12 里C6 里D3 里3已知数列a 是递增的等比数列，a a 9，a a 8，

17、则数列a 的前 n 项和n 1 4 2 3 n等于_。5 设等比数列a 满足 a a 10，a a 5，则 a a a 的最大值为_。n 1 3 2 4 1 2 n16 已知a 是公差为 3 的等差数列，数列b 满足 b 1，b ，a b b n n 1 2 n n1 n1nb 。n(1)求a 的通项公式；n(2)求b 的前 n 项和。n第四节一 、走进教材数列求和与数列的综合应用15nnn5D.2nn 2n 1 2n1 2nnn*a11数列a 的前 n 项和为 S ，若 a ，则 S 等于( )n(n1)A1 B.56C.16130212x3x nxn1_(x0 且 x1)。二、基础检测1若

18、数列a 的通项公式为 a 2 2n1，则数列a 的前 n 项和为( )n n nA2 n 1 B2 n 1C2 n 2 D2 n22若数列a 的通项公式是 a (1) (3n2)，则 a a a ( )n n 1 2 10A15 B12 C12 D153数列a 的通项公式是 a n n1n n1，前 n 项和为 9，则 n( )A9 B99 C10 D1004已知数列a 的前 n 项和为 S 且 a n2 ，则 S _。n n n n5数列 a 满足 a 1 ，且 an 1 n1 an1 n1(nN ) ，则数列 n的前10 项和为_。考点精讲考点一分组转化法求和16nn2n1nnnnnn2【

19、典例 1】 已知数列a 的通项公式是 a 23n n求其前 n 项和 S 。nn1(1) (ln2ln3)(1) nln3，【变式训练】 (2016 北京高考)已知a 是等差数列，b 是等比数列，且 b 3，n n 2b 9，a b ，a b 。3 1 1 14 4(1)求a 的通项公式；n(2)设 c a b ，求数列c 的前 n 项和。n n n n考点二错位相减法求和【典例 2】已知数列a 的前 n 项和 S 3n 8n，b 是等差数列，且 a b n n n n nb 。n1(1)求数列b 的通项公式；n(a1)(2)令 c ，求数列c 的前 n 项和 T 。(b2)1【变式训练】已知

20、公比 q 不为 1 的等比数列a 的首项 a ，前 n 项和为 S ，n 1 n且 a S ，a S ，a S 成等差数列。4 4 5 5 6 617*222*31 12 2n n(1)求数列a 的通项公式；n(2)对 nN ，在 a 与 an n1之间插入 n 个数，使这 n2 个数成等差数列，记插入的这 n 个数的和为 b ，求数列b 的前 n 项和 T 。n n n考点三 裂项相消法求和【典例 3】 设各项均为正数的数列a 的前 n 项和为 S ，且 S 满足 S (n nn n n n3) S 3(n n)0，nN 。n(1)求 a 的值；1(2)求数列a 的通项公式；n(3)证明：对

21、一切正整数 n，有1 1 1 1 2 n2 对一切 nN 恒成立，求实数 的取值 范围。微型考场19222222n23n1nn*nnnn1设等差数列a 和等比数列b 首项都是 1，公差与公比都是 2，则 ab ab n n 1 2ab ab ab 等于( )3 4 5A54 B56 C58 D572已知数列a 的前 n 项和 S nn n26n，则|a |的前 n 项和 T ( ) n nA6nn2Bn 6n18C.6nn (1n3) n 6n18(n3)6nn (1n3) D.n 6n(n3)3 已 知 等 比 数 列 的 各 项 都 为 正 数 ， 且 当 n3 时 ， a a4 2n4

22、10 ， 则 数 列lga 2lga 2 lga 2 lga ，2 lga ，的前 n 项和 S 等于( ) 1, 2, 3, 4 n nAn2nB(n1)2n11C(n1)2 1D2 14整数数列a 满足 a a a (nN )，若此数列的前 800 项的和是 2 013，n n2 n1 n前 813 项的和是 2 000，则其前 2 015 项的和为_。5在等比数列a (nN )中，a 1，公比 q0，设 b log a ，且 b b b 6，n 1 n 2 n 1 3 5b b b 0。1 3 5(1)求a 的通项 a ；n n1(2)若 c ，求c 的前 n 项和 S 。n(b6)数列

23、的新定义问题202n*Snn11 2nn*先定义一个 (一类)新数列，然后要求根据定义推断这个新数列的一些性质或判断一 个数列是否属于这类数列的问题是近年来高考中逐渐兴起的一个命题方向，这类问题形 式新颖，常给人耳目一新的感觉。对于这类问题，我们应先弄清问题的本质，然后根据 等差、等比数列的性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决。S【典例】 设 S 为数列a 的前 n 项和，若 (nN )是非零常数，则称该数列为n nn“和等比数列”。若数列c 是首项为 2，公差为 d(d0)的等差数列，且数列c 是“和n n等比数列”，则 d_。【变式训练】 (1)对于数列a ，定义数列a a 为数列a

24、的“差数列”，n n1 n n若 a 2，a 的“差数列”的通项公式为 2 ，则数列a 的前 2 016 项和 S ( ) 1 n n 2 016A22 0172 B22 0171 C22 017D22 0171a 2a 2 a(2)对于数列a ，定义 H n n为a 的“优值”，现在已知某 n数列a 的“优值”H 2 n nn1，记数列a kn的前 n 项和为 S ，若 S S 对任意的 nn n n 5N 恒成立，则实数 k 的取值范围为_。数列参考答案21n8 1 2 3n10nnn 1第一节数列的概念与简单表示法一 、走进教材 1D245二、基础检测 1C2A3. B2，n1， 42n

25、1，n2523n11考点精讲考点一 【典例 1】【答案】 (1)a (1)nn(6n5)(2)a 1 (3)a (1)n 9 n 2【变式训练】 【答案】 (1)C (2)C考点二【典例 2】【答案】 (1)2 (2)1 121【变式训练】 B222nnn*11n n考点三【典例 3】n n2 22【母题变式】 a n22 a nn，n为奇数， 3a n1，n为偶数，n1，nN考点四 数列的性质多维探究角度一：【典例 4】角度二：(1)5 (2)3510【典例 5】 数列a 中有最大项 a 或 a ，其值为 10 9 109，其项数为 9 或 10。微型考场1 C2 D3 A4 1 5 2 1

26、23*2n22n n*2n1 n1 2第二节等差数列小|题|快|练一 、走进教材 1. 522. C3(BA)二、基础检测 1 C2 D3 C4 8考点一 【典例 1】考点精讲 (1)a 2n7(nN ) (2)T 13n 56nn ，n3T n 6n18，n4【变式训练】 (1)6 (2)20考点二【典例 2】5(1)数列b 是以 为首项，1 为公差的等差数列n(2)a 1 n22n7a (a1)【变式训练】 (1)证明：S (nN )，na (a 1)S (n2)。n 12422得 a (n2)，a a a an n n1 n1n 2整理得(a a )(a a )a a (n2)。n n1

27、 n n1 n n1数列a 的各项均为正数，na a 0，a a 1(n2)。n n1 n n1当 n1 时，a 1，数列a 是首项为 1、公差为 1 的等差数列。1 n(2)T n2nn1考点三【典例 3】(1)A (2)114 (3)21【变式训练】(1)C (2)A考点四【典例 4】 当 n12 或 13 时，S 取得最大值，且最大值为 S S 130n 12 13【母题变式】当 n12 或 13 时，S 取得最小值，n最小值 S S 130。12 13【拓展变式】D微型考场1 C2 D3. C254 05 891第三节等比数列一 、走进教材 1 B234二、基础检测 1 C2 A3 B

28、4 25 50考点精讲考点一【典例 1】(1)9 (2) 2或22(3)1【变式训练】 (1)C (2)B考点二26n1 n2 n1 n1 nn1 n1 nbnn1n 221n【典例 2】D。(2)证明：a S S 4a 24a 24a 4a ，n2 n2 n1 n1 n n1 nb a 2a (4a 4a )2a 2a 4a 2。a 2a a 2a a 2an1 n n1 n n1 nS a a 4a 2，a 5。b a 2a 3。2 1 2 1 2 1 2 1数列b 是首项为 3，公比为 2 的等比数列。n【母题变式】a (3n1)2 nn22【证明】由变式 1知，a (3n1)2nn2，c 2nn2。ccn22n12。又 c 1a1 3111 ，21数列c 是首项为 ，公比为 2 的等比数列。 n【拓展变式】(1)a