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1、“将军饮马”问题的拓展与妙用唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说: “白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河 ”,诗中不仅描 述了作者紧张的从军生活和悲壮的边塞军营景象 ,同时也隐含着一个经典有趣的数学问题 “将军饮马” 问题.诗中将军的行程可以抽象为 : 如图(1)所示,在观望烽火之后从山脚下的 A 点出发 ,走到河边点 P 饮马后再回到 B 点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短 .确定最近行程的饮马点 P, 可以通过轴 对称变换的思想解决.图(1)图(2)如图(2), 作点 A 关于直线 l 的对称点 A , 连接 A B, 交直线 l 于点 P, 那么点 P 就是所求的点.1 1一、问题的变式“将
2、军饮马” 从条件上看属于同侧两定点 ,一条定直线类型 ,所求的点在定直线上 .1.条件由同侧两定点 ,一条定直线变为异侧两定点 ,一条定直线如图(3), 点 A,B 是直线 l 异侧的两定点 .问题: 在直线 l 上确定一点 P,使 |PA-PB|最大. 方法:作点 A 关于直线 l 的对称点 A,连接 BA并延长交直线 l 于点 P,则此时|PA-PB|最大.图(3)图(4)2.结论由求一点变为求一线如图(4), 点 A,B 是直线 l 同侧的两定点 ,线段 PQ 在直线 l 上移动,P,Q 间距离一定 .问题:确定 P,Q 两点的位置,使 PA+PQ+QB 的值最小.方法:将点 B 沿平行
3、于直线 l 的方向平移到点 B, 使 BB=PQ,再作点 A 关于直线 l 的对称点 A, 连接 AB,交直线 l 于点 P,则此时 PA+PQ+QB 的值最小.3.变条件 ,变结论(1)条件由同侧两定点 ,一条定直线变为一定点两条定直线 ,结论由求一点变为求两点 .如图(5), 点 A 是两相交直线 a,b 内的一定点,点 P,Q 分别是直线 a,b 上两动点.问题: 确定 P,Q 两 点的位置,使 PA+PQ+QA 的值最小 .方法:分别作点 A 关于直线 a,b 的对称点 A,A,连接 AA, 分别交直线 a,b 于点 P,Q,则 PA+PQ+QA=AA, 此时值最小.图(5)图(6)(
4、2)条件由同侧两定点一直线变为两定点两直线 ,结论由求一点变为求两点 .如图(6), 点 A,B 是两相交直线 a,b 内两定点,点 P,Q 两点分别是直线 a,b 上两动点.问题:确定 P,Q 两点的位置,使 PA+PQ+QB 的值最小.方法:作点 A 关于直线 a 的对称点 A,作点 B 关于直线 b 的对称点 B,连接 AB,分别交直线 a,b 于点 P,Q, 则 PA+PQ+QB=AB, 此时值最小.二、模型的应用1.如图(7), 在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一点 ,BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一动点, 则 PB+PE 的最小值是.图(7)图(8)解析:识别模型
5、,此问题为“将军饮马”问题.由正方形的性质 ,得出点 B,D 关于直线 AC 对称.如图(8), 连接 DE,交 AC 于点 P, 再连接 BP.根据两点之间线段最短 ,可知此时 PB+PE 的值最小,进而利用勾 股定理求解即可.2.如图(9), 在四边形 ABCD 中,BAD=120,B=D=90,在 BC,CD 上分别有一点 M,N,使AMN 的周长最小,此时 AMN+ANM 的度数为( )A.130 B.120 C.110 D.100图(9)图(10)第 1 页解析:观察图形,容易看出, 求 AMN 的周长最小问题是 “一定点(A)两定直线(BC,CD) ”模型,其构图 方法是: 如图(
6、10),作点 A 关于直线 BC 的对称点 A和关于直线 CD 的对称点 A,连接 AA,分别交 BC,CD 于点 M,N,此时 AMN 的周长最小,据此求解即可 .3.如图(11), 在平面直角坐标系中,抛物线 y=- x2- x 经过点 A,B(1,- ),O( 点 O 为原点).图(11)在该抛物线的对称轴上是否存在点 C, 使 BOC 的周长最小 ?若存在,求出点 C 的坐标;若不存在, 请说明理由.解析:识别模型,该问题是“将军饮马”问题.易知 OB=2,要使 BOC 的周长最小,必须使 BC+CO 的值 最小.因为点 O 与点 A 关于抛物线的对称轴对称 ,所以 CO=CA, 所以
7、当 A,C,B 三点共线,即点 C 为 直线 AB 与抛物线对称轴的交点时 ,BC+CO 的值最小 ,此时 BOC 的周长最小 ,据此求解即可. 三、结论的推广推广 1:在平面直角坐标系中的四边形周长最小如图(12), 在平面直角坐标系中有四点 A(-8,3),B(-4,5),C(0,n),D(m,0). 求当四边形 ABCD 的周长 最小时 m,n 的值.图(12)图(13)解析:如图(13), 作点 B 关于 y 轴的对称点 B(4,5), 作点 A 关于 x 轴的对称点 A(-8,-3), 连接 AB, 分别交 x 轴,y 轴于点 D 和点 C,此时 BC+CD+DA 的值最小 ,即四边形 ABCD 的周长最小 ,据此求解 即可.推广 2:求代数式的最小值已知实数 x,求代数式+的最小值.解析:构造图(14), 其中点 A 到直线 l 的距离 AG 为 1, 点 B 到直线 l 的距离 BH 为 3, 且 GH=5,点 P 在线段 GH 上运动,设 GP=x,则 PH=5-x. 在 AGP,Rt BHP 中,根据勾股定理,得AP= ,BP= ,则 AP+BP= + ,要使 AP+BP 的值最小,利用“将军饮马” 问题解决即可. 作点 A 关于直线 l 的对称点 A,连接 AB 交直线 l 于点 P, 此时线段 AB的长度就是+的最小值,据此求解即可.图(14)第 2 页