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1、 n 2 m m 2 m -n1 1x& = 0 0 1x + 0 u 1 1x& = 0 0 1x + 0 u 2007 年本科生现代控制理论考试卷(A)答案哈尔滨工业大学2007 年春季学期本科生现代控制理论基础 考试试卷（ A 卷）标准答案一、填空题（本题含有 10 个小题，每小题 2 分，共 20 分）1是。2保持不变。3 Fk -h。4完全能，状态完全能观测。5独立。626。7能控，能观（测）。84。9对偶。10 n -2 。二、选择题（本题含有 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）1（D）2（B）3（D）4（A）5（B）6（C）7（A）8（D）9（C）10（A） 三、解答题
2、（本题含有 5 个小题，每小题 8 分，共 40 分）1写出系统 x&=1 2 -1x + u ， x R 2， u R 状态完全能控的充分必要条件。-1 1 2 1 2-12m-1解 b = ， A = ， Ab = = 。m n 2 n 2 m 2m -n能控性矩阵为 M =b Ab=-1 2 m -1 ， det M =n -m -2 m2，当 det M 0 时，rankM =2 。所以完全能控的充要条件为： n -m -2 m20Y ( s ) 22设一个系统可用传递函数表示为 =U ( s) s 3 +2 s 2 +7 s +3，写出该系统的一个状态空间表达形式。解法 1 根据传递
3、函数得 s 3Y ( s ) +2 s 2Y ( s ) +7 sY ( s ) +3Y ( s) =2U ( s ) ，在不考虑初始 条件的情况下，取拉氏反变换得 &y&+2&y+7y&+3y=2u。取状态变量 x =y ，x =y&，1 2x =&y&，则有3x&=x1 2x&=x2 3x & =-3x -7 x -2 x +2u 3 1 2 3x =x1或写成x&0 1 0 x 0 2 2 x&-3-7 -2 x 23 3 x1y =10 0 x2 x3解法 2 根据传递函数得 s 3Y ( s ) +2 s 2Y ( s ) +7 sY ( s ) +3Y ( s) =2U ( s )
4、 ，在不考虑初始 条 件 的 情 况 下 ， 取 拉 氏 反 变 换 得 &y&+2&y+7y&+3y=2u， 写 成 &y&/2+2&y/2+7 y&/2 +3 y / 2 =u 。取状态变量 x =y / 2 ， x =y&/2 ， x =&y/2 ，则有1 2 3x&=x1 2x&=x2 3x & =-3x -7 x -2 x +u 3 1 2 3x =2 x1或写成x&0 1 0 x 0 2 2 x&-3-7 -2 x 13 3 x1y =20 0x2 x3第 1 页 共 3 页x +0 21121 1 2127&21 21 21 2& 0 -3 2&e，则观测器误差方程为 x =(
5、A -F c) x ，x =x -x2007 年本科生现代控制理论考试卷(A)答案3给定线性定常系统 x&=1 -1 2 u ，求状态反馈增益阵 K ，使得在反馈律u =-Kx 作用下，闭环系统的极点为 l =-5， l =-3。1 2解 设状态反馈增益阵为 K = k k ，则闭环系统的方程可写为1 21-2k -1 -2 k x&= x ，它的特征多项式为-k 2 -k1 2D ( s ) =det( sI -1-2k -1 -2 k -k 2 -k1 22) =s2+(2 k +k -3) s +2 -5k -k 。根据闭环极点 1 2 1 2的位置，可写出期望特征多项式为 D*( s
6、) =s2+8 s +15 。比较两个多项式的对应项系数，可得关于 k ， k 的代数方程组1 22k +k -3 =8 ，解之得 k =-8， k =27 。则状态反馈阵为 K = -8 27 。 2 -5k -k =151 24设有一个 2 阶非线性系统，其状态方程为x&=x3 -3 x1 2 1x&=-xx 2 -x 5 + 2 1 2 272x 5j( x , x ) 2 1 2，其中1j( x , x ) 为一个不确定的实值函数，但是满足 j( x , x ) 。证明该系统在坐标原 1 2 1 2点处渐近稳定。证明 取李氏函数 V ( x ) =x 2 +x 21 2沿着原系统的状态
7、轨线，有，其中 x =x x T，则V ( x ) 是正定的，另外，1 2V ( x ) =2 x x&+2 x x&1 1 2 2=2 x ( x 3 -3 x ) +2 x -x x 2 -x 5 1 2 1 2 1 2 27+ x5j( x , x ) 2 1 2=-6x 2 1-2 x 6271 - j2( x , x ) 1 21 1 7 1 1 7 3由于 j( x , x ) ，所以 - - j( x , x ) ，则 1 - j( x , x ) ，此时必有7 2 2 2 2 2 2V ( x ) 为负定。所以该系统在坐标原点处渐近稳定。5给定单输入单输出线性系统的状态空间形式
8、为-2 0 1x&= x + u0 -3 2 ，y =21x对该系统设计一个全维状态观测器，使观测器的极点为 l =-2+i ，l =-2-i ，其1 2中 i 表示虚数单位。解 原系统的状态空间表达式可写为x&=Ax +bu y =cx，其中 A =-2 0 1， b = ， c = 2 1 。设状态观测器方程为 x =Ax +bu -F (cx -y ) 。将状态方程与观测器方程相减，并令状态估计误差为 & e第 2 页 共 3 页11 ee 1 212-22007 年本科生现代控制理论考试卷(A)答案f -2-2 f 令 F = ，则 A -F c =f -2 f2 2- f1-3 - f2，其特征多项式为D ( s ) =det( sI -A +F c ) =s 2 +(2 f + f +5) s +6 f +2 f +6e 1 2 1 2根据观测器的极点，可写出期望特征多项式为D * ( s ) = s -( -2 +i ) s -( -2 -i ) =s 2 +4 s +5比较两个多项式的对应项系数，可得关于 f ， f 的代数方程组1 22f + f +5 =4 ，解之得 f =0.5 ， f =-2。6 f +2 f +6 =51 2所以观测器增益阵为 F =e0.5 。第 3 页 共 3 页