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1、第一章 函数与导数专题 02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、 切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐 标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有：1.已知斜率求切点已知斜率k，求切点(x, f (x)，即解方程 1 1f(x)=k.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点 P 处的 切线方程和求曲线过点 P 的切线方程，在点 P 处的切线，一定是以点 P 为切点，过点 P 的
2、切线，不论点 P 在不在曲线上，点 P 不一定是切点（1）已知切点求切线方程：求出函数y = f (x)在点x=x0处的导数，即曲线y = f (x)在点(x,f(x)0 0处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为y -y = f0(x0)(x-x0)（2）求过点 P 的曲线的切线方程的步骤为：第一步，设出切点坐标 P(x ，f(x )；1 1第二步，写出过 P(x ，f(x )的切线方程为 y-f(x )f(x )(x-x )；1 1 1 1 1第三步，将点 P 的坐标(x ，y )代入切线方程，求出 x ；0 0 1第四步，将 x 的值代入方程 y-f(x )f(x )(x-x )可得过点 P
3、(x ，y )的切线方程1 1 1 1 0 03.求切线倾斜角的取值范围先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决 4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P(x ，y )既在曲线上又在切线上构造方程组0 0求解5. 已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6. 导数几何意义相关的综合问题【压轴典例】例 1.（2019 江苏高考真题）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经 过点（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是_.【答案】 (e, 1) .【解析】设点A(x , y0 0)，则
4、y =ln x0 0.又y =1x，当x =x0时，y=1x0，第 1 页 共 34 页000e点 A 在曲线y =ln x上的切线为1y -y = ( x -x )x0，即xx -ln x = -1x0，代入点(-e,-1)，得-1-ln x = 0-ex0-1，即x ln x =e 0 0，考查函数H (x)=xlnx ，当 x (0,1)时，H(x)0，且H (x)=lnx+1，当 x 1 时，H (x)0,H(x)单调递增，注意到H (e)=e，故x ln x =e0 0存在唯一的实数根x =e ，此时 y =1 0 0，故点 A 的坐标为A (e,1).例 2.（2019 全国高考真
5、题（理）已知函数f (x)=lnx-x +1x -1.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=ln x 在点 A(x ，ln x )处的切线也是曲线 0 0 0y =ex的切线.【答案】（1）函数f ( x )在 (0,1) 和 (1, +)上是单调增函数，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f ( x )的定义域为(0,1) (1,+)，x +1 x 2 +1f ( x) =ln x - f (x) =x -1 x ( x -1)2，因为函数f ( x )的定义域为(0,1) (1,+)，所以f(x) 0
6、，因f ( x )在 (0,1) 和 (1, +)此函数上是单调增函数；11 1当 x (0,1) ，时， x 0, y -，而 f ( ) =ln -e e 1e+1-12= 0 ，显然当 x (0,1) ，函数 e -1f ( x )有零点，而函数f ( x )在x (0,1)上单调递增，故当x (0,1)时，函数f ( x )有唯一的零点；第 2 页 共 34 页00000x xx1000-,1当x (1,+)e +1 -2 e 2 +1 e 2 -3时， f ( e) =ln e - = 0e -1 e -1 e 2 -1 e2 -1，因为f ( e ) f ( e2 ) 0)，所以
7、h1 2x 2 -ax +1x =2x -a + =x x所以当 =a2-8 0 即 -2 2 a 2 2 时，h(x)0，h(x)在(0,+)上单调递增；当 =a2-8 0 即 a 2 2或a -2 2 时，当 a 0，h(x)在(0,+)上单调递增；当 a 2 2 时，令h(x)=0得 x =a a42-8,x 2 0, 4 2 2 , 4 4 2 , + 4 h(x)+ - +h (x)增减增综上：当 a 2 2 时，h (x)在(0,+)上单调递增；当 a 2 2 时 2 h x 在 0, 4 ， 2 2 2 , +单调递增，在 , 4 4 4 单调递减.（2）设函数f (x)在点(x
8、,f(x)与函数g(x)在点(x,g(x)1 1 2 2处切线相同，f(x)=2x-a, g 1(x)=11x，则f (x)=g(x)= 1 2f (x)-g(x)1 2x -x1 2，由12 x -a = ，得 x =x21 a+2x 22，再由1x2=x 2 -ax +1 -(lnx +a 1 1 2x -x1 2)第 4 页 共 34 页1 121()221xmin()2( 00a得x -x1 2 =xx21 a2 -ax +1 -lnx -a ，把 x = +2x 22代入上式得1 a a 2+ +lnx + +a -2 =0 * 4x 2 2x 42 2设 F (x)=1 a a 2
9、+ +lnx + +a -2 4x 2 2x 4（x 0，x（0，+）,则 F (x)=-1 a 1 2x 2 -ax -1 - + =1 x 3 2x 2 x 2x 3不妨设2x 2 -ax -1 =0(x 0) 0 0 0.当0 x x 时， F 0(x)x 时， F 0(x)0所以F (x)在区间(0,x0)上单调递减，在区间(x, + 0)上单调递增，把a=2x -01x0代入可得：F (x) =F (x )=x2 +2x - +lnx -20 0 0 00设G (x)=x2+2x -1 1 1+lnx -2 ，则 G x =2x +2 + + 0 对 x 0 恒成立， x x 2 x
10、所以G (x)在区间(0,+)上单调递增，又G (1)=0所以当0 x 1时G (x)0，即当0 x 1 时 F (x00)0,又当 x =e 2 -a 时， F (x)=1 a a 2- +lne2 -a + +a -2 = 4e 4-2a 2e 2 -a 414e12 -a+a 0因此当0 x 1 0时，函数F (x)必有零点；即当0 0)为函数f ( x )的切线，求ba的最小值.1【答案】(1)见解析.(2) - .e【解析】()证明：整理f ( x) e 2 x -e得ln x -e 2 x 2 +ex +1 0( x 0)令g ( x ) =ln x -e2 x 2+ex +1 ，
11、 g (x) =-2e 2 x 2 +ex +1 ( ex -1)(2ex +1)=-x x 1 x 0, ， g e (x) 0 ，所以 g ( x )1在 (0, ) 上单调递增； e1 x , + ， ge (x) 0，-ln x0 0x 20，所以0 x 10，h(x)0=-(2ln x +3 )lnx -2ln x -1 0 0 0ln 2 x0=-2ln2x +ln x -1 0 0ln 2 x0=-(2ln x -1)(lnx+1) 0 0ln 2 x0， 1 x 0, ， h e (x)0，所以h ( x ) 0在 1 上单调递减；第 6 页 共 34 页当 ,1e 1 x ,
12、1 ， h e (x0)0，所以h ( x)在1 上单调递增，因为0 x 0) ，令 g ( x) =ln x -e 2 x 2 +ex +1，利用导数求得函数g (x)的单调性与最值，即可得到结论；（2）求得函数f (x)的导数，设出切点，可得a =-ln x0x 202ln x +1的值和切线方程，令 x =0 ，求得 b = 0 ，x0令h (x)=- 0x (2ln x +1) 0 0ln x0，利用导数求得函数h (x)0的单调性与最小值对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围； 也可分离变量，构造新函数，
13、直接把问题转化为函数的最值问题f ( x )例 5.（2014 北京高考真题（文） 已知函数 在区间 -2,1 上的最大值；（1）求f ( x) =2 x3-3 x.（2）若过点P (1,t )存在 3 条直线与曲线y = f ( x)相切，求 t的取值范围；（3）问过点A( -1,2), B (2,10), C (0,2)分别存在几条直线与曲线y = f ( x )相切？（只需写出结论）【答案】【解析】(1)由f ( x) =2 x3 -3 x得f ( x ) =6 x 2 -3，令f ( x) =02 2 ，得 x =- 或 x = ，2 2因为f ( -2) =-10， f ( -2 2
14、) = 2 ， f ( - ) = 2 ， 2 2f (1) =-1，所以f ( x )在区间 -2,1 上的最大值为 f ( -22) = 2 .（2）设过点 P（1，t）的直线与曲线y = f ( x)相切于点( x , y ) 0 0，则y =2 x0 03-3 x0，且切线斜率为k =6 x02-3，所以切线方程为y -y =(6 x 0 02-3)( x -x )0，第 7 页 共 34 页因此t -y =(6 x 0 02-3)(1-x )0，整理得：4 x 3 -6 x 2 +t +3 =0 0 0，设g ( x) =4 x3-6 x2+t +3 ，则“过点P (1, t )存在
15、 3 条直线与曲线y = f ( x )相切”等价于“g ( x )有 3 个不同零点”，g(x) =12 x 2 -12 x =12 x( x -1)，g ( x) 与 g(x)的情况如下：x( -,0)0(0,1)1(1, +)g(x)+0-0+g ( x)t+3所以，-3t -1是g ( x )的极大值，-3t 1.第 8 页 共 34 页21(a 2（I）求函数h (x)=f(x)-xlna的单调区间；（II）若曲线y = f (x)在点 (x, f (x)处的切线与曲线y =g (x)在点(x,g(x)1 1 2 2处的切线平行，证明x +g (x1 2)=-2lnlnalna；（I
16、II）证明当a e1e时，存在直线 l，使 l 是曲线y = f (x)的切线，也是曲线y =g (x)的切线.【答案】()单调递减区间 【解析】(-,0)，单调递增区间为(0,+)；()证明见解析；()证明见解析.（I）由已知，h (x)=ax -xlna ，有 h(x)=axlna -lna.令h(x)=0，解得 x=0.由 a1，可知当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：xh(x)h (x)(-,0) -00极小值(0,+)+所以函数h (x)的单调递减区间为(-,0)，单调递增区间为(0,+).（II）由f(x)=axlna，可得曲线y = f (x)在点(x,f(x)1
17、 1处的切线斜率为 ax1lna.由 g (x)=1xlna，可得曲线y =g (x)在点 (x,g (x)2 21处的切线斜率为 .x lna2因为这两条切线平行，故有ax1lna =1x lna2，即x a2x1(lna)=1.两边取以 a 为底的对数，得log x +x +2log lna =0 a 2 1 2，所以 x +g (x)=- 1 22lnlnalna.（III）曲线y = f (x)在点 (x,a x1 )处的切线l ： y -a x1 =a x1 lna (x-x1 1).曲线y =g (x)在点(x,log x2 a 2)处的切线 l ： 21y -log x = x
18、-xx lna22).第 9 页 共 34 页21a 22211()2 2x021要证明当 a e e 时，存在直线 l，使 l 是曲线y = f (x)的切线，也是曲线y =g (x)的切线，只需证明当a e1e时，存在x (-,+) 1，x (0,+)，使得l和l 重合.1 2即只需证明当a e1e时，方程组ax11a x1 lna = x lna21-x a x1 lna =log x -lna有解，由得 x = 2ax11(lna)，代入，得 ax1-x a1x1lna +x +11 2lnlna+ =0lna lna.因此，只需证明当a e1e时，关于 x 的方程存在实数解. 1设函
19、数 u (x)=ax-xaxlna +x +1 2lnlna+lna lna，即要证明当a e1e时，函数y =u (x)存在零点.u(x)=1-(lna)xax，可知x (-,0)时，u(x)0；x (0,+)时，u(x)单调递减，又 u(0)=10，u =1-a lna 2 0，使得0 0u(x0)=0，即 1 -(lna)xa00=0.由此可得u (x)在(-,x0)上单调递增，在(x, + 0)上单调递减.u(x)在x =x0处取得极大值u(x0).因为a e1e，故ln (lna)-1，所以 u(x0)=ax0-x a0x0lna +x +01 2lnlna 1 2lnlna 2 +
20、2lnlna + = +x + 0lna lna x (lna) lna lna0.下面证明存在实数 t，使得u (t)1lna时，有u (x)(1+xlna)(1-xlna)+x+1 2lnlna+lna lna第 10 页 共 34 页22 x2xx 2x2 xx2x02x02=-(lna)x2+x +1 +1 2lnlna+lna lna，所以存在实数 t，使得u(t)0因此，当a e1e时，存在x (-,+)，使得u(x)=0 1 1.所以，当a e1e时，存在直线 l，使 l 是曲线y = f (x)的切线，也是曲线y =g (x)的切线.例 7.（2015 广东高考真题（理）（14 分）（2015广东）设 a1，函数 f（x）=（1+x ）e a（1） 求 f（x）的单调区间；（2） 证明 f（x）在（，+）上仅有一个零点；（3） 若曲线 y=f（x）在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点 M（m，n）处的切线与直线 OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m【答案】（1）f（x）=（1+x （2）见解析（3）见解析【解析】1）e a 在（，+）上为增函数（1）f（x）=e （x +2x+1）=e （x+1）2f（x）0，f（x）=（1+x ）e a 在（，+）上为增函数（2）证明：由（1）问可知函数在（，+）上为增函数又 f（0）=1a，a11a0f（0）0