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1、随机切换 SIRS 传染病模型的渐近行为流感等高感染性呼吸道疾病传播规律与防控机理的研究是公共卫生领域研究的重要问题,SIRS 型微分动力模型被广泛应用于研究该类型传染病传播与防控的动态行为。然而,经典的确定性 SIRS 型微分动力模型忽略了系统外部环境随 机波动对呼吸道传染病传播速率的影响。本文将环境的随机波动因素嵌入到一个经典确定性 SIRS 传染病模型中,分别建立了带有 Markov 切换和半 Markov 切换的 SIRS 传染病模型:应用随机微分方程理论、Markov 过程的稳定性理论和 Markov 算子半群的渐近稳定性理论,研究相应随机 SIRS 传染病模型的疾病传播阈值动态行为
2、和遍历性性质,并结合普通流感的实际参数值分析环境的随机性波动对普通流感在亚热带区域爆发风险的影响。本文的研究工作分为以下三个部分:首先,通过在经典确定性 SIRS 传染病模型的疾病传播速率上嵌入一个连续时间 Markov 链,建立了一个具有 Markov 切 换的逐段确定 SIRS 传染病模型。定义了模型的基本再生数,并且证明该基本再生数刚好为决定疾病灭绝与持久的阈值参数。当疾病持久存在时,证明了不变概率测度的存在性,并且在较弱条件下得到了系统解的?-极限集的全局吸引性;利用 Markov 过程稳定性的理论,证明了瞬时转移概率测度以总变差范数收敛于这个不变概率测度,并且给出了不变 概率测度的支
3、撑集。其次,基于前面所建立的具有 Markov 切换的逐段确定 SIRS 传染病模型,建立一个同时带有 Markov 切换和退化白噪声扩散项的随机 SIRS 传染病模型。通过分 析疾病的灭绝与持久性得到了决定疾病灭绝与持久的阈值参数。在疾病持久的情况下,利用 Markov 算子半群的渐近稳定性理论,证明了系统所对应的 Fokker-Planck 方程的解生成的 Markov 半群是渐近稳定的,并且给出了不变概率密度函数的支撑集。运用实际数据对结果进行了仿真和验证,仿真结果进一步表明:这些环境噪声的存在都不利于普通流感在亚热带区域的传播;若忽略这些噪声的影响,则对染病者数量的预测将很可能被高估;人们应当提防,在这些环境噪声存在时即使流感病毒的抗原漂移突变偶尔也会导致疾病的严重爆发。最后,建立并研究了具有两个环境状态的半 Markov 链驱动的 SIRS 随机传染病模型。在概率分布逼近意义下,我们允许半 Markov 过程的条件持续停留时间分 布可以是在0,+)上定义的任意概率分布。推导出了模型的基本再生数并且证明其刚好为决定疾病灭绝与持久的阈值参数。同时,在疾病持久的情况下,我们将前面具有 Markov 切换的逐段确定 SIRS 传染病模型所得到的有关遍历性结果进行了推广。