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子群的陪集练习题及其解答1. 假定和是一个群的两个元,并且,又假定的阶是，的阶是并且.证明:的阶是证 .设则故 故又 因此的阶是.2.假定是一个群的元间的一个等价关系,并且对于的任意三个元来说,证明与的单位元等价的元所作成的集合为证 由于是等价关系,故有即,则因而由题设可得由对称律及推移律得再由题设得即 这就证明了是的一个子群.3.我们直接下右陪集的定义如下:刚好包含的可以写成 的每一个元属于而且只属于一个右陪集. 证 任取则这就是说,的每一个元的确属于一个右陪集若则则,因而 故Ha=Hb这就证明了,的每一个元只属于一个右陪集.4.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是的群,它们都是交换群. 证 设是阶为的群.那么的元的阶只能是 1若有一个元的阶为,则为循环群; 2. 若有一个元的阶为,则除单位元外,其他二元的阶亦均未. 就同构的观点看阶为的群,只有两个; 由下表看出这样的群的确存在. 循环群 0 1 2 300 1 2 311 2 3 022 3 0 133 0 1 2 非循环群e a b cee a b caa e c bbb c e acc b a e 循环群是交换群，由乘法表看出是交换群