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1、bb bBatchDoc-Word 文档批量处理工具清华大学 2006 数学分析真题参考答案1 若数列 x n满足条件x - xnn -1+ xn -1- xn - 2+ggg+ x - x M 2 1则称 x n为有界变差数列，证：令y = 0 ，y = x - x 1 n nn -1+ xn -1- xn - 2+ggg+ x - x 2 1（n=2,3,.）那么 y n单调递增，由条件知 y n有界， y n收敛 ，从而 e 0, $N 0，使当n m N时，有y - y e n m， 此 即 ：x - xnn -1+ xn -1- xn - 2+ggg+ xm +1- xm -1 e，
2、 而x - x x - x n m nn -1+ xn -1- xn - 2+ggg+ xm +1- x em，由柯西准则 x n收敛。2证：（反证法）（1）若存在x , x , x I 1 2 3，且x x x 1 23使得f ( x ) f ( x ) 1 2 3，考虑f ( x )1和f ( x )3。(i) 若f ( x ) f ( x ) (f ( x )1 3 2)，由于f ( x ) 在 x , x 1 2上连续，由介值定理，必存在x x , x ，使 f ( x ) = f ( x ) 4 1 2 4 3，定与一一映射矛盾。(ii)f ( x ) f ( x ) (f ( x
3、)3 1 2)， 这 时 考 虑 x , x 2 3， 必 存 在x x , x 5 2 3使 得f ( x ) = f ( x ) 5 1，也得到矛盾。(2) 若存在x , x , x I 且 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3。由介值定理，存在x x , x 4 1 2，x x , x 5 2 3，使得f ( x ) = f ( x ) 4 2，也与一一映射矛盾。f(x)在 I 必严格单调。3证：设f ( x ) 在 ( a, b)内两个不同实根为x x ，即 f ( x ) = f ( x ) = 0 1 2 1 2。由罗尔定理，存在c ( x ,
4、 x ) ，使 f 1 2( c ) = 0（1）因为f ( x ) 0，从而为f ( x )极小值点，由费马定理 f (x ) = f (x ) = 0 1 2（2）由（1），（2）对f (x )在 x , c 1和 c , x 2用罗尔定理，则存在x ( x , c ), x ( c , x ), 3 1 4 4使f(x ) = f 3(x ) = 0 4。 再 一 次 对f(x) 在 x , x 3 4上 应 用 罗 尔 定 理 ，$x x , x (a, b) ，使 f 3 4(3)(x) = 0。4证：令 t=a+b-x,则af ( x )dx = f (a + b - t )dt
5、= f (a + b - x )dxa a。对a =p6，13636yxtABatchDoc-Word 文档批量处理工具b =p3用前一部分结果 ，有原式p=p3p6sin 2 x 1 1 1 dx = p dx =x(p - 2 x ) 2 x (p - 2 x ) 2pp1 2 1 p 3 1 p + dx = ln = ln 2x p - 2 x 2p p - 2 x p p p65解：令x =n ， y = n + 1，则 ex 0) ， f (x ) =x x 2当 x e 时， f( x ) 0，从而e x f ( y ) 则 xy (ln x ln y) xy ( ) ( e x
6、 e x ln y即当e x y x，n 8时e n ( n + 1)n6证：由条件lim f ( x ) = 0，对任给的e 0，存在A 0，使当x A时，f ( x ) A，有0 1t0f ( x ) dx 1t0f ( x ) dx +1ttAf ( x ) dx 1tA0f ( x ) dx +e( t - A) t于 是 对e 0 时+Ax2e- xydy = xe- Ax1= AxeA- Ax Q f ( t ) = te- t( t 0)，最大值e-1= f (1)，故0 +Ax2e- xy1dy eA-1，supx 0+Ax2e- xydy 0( A + )因此反常积分在x 0
7、上一致收敛。8 证 ： 在z = u平 面 上 ， 将 圆x2+ y 2 + z z = u2= 1表 示 成 参 数 就 是222 p 1 1BatchDoc-Word 文档批量处理工具 x = 1 - u cos v y= 1 - u 2 sin v(0 v 2p)则ds =Ea - F 2dudv = dudvf ( z )ds = dv f ( u )du = 2p f ( u)du0-1-1x2+ y2+ z2=19本题只要证lim f ( x ) = a 即可，令 F ( x ) = f ( x )ex，G ( x ) = exx +则G ( x )严格单调上升趋于+ ( x + ) ， G( x ) 0，应用推广 Stolz 定理lim f ( x ) = limx + x +F ( x )F ( x )= limx +F ( x + 1) - F ( x ) G ( x + 1) - G ( x )应用柯西中值定理lim f ( x ) = lim f (x ) + f (x) = ax +x+3