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1、201705 矩形的性质和判定培优一、选择题（共 12 小题；共 60 分）1. 如图所示，在中， ， 为边上一动点，于点 ，于点 ，动点从点出发，沿着匀速向终点运动，则线段的值大小变化情况是A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减小2. 如图， 是矩形到矩形的两条对角线的边和上一个动点，矩形的两条边 ， 的距离之和是的长分别为和 ，那么点A. B. C. D. 不确定3. 如图，在矩形中， ， ，平分 ，过点作于 ，延 长、交于点 ，下列结论中： ； ； ； ；正确的个数为A.个B.个C.个D.个4. 如图，在中，于点 ，于点 ， 为的中点， ， ，则的周长是第 1 页
2、（共 38 页）A. B. C. D.5. 如图所示，中， ，是上一点，且 ，是上任一点，于点 ，于点 ，下列结论： 是等腰三角形； ； 其中结论正确的序号是A. 只有B. 只有C. 只有D. 6. 如图， ，矩形的顶点 ， 分别在 ，上，当点在边上运动时，点中点随之在边到点上运动若矩形 的最大距离为的形状保持不变，其中 ， ，则运动过程A. B. C. D.7. 如图，四边形中， ， ， 为上一点，分别以 ，为折痕将两个角（ ， ）向内折起，点 ， 恰好落在边的点处若 ， ，则的值是A.B. C. D.8. 如图，在直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在处，已知 ， ，则点的坐标是 ( )第
3、2 页（共 38 页）A. B. C. D.9. 已知：如图，在正方形外取一点 ，连接 ， ， 过点作的垂线交于点若 ， 下列结论： ；点到直线的距离为 ；3 ；4 ；正方形其中正确结论的序号是 ( )A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，点分别在上，是等边三角形，连接交于 ，下列结论： ， ，垂直平分 ， ，其中正确结论有个A. B. C. D.11. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为 ，点的坐标为 ，点为斜边上的一动点，则的最小值为 ( )第 3 页（共 38 页）A. B. C. D.12. 如图，在矩形中， ，的平分线交于点 ，于点 ，连接并延长交
4、于点 ，连接交于点 ，下列结论： ； ； ； ； 其中正确的有 ( )A.个B.个C.个D.个二、填空题（共 9 小题；共 45 分）13. 如图，在中， ， ， ，为边上一动点，于 ，于 ，为中点，则的最小值为 14. 如图，在中， ， ， ，点 ， 分别在 ，上，沿将翻折，使顶点的对应点落在边上，若 ，则等于 15. 如图，矩形中， ， ， 是边上的动点，于点 ，于点 ，则的值为： 第 4 页（共 38 页）16. 如图，已知中， ， ， ，将绕直角顶点顺时针旋转得到 ，若点是的中点，连接 ，则 17. 如图，在矩形中， 为中点，过点且分别交于点 ，交于点，点是中点且 ，给出以下结论： ；
5、是等边三角形；3 ；3其中正确的是 （把所有正确结论的序号都选上）18. 如图，折叠矩形纸片 ，得折痕 ，再折叠使 ， ，则 边与对角线重合，得折痕 若19. 在平面直角坐标系中，已知 ，.为轴上的动点，以为边构造 ，使点在轴上， ，为的中点，则的最小值为 20. 如图，正方形的边长是 ，点在边上， ，点是边上不与点 ， 重合的一个动点，把沿折叠，点落在处若恰为等腰三角形，则的长为 第 5 页（共 38 页）21. 如图，四边形是矩形纸片， 对折矩形纸片 ，使与重合，折痕为；展平后再过点折叠矩形纸片，使点落在上的点 ，折痕与相交于点 ；再次展平，连接 ， ，延长交于点 有如下结论： ； ； ；
6、的最小值是 点， 是的中点，则是等边三角形； 为线段上一动其中正确结论的序号是 三、解答题（共 16 小题；共 208 分）22. 如图所示，已知正方形 ， 是延长线上一点，是延长线上一点，连接 ， ，恰有 ，将线段绕点顺时针旋转得 ，过点作的垂线，交于点 ，交的延长线于点 ，连接 （1）求证： （2）试猜想四边形是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以说明23. 【探究发现】按图中方式将大小不同的两个正方形放在一起，分别求出阴影部分（ ）的面积（单位：厘米，阴影部分的面积依次用 ， ，表示）第 6 页（共 38 页）（1） ； ； （2）上题中，重新设定正方形的边长， ，并再次分别求出阴影部分（
7、 ）的面积： ； ； （3）归纳总结你的发现： （4）【推理反思】按（图甲）中方式将大小不同的两个正方形放在一起，设小正方形的边长是 ，大正方形 的边长是 ，求：阴影部分（ ）的面积（5）【应用拓展】（1）按（图甲）方式将大小不同的两个正方形放在一起，若大正方形的面积是 ，则 图甲中阴影三角形的面积是 （2）如图乙， 是线段上任意一点，分别以 ，为边在线段同侧构造等边三角形和等边三角形 ，若的面积是 ，则图乙中阴影三角形的面积是 24. 如图，在平行四边形中， ，于点 ，交于点 若，求的大小25. 如图，在中，是高线，是中线， ，于点 ，第 7 页（共 38 页）（1）求证： 是的中点（2）
8、26. 如图所示，在平行四边形中， ，点是的中点，于 ，如果，求的度数27. 在平行四边形中，的平分线交直线于点 ，交延长线于点 ，连接 （1）如图，若 ， 为的中点，连接 ， ， ，求证： 求证： ；（ 2）如图，若 ，将线段绕点顺时针旋转至 ，连接 ， ，判断的形状，并说明理由28. 在矩形和中， ， （1）如图 1，当点在对角线上，点在边上时，连接 ，取的中点 ，连接， ，则与的数量关系是 ， ；第 8 页（共 38 页）（2）如图 2，将图 1 中的绕点旋转，使点在的延长线上，（1）中的其他条件不变1 中1 求与的数量关系仍然成立吗?请证明你的结论； 的度数29. 请同学们仔细阅读以下
9、内容：数学课上，老师向同学们介绍了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图 1，在中， ，点是边的中点，则 请同学们借助以上知识点探究下面问题：如图 2， ， ， 绕着边的中点旋转， ，分别交线段于点 ， （1）观察：（i）如图 3、图 4，当 “ ”）或时， （填“ ”，“ ”或（ii）如图 5，当时， （只填“ ”或“ ”）第 9 页（共 38 页）（ 2 ）猜想：如图 2 ，当时，若点是点关于直线的对称点，则，证明你所得到的结论（3）如果 ，请直接写出的度数30. 如图，在中， 是的中点，直线绕顶点旋转若点 ， 在直线的异侧，直线 于点 ，直线 于点 ，连接 ，.（1）
10、延长交于点 （如图）求证：12 （2）若直线.绕点旋转到如图所示的位置，点 ， 在直线的同侧，其他条件不变，此时还成立吗? 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由（3）若直线绕点旋转到与边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形的形状；此时还成立吗（不必说明理由）?31. 在中， ，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，是边中点，连接和 ，第 10 页（共 38 页）（1）如图 1 所示，若 ，则和的数量关系是 ；（2）如图 2 所示，若其他条件不变，则和具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程；（ 3 ）在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，是的中点，连接和 ，请在
11、图 3 中补全图形，并直接判断的形状32. 如图 1 ，已知 使点 ， 分别在是等腰直角三角形， ，点 和上，连接 ， 是的中点作正方形 ，（1）试猜想线段 （2）将正方形和绕点的数量关系是 ；逆时针方向旋转 （ ），（i）判断（1）中的结论是否仍然成立?请利用图 2 证明你的结论；（ii）若 ，当取最大值时，求的值33. 已知：在与中， ， ， （ 1 ）如图 1 ，点 ，分别在边 ，上，连接 ， ，点为线段的中点，连接，则线段与之间的数量关系是 ，位置关系是 ；第 11 页（共 38 页）（2）如图 2，将图 1 中的绕点逆时针旋转，旋转角为 （ ）连接 ，点为线段的中点，连接 请你判断（
12、 1 ）中的两个结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图 3 ，将图 1 中的绕点逆时针旋转到使的一边恰好与的边在同一条直线上时，点落在上，点为线段的中点请你判断（ 1 ）中线段与之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明34. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线 （不含点）上任意一点，连接 ， （1） 当（2） 当点在何处时， 点在何处时，的值最小；的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，求正方形的边长35. 如图，将矩形沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点 ，于点 ，连接 ， （1）求证：为等腰三角形；（2）设 ， ， 请写出一个 ， ， 三
13、者之间的数量关系式；（3）若 ， ，求重叠部分的面积和的长36. 定义：有一个内角为 ，且对角线相等的四边形称为准矩形（1） 如图 1，准矩形中， ，若 ， ，则 ； 如图 2 ，直角坐标系中， ， ，若整点使得四边形是准矩形，则点的坐标是 ；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）第 12 页（共 38 页）（2 ）如图 3，正方形 形是准矩形；中，点 ， 分别是边 ，上的点，且 ，求证：四边（3）已知，准矩形中， ， ， ，当为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是 37. （1）问题提出：如图 ，请你过的顶点作一条直线 ，使得将的面积分成相等的两部分；（2）问题探究如图，已知矩形 ，若在
14、边 ，上分别存在一点 ， （不含端点），且直线将矩形分成面积相等的两部分，画出图形，并探究和的数量关系，写出证明过程；（3）问题解决如图，王叔叔家有一块四边形菜地 ，他打算过点修一条笔直的小路把四边形菜地分 成 面 积 相 等 的 两 部 分 ， 分 别 种 植 不 同 的 农 作 物 已 知米 ，米， 过点是否存在一条直线将四边形的面积平分?若存在，求出平分该四边形面积的线段长；若不存在，请说明理由第 13 页（共 38 页）答案第一部分1. C【解析】提示：连接 2. C【解析】连接 利用三角形的面积与三角形的面积等于三角形的面积3. C【解析】 四边形.， ，.是矩形，四边形是矩形， ，
15、 ， 是等边三角形.，平分 ，.，.正确；， ，.，.，.第 14 页（共 38 页）.正确；是等边三角形， .四边形是矩形， ，.，.，即.正确.4. C【解析】 ， 为 ， 为的中点，的中点，的 周长5. B【解析】在中， ，是等腰三角形，故正确； 无法说明 ，故错误； 连接 ，则，故正确；过点作交的延长线于 ，则 ， ，四边形是矩形，在，和中，第 15 页（共 38 页）在，中， ，即 ，故正确 综上所述，正确的结论有6. A 【解析】如解图，取的中点 ，连接 ， ， ，当 ， ， 三点共线时，点， ，的最大值为 到点，的距离最大7. A 【解析】 分别以 ， 的点处，为折痕将两个角（
16、， ）向内折起，点 ， 恰好落在边作， ， ， ， ，于 .四边形， ，为矩形， ，在中， ，8. A 9. D 【解析】 ， ，又 ， ，第 16 页（共 38 页）（故正确）； ，又 ， ，（故正确）；过作 ，交的延长线于 ， ，又 中 ， ，又（故不正确）；如图，连接 ，在中，又 ，正方形（故不正确） ， ，在中，（故正确）；正方形10. A【解析】 四边形是正方形，等边三角形， ，第 17 页（共 38 页）在和中，（ ）（故正确），.即 （故正确）， ，即，垂直平分 （故正确）.设.由勾股定理，得 ， ，.，（故错误）. ，（故正确）综上所述，正确的有 个，11. B 【解析】 点，
17、的坐标为 ，点关于对称点的坐标为 ，的最小值为 12. C 【解析】 在矩形， 是等腰直角三角形，中，平分 ，在和中，第 18 页（共 38 页）在，和（ ），故正确；， （对顶角相等）， ， ，故正确；，中，（ ）， ， ，故正确；，故错误； ， ，不是等边三角形，即 ，故错误；综上所述，结论正确的是共第二部分13.个【解析】 在即 中， ， ， ， .又于 ，于 ，第 19 页（共 38 页）四边形是是矩形.的中点，因为的最小值即为直角三角形斜边上的高，即.的最小值是 14.【解析】 ， ， ，四边形又 ，四边形，为平行四边形，为菱形，又 ， 为等边三角形15.16.【解析】连接 过，作
18、，垂足为 由题意可知： 为中点， ， ， ， ，17. 17.第 20 页（共 38 页）【解析】在中， ， ，.由折叠的性质可得， ，.设 ，则 ，.在中，.解得.即 19.或20.【解析】当 当时，点时， ；与点重合，不符合题意舍去；当时，过作 ，交于 ，交于 ， ， ，21. 【解析】 ， ， ，垂直平分 为等边三角形，第 21 页（共 38 页）的最小值为 第三部分22. （1） 如图所示，过作的长，于点 ，四边形为正方形， ，四边形为矩形， （2） 四边形，为菱形，且 在四边形为正方形， 和中，又由旋转可得 第 22 页（共 38 页），四边形为菱形23. （1） ； ；四边形正方形
19、【解析】四边形正方形四边形正方形（2） ； ； ； 【解析】若 ，四边形正方形四边形正方形四边形正方形（3）正方形第 23 页（共 38 页）四边形四边形（4）（5） ；【解析】（1）由推理反思得正方形；（2）和都是等边三角形，24. 取， ， 的中点 ，连接 四边形是平行四边形，.，.，.， ， ，.，25. （1） 连接 因为所以是高线，是直角三角形第 24 页（共 38 页）因为所以是是边上的中线， 斜边上的中线所以 因为 ，所以 又因为 ，所以 ，即是的中点（2） 因为 ， 所以 因为 ，所以 因为是的一个外角，所以所以 26. 联结并延长 ，交的延长线于点 ，平行四边形 ， ， ，点
20、是的中点，在和中， ，即 ， 于 ，即，且 ，第 25 页（共 38 页） 27. （1） 四边形平行四边形 为矩形.中， ，平分 ， 又 ， ， 又 ， ，在等腰直角三角形中， 为中点， 在和中，.（2）是等边三角形理由：连接 ， 绕点顺时针旋转 是等边三角形.，.至 ，又四边形是平行四边形， ， .是.的平分线， .，第 26 页（共 38 页）.在.和中， 又 ，是等边三角形 28. （1） ； （2） 分别延长 ，仍然成立 交于点 ，如图 四边形是矩形，点在是的延长线上， 的中点，在和中，在即 中， 第 27 页（共 38 页） 分别延长 ，交于点 ，如图 4， ，点在直线上， ，在和
21、中，29. （1） （i） ；（ii） （2）证明：连接 点是点关于直线的对称点， ， 中， 是，的中点，第 28 页（共 38 页）在和， ， ，中，（3） 【解析】 ， ，30. （1） ， ，.，.是的中点，.又 ，（ ） ，.在中， ，.（2） 仍然成立证明如下：延长与的延长线交于点.， ，第 29 页（共 38 页），是，.的中点，.又 ，在，.中， ，. （3） 四边形31. （1）是矩形，仍然成立【解析】 ，为的中点，和， 为等腰直角三角形， ，（2） 如图，作 ， ，垂足分别为 ， 因为 ，分别是等腰直角三角形和等腰直角三角形斜边上的高，所以 ， 分别是 ，的中点是，的中点，是
22、的中位线， ， ， ， ，分别是直角三角形和直角三角形 ，斜边上的中线，第 30 页（共 38 页）， ， ， ， （3） 如图所示，是等腰直角三角形【解析】过点作 ，垂足为 ，过点作垂足为 ，连接 ， ，为中点， 为， ，中点， ， 是等腰直角三角形 32. （1）（2） （i）成立以下给出证明：如图，连接 ，第 31 页（共 38 页）在四边形中， 为斜边 ， ， 为正方形，且 ，中点，在和中，（ii）由（1）可得 ，当取得 最大值时，取得最大值当旋转角为时， ，最大值为 如图，此时 33. （1） ；（2） （1）的两个结论仍然成立证明：如图，延长到 ，使 ，连接 第 32 页（共 38
23、 页）为中点， 为中点，为的中位线，为， ，的中位线， ，即 （3） （1）中线段证明：如图，延长交与之间的数量关系没有发生变化 于 ，连接 ，过点作于 ， ， ，第 33 页（共 38 页）为四边形， ， 的中点，是矩形34. （1） 当点落在的中点时，的值最小（2） 如图，连接 ，当点位于与的交点处时，的值最小理由如下： 是正方形对角线上一点， ，在上取一点，使得 ，连接 ， ，即 ，是等边三角形 根据“两点之间线段最短”，得最短，当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长第 34 页（共 38 页）（3）过点作交的延长线于 ，设正方形的边长为 ，则 ， 在中，正方形的边长为 35. （1
24、） 如图，连接 ，交，解得， （舍去负值）于点 ；由题意得： ；四边形为矩形，为等腰三角形（2） 由折叠的性质可得 ，；在中，由勾股定理得： ，而 ， ，（3） 由（2）得 ， 又 ，得 ，过作于 则四边形为矩形在 中， （ ）（ ）第 35 页（共 38 页）的面积 ， 36. （1） ； ，的长为 （2）四边形，是正方形，四边形是准矩形（3） ， ，【解析】当时， ；当时， ；当时， 第 36 页（共 38 页）37. （1） 如图，直线即为所求；（2） 如图，直线即为所求； 证明：在矩形中， ， ，又 ，（3） 存在如图，设平分四边形的面积，连接 ，过点作于点 ，过点作于点 ，则 在中， ，第 37 页（共 38 页）在，中， ， ，在，中， ，在中，第 38 页（共 38 页）