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1、因式分解的十二种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因 式分解的方法多种多样，现总结如下：1、 提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成两个因式乘积的形式。例 1、 分解因式 x -2x -xx -2x x=x(x -2x-1)2、 应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用 来把某些多项式分解因式。例 2、分解因式 a +4ab+4b解：a +4ab+4b=（a+2b）3、 分组分解法要把多项式 am+an+bm+bn 分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因
2、式 a，把它后两项分成一组，并提出公因式 b，从而得到 a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式 m+n，从而得到(a+b)(m+n)例 3、分解因式 m +5n-mn-5m解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n= (m -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、 十字相乘法对于 mx +px+q 形式的多项式，如果 ab=m,cd=q 且 ac+bd=p，则多项式可因式 分解为(ax+d)(bx+c)例 4、分解因式 7x -19x-6分析： 1 -37 22-21=-19解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于
3、那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后 再利用平方差公式，就能将其因式分解。例 5、分解因式 x +3x-40解 x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40=(x+ ) -( )=(x+ + )(x+ - )=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。例 6、分解因式 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b
4、)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7、 换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行 因式分解，最后再转换回来。例 7、分解因式 2x -x -6x -x+2解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x=x 2(x + )-(x+ )-6令 y=x+ , x 2(x + )-(x+ )-6= x 2(y -2)-y-6= x (2y -y-10)=x (y+2)(2y-5)=x (x+ +2)(2x+ -5)= (x +2x+1) (2x -5x+2)=(x+1) (2x-1)(x-2)8、 求根法令多项式 f(x)=0,求
5、出其根为 x ,x ,x ,x ,则多项式可因式分解为 f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x )例 8、分解因式 2x +7x -2x -13x+6解：令 f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0通过综合除法可知，f(x)=0 根为 ，-3，-2，1则 2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)9、 图象法令 y=f(x)，做出函数 y=f(x)的图象，找到函数图象与 X 轴的交点 x ,x ,x , x ，则多项式可因式分解为 f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )(x-x )例 9、因式分解 x +2x -5
6、x-6解：令 y= x +2x -5x-6作出其图象，见右图，与 x 轴交点为-3，-1，2则 x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)10、 主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分 解。例 10、分解因式 a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)分析：此题可选定 a 为主元，将其按次数从高到低排列解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)=(b-c) a -a(b+c)+bc=(b-c)(a-b)(a-c)11、 利用特殊值法将 2 或 10 代入 x，求出数 P，将数
7、P 分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合 后的每一个因数写成 2 或 10 的和与差的形式，将 2 或 10 还原成 x，即得因式分解式。 例 11、分解因式 x +9x +23x+15解：令 x=2，则 x +9x +23x+15=8+36+46+15=105将 105 分解成 3 个质因数的积，即 105=357注意到多项式中最高项的系数为 1，而 3、5、7 分别为 x+1，x+3，x+5，在 x=2 时的值 则 x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而 把多项式因式分解。例 12、分解因式 x -x -5x -6x-4分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。解：设 x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd所以 解得