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1、xy4、抛物线y =x 2 +bx +cy =x 2 -2 x -32017 年“庆元旦”九年级数学竞赛试卷 (本试卷共三道大题，满分 120 分)班级：_ 姓名： _ 分数：全平方数，则 F ( n ) =1 若 n 是一个完全立方数，即 n =a 3 （ a 是正整数），则 F ( n) =中，正确的结论有：（ ）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个1a。题 号 1 2 3 4 5 67 88、如图 3，在四边形 ABCD 中，A=C=90，ABC=60，AD=4，CD=10，则 BD 的长等于 （ ）答案A、 4 13 B、 8 3 C、12 D、10 3题 号 9 10 11
2、 12 13 14 答案15 16如图一、选择（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）1、篆刻是中国独特的传统艺术,篆刻出来的艺术品叫印章印章的文字刻成凸状的称为“阳文”， 刻成凹状的称为“阴文”如图 1 的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列二、填空（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分）9、若“!”是一种数学运算符号，并且：1!=1，2!=21=2，3!321=6，4!=4321， 100!则 。98!选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分） （ ）10、设-1x2，则x -2 -12x + x +2的最大值与最小值之差为11、给
3、机器人下一个指令 s ， A（s 0，0 o A 180 o），它将完成下列动作：先在原地向左旋转角度A；再朝它面对的方向沿直线行走s个单位长度的距离。现机器人站立的位置为图 12、已知两圆的半径 R、r 分别为方程x2-5 x +6 =0的两根，两圆的圆心距为 1，两圆的位置关坐标原点，取它面对的方向为 x 轴的正方向，取它的左侧为 到点（ -5 ， 5 ）处，应下指令： 。y轴的正方向，要想让机器人移动系是（ ） A外离 B 外切 C相交 D内切1 1 1 33、已知：4 =9 =6，则 + 等于( )A、2 B、1 C、 D、x y 2 2图像向右平移 2 个单位再向下平移 3 个单位，
4、所得图像的解析式为 ，则 b、c 的值为（ ）A .b=2，c=0 B. b=2， c=2 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2-x+4m 4 ，则（ ）x +1 m9 9A、 m B、 m 5 C、 m = D、 m =52 21 2 a6、已知 a + = +2b 0 ，则 的值为（ ）A、-1 B、1 C、2 D、不能确定b a b7、任何一个正整数 n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种p分解： n = p q （ p q ）可称为正整数 n 的最佳分解，并规定 F ( n ) = 如：12=112=2q12、 设 a， b 是方程
5、x 2 +x -2009 =0 的两个实数根，则 a2 +2 a +b 的值是13、 已知抛物线 y=3(x2)（x+4）则抛物线的对称轴是_14、 汽车燃油价税费改革从 2009 年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高 0.8 元。若某车一年的养路费是 1440 元,百公里耗油 8 升,在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图 4 中的 l 、l1 2所示，则 l 与 l 的交点的横坐标 m = (不考虑除养路费和燃油1 2费以外的其它费用) 。图（4）15、 已知O 的半径为 5cm，AB、CD 是O 的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，ABCD，则 AB 与 C
6、D 之间 的距离为_.16、 设 (2x +1）3=a x 3 +a x 2 +a x +a ,这是关于 x 的一个恒等式(即对于任意 x 都成立)。则0 1 2 3a +a 的值是 .1 3三、解答（40 分）17、（12 分=5 分+7 分）如图，矩形纸片 ABCD 中， AB =8 ，将纸片折叠，使顶点 B 落在边 AD 的 E 点上，折痕的一端 G 点在边 BC 上， BG =10 （1）当折痕的另一端 F 在 AB 边上时，如图（5），求 EFG 的面积；6=34，则F (12) =3 1 3 ，则在以下结论: F (2) = F (24) =4 2 8若 n 是一个完第 1 页H(
7、A)2（2）当折痕的另一端 F 在 AD 边上时，如图（6），证明四边形 BGEF 为菱形，并求出折痕 的长。GF19、（16 分=5 分+5 分+6 分）抛物线 y =-x +2bx -(2b -1) （b 为常数）与 x 轴相交于 B ( x ，0) （ x x 0 ）两点，设 OAOB=3（O 为坐标系原点）2 2 1A( x ，0) ， 1E(B) D F E(B) A A D（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线的顶点为 C，抛物线的对称轴交x轴于点 D，求证：点 D 是 ABC的外心；FBGC BGC（3）在抛物线上是否存在点 p，使ABP=1？若存在，求出点 p 的坐标；若不
8、存在，请说明理由图（5）图（6）yx18、（12 分=5 分+7 分）如图 7，已知抛物线与 x 交于 A(1，0)、E(5，0)两点，与 y 轴交于点 B(0，5)（1） 求抛物线的解析式；（2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB 的面积（图 7）第 2 页ABP参考答案一、选择题1、D2、D3、A4、A D5、C6、C7、C8、A二、填空题9、9900；10、1；11、5 2 ，135；12、2008；13、x=-1；14、22500；15、1cm 或 7cm； 16、13三、17、（1）25；（2） 4 518、解：（1）抛物线的解析式为：y=-x2 +4x+5令 y=0，得-x2+4
9、x-3=0 解得 x =1，x =3（6 分）1 2A（1，0），B（3，0），AD=DB=1（7 分） AD=DC=DBD 为ABC 的外心（8 分）（3）解法一：设抛物线存在点 P（x， y），使 =1ABP由（2）可求得 AB=3-1=21 1 = AB|y|= 2|y|=1 （9 分）2 2y=1当 y=1 时，-x2 +4x-3=1 ，解得 x =x =2 （10 分）1 22当 y=-1 时，-x2（11 分）+4x-3=-1 x=2存在点 P，使 =1点 P 的坐标是（2，1）或（2+ABP2，-1）或（2-2，-1）（12 分）解法二：由（2）得 =ABC1 1ABCD= 21
10、=1（9 分） 2 2（2）过 D 作 DFAE，垂足为点 F S =S +S =30 四边形 AEDB AOB 梯形 OBDF DEF顶点 C（2，1）是符合题意的一个点（10 分） 另一方面，直线 y=-1 上任一点 M，能使 =1，AMB把直线 y=-1 代入抛物线解析式，得-x2+4x-3=-1 解得 x=22（11 分）存在点 P，使 =1ABP点 P 的坐标是（2，1）或（2+2，-1）或（2-2，-1）（12 分）19、（1）解：由题意，得 x x =2b-1 （1 分）1 2OAOB=3，OA=x OB=x ，1 2x x =3（2 分）1 22b-1=3 b=2 （3 分）所求的抛物线解析式是：y=-x2 （2）证明：如图，+4x-3（4 分）y=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，顶点 C（2，1），D（2，0），CD=1（5 分）第 3 页