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1、x不等式恒成立问题一、 教学目标：（1） 知识目标：利用二次函数、导数、均值不等式、三角函数和线性规划 求最值。（2） 能力目标：掌握不等式恒成立问题的解法，熟练应用四大数学思想， 提升解决问题的能力。（3） 情感目标：树立学好数学的信心，让学生体验到成功感，信心百倍地 参加高考。二、 教学重点：利用二次函数相关知识解决此类问题。三、 教学难点：如何把不等式恒成立问题转换为二次函数求最值，即函数 与方程思想的应用。四、 教学方法：通过例题讲解，引导学生思考、归纳和总结此类问题的解 法，然后再练习习题。五、 教具准备：多媒体课件六、 教学过程：高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类
2、问题没有一 个固定的思想方法去处理，在近些年的高考模拟题及数学高考题中屡见不鲜。 如何简单、准确、快速的解决这类问题并更好地认识把握，本节课通过举例来说明这类问题的一些常规处理方法。 例 1. 若不等式 x 2 + ax +1 0 对于一切x1(0, 2成立，则 a 的最小值为 （ ）A.0B.-25C.-2法一 : 不等式可化为D.-3ax - x 2 -1，由 x 1(0, ， a 2 -( x +1x).Q ( x +1 1) 在 (0, 上是减函数 , x 2( -x -1x)max=-52 a -52法二：令f ( x ) = x2+ ax +1, 对称轴为x = -a2.x =-a
3、2oy12x a- 0 2f (0) 0 a 00 - yaf (- ) 0ox1maxminyox =-a212x a 1- 2 21f ( ) 0 2 -1a 0y a 1 2 2 5 - a -1 2 25综上，a -a 22 x =-2a法三：验证法：令f ( x ) =x 2 +ax +1,对称轴为x =- .21当a =0时，f ( x) =x 2 +1 0在（0, 恒成立。21当a =-2时，f ( x) =x 2 -2 x +1 =（x-1）2在（0, 恒成立。25 5 5 1当a =- 时，f ( x) =x 2 - x +1，对称轴x = ，（0, 是f ( x)的减区间，
4、 2 2 4 21 1f ( ) =0，故f ( x ) 0在（0, 恒成立。2 2当a =-3时，f ( x ) =x23 1-3 x +1，对称轴x = ，（0, 是f ( x )的减区间，2 2小结：1 1 1f ( ) =- f(x)(af (x)(a 0 对满足x 0,1 的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。答案：m -12例 2. 若不等式 2 x -1 m ( x 2 -1) 对满足 -2 m 2的所有 m 都成立，求 x 的取值范围。法一：令 f ( m ) =(x2-1) m -(2 x -1) 0( -2 m 2)1113 由题可知：f ( -2) 0 f (2) 0
5、-1+ 7 1 + 3 x . 2 x2 -2 x -1 0 2 2法二：令 f ( m ) =(x2-1) m -(2 x-1) 0( -2 m 2)当 x2-1=0时，即x = 1，经验证，只有 x=1适合。x 2 -1 0f ( -2) 0 f (2) 0-1+ 7 1 + 3综上，可得： x 2 x +p 恒成立，则实数 x的取值范围是（ ）答案：x 3小结：本题利用 参变量转换法， 即参数转换为变量；变量转换为参数，把关 于 x 的二次不等式转换为关于 m 的一次不等式，化繁为简，然后再利用一次函数的单调性，求出 x 的取值范围。通过以上两题，大家总结一下 参变量转换法 和 参变量分
6、离法 的异同，各 在什么情况下运用？课堂练习：1. 对于不等式(1-m )x2 +(m -1 )x+3 0 .(*)（ 1）当 | x | 2 ，(*)式恒成立，求实数 （ 2）当 | m | 2 ，(*)式恒成立，求实数m 的取值范围； x的取值范围。（1）分析：令f(x )= (1-m)x2+(m-1)x+3,|x| 2,1 当1 -m =0时，即m =1，(*)式成立，故m=1适合(*)2 当1 -m 0时，即m 1,对称轴x= ，(*)式在x-2,2时恒成立的充?要条件2为：D=(m -1)2-12 (1-m)0，解得: -11 m 1当 1 -m 1, 对称轴 x = ，(*)式在x
7、-2,2 时恒成立的充要条件2为： f(-2)= (1 -m ) g( -2) 2 +( m -1 ) g(-2)+30，解得： 1 m 23综上可知 : 适合条件的m的范围是 : -11 m 0则f(m) 0恒成立 f (2) =-x2 +x +3 01 - 13 1 + 13x 2 2。2.已知函数 f ( x ) = x 2 -2 ax +4 在区间 -1,3 上都不小于 2，求 a的值。3、如果 kx2+2 kx -( k +2) 0 的解集为 R ，则 m 的取值范围 ( )7. 设 a 0， b 0，且不等式最小值等于（ ）1 1 k+ + 0 恒成立，则实数 a b a +bk
8、的参考答案：3. -1 k 04.c 2 -15.0 k 1 6.2 m 6 7. -4七、 课时小结与作业：1、 通过参变量分离法，将问题转化为f(x)（或f(x)）恒成立，再运用 不等式知识或求函数最值的方法，使问题获解。2、 化归二次函数型问题，结合抛物线图像，转化成最值问题，分类讨论。3、 通过参变量转换法化成一次函数型问题，利用一次函数的图像特征求解。4、 对于 f(x)g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理，或者化成 f(x) -g(x)0 再处理。作业练习：已知 m R ，求函数 f ( x) =(4 -3m ) x 最大值。八、 板书设计：2-2 x +m在区间 0 ， 1 上的1、基本知识：2、例题讲解：3 练习与作业：3