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1、2.3.抛物线的几何性质（）【学情分析】：由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。【教学目标】：（1）知识与技能：熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。（2）过程与方法：重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。 （3）情感、态度与价值观：培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与
2、热情。【教学重点】：抛物线的几何性质及其运用。【教学难点】：抛物线几何性质的运用。 【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入曲 线抛物线方 程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形焦 点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范 围x0x0y0y0对称轴x轴x轴y轴y轴顶 点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准 线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无回顾抛物线的几何性质：将基本公式用填空的形式巩固。二、知识准备设圆锥曲线Cf(x
3、，y)=0与直线ly=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：或二、例题讲解例1正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，又|OA|OB|，所以 即 ，由此可得，即线段AB关于x轴对称因为x轴垂直于AB，且AOx30，所以 所以， 例2过抛物线y的焦点作倾斜角为的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角解：抛物线标准方程为x24y，则焦点F（0,
4、-1） 当90时，则直线l：x0（不合题意，舍去） 当90时，设ktan，则直线l：y+1kx；即y=kx-1与x24y联立，消去y得：x24kx-4=0 则x1+x2= 4k； x1x2= 4； =4（1+k2）8k145或135 圆锥曲线的弦长求法二、例题讲解例3已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值解：设与抛物线交于由弦长公式|AB|=3则有 由从而由于p0，解得 圆锥曲线的中点弦问题三、巩固练习1若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。（答案：边长为8）2正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角
5、形外接圆的方程分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：，又 圆过点， 所求圆的方程为3已知抛物线,过点(4, 1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为 解析: 设直线与抛物线交点为 则 , 4已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程（答案：）5顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或）四、课后练习1斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长解：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)，所以直线AB的方程为y=x-1与y2=4x联立，解得：将x1、x
6、2的值代入方程中，得即A、B的坐标分别为、2已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：）3. 已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：）4已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点（3）点的轨迹方程为 5已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）练习与测试：1顶点在原点，焦点在y轴上，且
7、过点P（4，2）的抛物线方程是（）(A) x28y (B) x24y (C) x22y (D) 2抛物线y28x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，4） (C) （1，） (D) （1，）3 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( ) A. 4 B. 2 C. D. 4抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为5抛物线y26x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是6以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求OAB的面积7已知抛物线与直线相交于A、B 两点 ,求证; 当的面积等于时,求的值.测试题答案：1A2D 3A 4x28y 5 67解析(证明):设 ; ,由A,N,B共线 , 又- 由得 6 / 6精品DOC