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1、n -1n -mann三、等差数列与等比数列性质的比较 等差数列性质等比数列性质1、定义an+1-a =d(n 1)n；a -a =d(n 2) n n-1a an+1 =q(n 1) , n =q(n 2) a an n-12、通项公式a =a +(n -1)dn 1a = a +(n - m )d(n,m N *) n maa=a qn 1=a qn m3、前 n 项和ssnn( a +a ) n= 1 n2n( n -1) =n +1 2dq=1 , S =na ;n 1a (1-q n ) a -a qq 1,S = 1 = 1 n1-q 1-qa、A、b 成等差数列 A=a+b2；a
2、、A、b 成等比数列A b=a A4、中项a 是其前 k 项 a n n-ka +a 即： a = n-k n+k2与后 k 项an+k的等差中项，（不等价于 A 2 =ab ，只能 ）;a 是其前 k 项 a 与后 k 项 a n n-k n+k2a=aa等比中项，即：nn-kn+k的5、下标和公式若 m+n=p+q,则 a +a =a +am n p q特别地,若 m+n=2p,则 a +a =2m nap若 m+n=p+q, 则m+n=2p, 则 ama a =a am n p a =a2n pq特别地,若等差数列的第 k 项与倒数第 k 项的和等于首尾等比数列的第 k 项与倒数第 k
3、项的积等于6、首尾项性质两项的和, 即： a +a =a +a1 n 2 n -1=K =a +akn -(k -1)首尾两项的积, 即：ka a =a a =K =a a 1 n 2 n -1n -(k -1)an为等差数列,若 m,n,p 成等差数列,则an为等比数列,若 m,n,p 成等差数列,则am,a, an p成等差数列a, a , am n p成等比数列（两个等差数列的和仍是等差数列）（两个等比数列的积仍是等比数列）等差数列a , bn n的公差分别为 d , e ,则数等比数列a , bn n的公比分别为 p, q ,7、结论列an+bn仍为等差数列，公差为d +e则数列abn
4、 n仍为等比数列，公差为取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的pq取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新新数列仍为等差数列，且公差为2 d数列仍为等比数列，且公比为q 2若a =n,a =m(m n), 则 a m n m +n=0无此性质；- 1 -nnna 若S =n,S =m(m n), m n则Sm +n=-（m+n)无此性质；若s=s( m n), 则s=0无此性质；mnm +ms,s-s,s-s, K成等差数列，s,s-s,s-s, K成等差数m2mm3m2mm 2 mm3m2m公差为m 2d列，公比为q m当项数为偶数2 n时，s偶-s =nd奇当项数为偶数2n时，s偶=qs奇
5、ss奇偶=aan +1当项数为奇数2 n -1时，s奇=a1+qs偶当项数为奇数2 n -1时，s-s=a奇偶中s2 n -1=(2n -1)a中，ss奇=nn -18、等差(等比) 数列的判断方 法偶定义法： a - a = d (n2 )n n -1等差中项概念； 2a = a +a (n2)n n -1 n +1函数法： a = pn +q( p ,q为常数) 关于 n 的 一次函数 数列a 是首项为 p+q，公差为np (0)的等差数列；a定义法： n =qan -1等差中项概念；a a =a 2 ( a 0)n n +2 n +1 n函数法：a =cq ( c，q 均为不为 0 的n常数，n N )，则数列 a是等比数列 + n数列 n 的前 n 项和形如数列a n的前 n 项和形如S =ann2+bnS =Aqnn-A ( A，q均为不等于 0 的常(a，b 为常数)，那么数列a n是等差数列，数且 q1)，则数列an是公比不为 1 的等比数列9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列- 2 -