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1、2 22 22 22 2-2 22 22 22 22.3直线与圆、圆与圆的位置关系第 1 课时直线与圆的位置关系1.直线 x+2y-1=0 与圆 2x +2y -4x-2y+1=0 的位置关系是( ) A.相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心解析:由题意知,圆心坐标为,半径 r= ,圆心到直线的距离为 d= r,所以直线与圆相交但直线不过圆心,故选 C.答案:C2.过原点且倾斜角为 60的直线 l 被圆 x +y -4y=0 所截得的弦长为( )A.C.B.2D.2解析:过原点且倾斜角为 60的直线 l 的方程是x-y=0,圆 x +y -4y=0 的圆心为 C(0,2
2、),半径 r=2,则C 到直线 l 的距离 d=-=1,所以截得的弦长为 2 - =2 .答案:D3.与圆(x-2) +y =1 相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有( )A.2 条C.4 条B.3 条D.6 条解析:与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类:截距为 0 时,可设直线方程为 y=kx,由=1,解得 k= ;截距不为 0 时,可设直线方程为 x+y=a,由 =1,解得 a=2.因此符合题意的直线共有 4 条.答案:C4.对任意的实数 k,直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 的位置关系一定是( )A. 相离B. 相切C. 相交但直线不过圆心D. 相交且直线过圆心解析:直
3、线 y=kx+1 过定点(0,1),而 0 +1 2,所以点(0,1)在圆 x +y =2 内部,则直线 y=kx+1 与圆 x +y =2 相交但直线不经过圆心,故选 C.2 22 22 22 222答案:C5.设点在圆 x +y +2x+4y-3=0 上,且到直线 x+y+1=0 的距离为,这样的点共有( )A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个解析:圆心为(-1,-2),半径 r=2 ,而圆心到直线的距离 d= 故圆上有 3 个点满足题意.- -,答案:C6.已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 ACBC,则实数
4、 a 的值为.解析:由题意,得圆心 C 的坐标为(-1,2),半径 r=3. 因为 ACBC,所以圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离 d= 即|-3+a|=3,所以 a=0 或 a=6.- -r= ,答案:0 或 67.若直线 kx-y+1=0 与圆 x +y +2x-my+1=0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 y=-x 对称,则 |MN|= .解析:由圆的几何性质可得直线 kx-y+1=0 与直线 y=-x 垂直,且圆心 - k=1,m=2,即 M,N 所在直线的方程为 x-y+1=0,圆心为(-1,1),圆的半径 r=1,在直线 y=-x 上,由此可得则圆心到直线 MN
5、的距离 d=.故|MN|=2 - =2 - .答案:8.已知圆 C 的方程为 x +y -8x-2y+12=0,求过圆内一点 M(3,0)的最长弦和最短弦所在直线的方程,并 求这个最长弦和最短弦的长度.解圆 C 的方程为(x-4) +(y-1) =5,圆心 C(4,1),半径 r= .最长弦所在直线的斜率 k=-=1,最短弦所在直线的斜率 k=-1.2222 2 2 22 222最长弦所在的直线方程为 y=x-3,最长弦长为 2r=2 ;最短弦所在的直线方程为 y=-x+3,圆心到最短弦所在直线的距离 d=-,最短弦长为 2 - =2 .9.已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-
6、y+1-m=0.(1) 求证:对任意 mR,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点;(2) 设 l 与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|= ,求 l 的倾斜角.(1)证明由已知直线 l:y-1=m(x-1),知直线 l 恒过定点 P(1,1),因为 1 l 与圆 C 总有两个不同的交点.=10,b0),半径 r=5. 因为截 y 轴所得弦长为 6,222所以 a +9=25,因为 a0,所以 a=4.又由圆心 C 到直线 l:x+2y=0 的距离为所以 d= ,因为 b0,所以 b=1,所以圆的方程为(x-4)+(y-1)=25.(2)当斜率 k 存在时,设切线方程为 y=k(x+1),因为圆心 C 到直线 y=k(x+1)的距离为-=5.所以 k=- ,所以切线方程为 12x+5y+12=0.当斜率 k 不存在时,方程 x=-1,也满足题意. 综上所述,切线方程为 12x+5y+12=0 或 x=-1.