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1、2014 年中考数学一轮复习讲义：一元二次方程【考纲要求】1 理解一元二次方程的概念2 掌握一元二次方程的解法3 了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程 根与系数的关系并能简单应用4 会列一元二次方程解决实际问题.【命题趋势】结合近年中考试题分析，一元二次方程的内容考查主要有一元二次方程的有关概念，一元二次方程的解法及列一元二次方程解决实际问题，题型以选择题、填空题为主，与其他知 识综合命题时常为解答题.【知识梳理】一、一元二次方程的概念：1、 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次，这样的整式方程叫做一元二次 方程。2、 一元二次方程的一般形式是 ax
2、2+bx+c=0(a0)。二、一元二次方程的解法：1、解一元二次方程的基本思想是降次，主要方法有：直接开平方法、配方法、公式法、 因式分解法。2、配方法：通过配方把一元二次方程 ax2bxc0(a0，b24ac0)变形为能直接开平方的形式，再利用直接开平方法求解。3、公式法：一元二次方程ax2bxc0(a0)当 b24ac0 时，方程有两个实数根。 4、因式分解法：用因式分解法解方程的原理是：若 ab0，则 a0 或 b=0.三、一元二次方程根的判别式：1一元二次方程根的判别式是=b24ac。2(1)b24ac0一元二次方程 ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根；(2)b24ac0 (3
3、)b24ac0一元二次方程 ax2bxc0(a0)有两个相等实数根； 一元二次方程 ax2bxc0(a0)无实数根。http:/四、一元二次方程根与系数的关系：1在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式2若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的两个实数根是 x ，x ，则 x +x =1 2 1 2,x x1 2ca五、实际问题与一元二次方程：列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1) 审题；(2)设未知数；(3)找相等关系；(2) (4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案题型分类 、深度剖析：考点一、一元二次方程的有关概念【例 1】下列方程中是关于 x
4、 的一元二次方程的是( )1Ax2 0 Bax2bxc0x2C(x1)(x2)1 D3x22xy5y20解析：由一元二次方程的定义可知选项 A 不是整式方程；选项 B 中，二次项系数可能为 0；选项 D 中含有两个未知数故选 C.答案：C方法总结 方程是一元二次方程要同时满足下列条件：是整式方程；只含有一个未 知数；未知数的最高次数为 2；二次项系数不等于 0.容易忽略的是条件和.触类旁通 1 已知 3 是关于 x 的方程 x25xc0 的一个根，则这个方程的另一个根是 ( )A2 B2 C5 D6考点二、一元二次方程的解法【例 2】解方程 x24x10.分析：本题可用配方法或公式法求解配方法
5、通常适用于二次项系数化为 1 后，一次项 系数是偶数的一元二次方程对于任意的一元二次方程，只要将方程化成一般形式，就可以 直接代入公式求解解：解法一：移项，得 x24x1.配方，得 x24x414，即(x2)23，由 此可得 x2 3，x 2 3，x 2 3.1 2解法二：a1，b4，c1.b24ac(4)4 122411120，x 2 3.2方法总结此类题目主要考查一元二次方程的解法及优化选择，常常涉及到配方法、公式法、因式分解法选择解法时要根据方程的结构特点，系数(或常数)之间的关系灵活进行， 解题时要讲究技巧，尽量保证准确、迅速http:/22触类旁通 2 解方程：x23x10.考点三、
6、一元二次方程根的判别式的应用【例 3】关于 x 的一元二次方程 x2(m2)xm10 有两个相等的实数根，则 m 的值 是( )A0 B8 C4 2 D0 或 8解析：b24ac(m2)24(m1)0，解得 m 0，m 8.故选 D.1 2答案：D方法总结由于一元二次方程有两个相等的实数根，可得根的判别式 b24ac0，从而得到一个关于 m 的方程，解方程求得 m 的值即可一元二次方程根的判别式的应用主要有以下三种情况：(1)不解方程，判定根的情况； (2)根据方程根的情况，确定方程系数中字母的取值范围；(3)应用判别式证明方程根的情况触类旁通 3 已知关于 x 的一元二次方程 mx2nxk0
7、(m0)有两个实数根，则下列关于判别式 n24mk 的判断正确的是( )An24mk0 Bn24mk0Cn24mk0 Dn24mk0考点四、一元二次方程根与系数的关系【例 4】已知关于 x 的方程 x22(k1)xk20 有两个实数根 x ，x .1 2(1) 求 k 的取值范围；(2) 若|x x |x x 1，求 k 的值1 2 1 2解：(1)依题意，得 b24ac0，即2(k1)24k2(2)解法一：依题意，得 x x 2(k1)，x x k2.1 2 1 2以下分两种情况讨论：当 x x 0 时，则有 x x x x 1，1 2 1 2 1 21即 2(k1)k21，解得 k k 1
8、.k ，1 2k k 1 不合题意，舍去1 2当 x x 0 时，则有 x x (x x 1)， 1 2 1 2 1 2即 2(k1)(k21)解得 k 1，k 3.1 21k ，k3.综合可知 k3.2解法二：依题意，可知 x x 2(k1)1 21由(1)可知 k ，2(k1)0，即 x x 0.1 22(k1)k21，解得 k 1，k 3.1 2http:/10，解得 k .21k ，k3. 2方法总结解决本题的关键是把给定的代数式经过恒等变形化为含 x x ，x x 的形式，1 2 1 2然后把 x x ，x x 的值整体代入研究一元二次方程根与系数的关系的前提为：a0， 1 2 1
9、2b24ac0.因此利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数中所含字母的值或范围 时，必须要考虑这一前提条件触类旁通 4若 x ，x 是一元二次方程 x2 1 24x30 的两个根，则 x x 的值是( )1 2A4 B3 C4 D3考点五、用一元二次方程解实际问题【例 5】汽车产业是我市支柱产业之一，产量和效益逐年增加据统计，2008 年我市某 种品牌汽车的年产量为 6.4 万辆，到 2010 年，该品牌汽车的年产量达到 10 万辆若该品牌 汽车年产量的年平均增长率从 2008 年开始五年内保持不变，则该品牌汽车 2011 年的年产量 为多少万辆？解：设该品牌汽车年产量的年平均增长率为 x
10、，由题意，得 6.4(1x)210，解得 x10.25，x 2.25.x 2.250，故舍去，x0.2525%.10(125%)12.5. 2 2答：2011 年的年产量为 12.5 万辆方法总结此题是一道典型的增长率问题，主要考查列一元二次方程解应用题的一般步骤解应用题的关键是把握题意，找准等量关系，列出方程最后还要注意求出的未知数的 值是否符合实际意义，不符合的要舍去触类旁通 5商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件设每件商品降价 x 元据此规律，请回答：(1) 商场日销售量增加_件，每件商品盈利_元(用含 x 的代数式表 示)；(2) 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 2 100 元？http:/