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1、x-xx =ay =bP高中数学专题 - 对称和共线问题基本方法：1. 对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：（1）点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点 P (x0 0, y0)，对称中心为 A (a,b)，则点 P (x0 0, y0)关于 A (a,b)的对称点为 P (2a-x0,2 b -y0).（2）点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平 分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点 P (x0 0, y0)关于直线y =kx +b的对称点为 P (x,y)y -y0 k =-
2、1，则有 0 ，可求得 y +y x +x0 =k 0 +b 2 2P (x,y).特殊情形：点 P (x0 0, y0)关于直线 对称的点为P (2a-x 0, y0)；点P0(x , y0 0)关于直线 对称的点为P (x0,2 b -y0)；若对称轴的斜率为 1，则可把 P (x0 0, y0)直接代入对称轴方程求得对称点 的坐标.2. 三点共线问题解题策略一般有以下几种：1 斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线 的斜率相等证明三点共线；2 距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和， 则这三点共线；3 向量法：利用向量共线定理证
3、明三点共线；4 直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上 ;5 点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的 距离，若距离为 0，则三点共线 .2，2 R, SClP Ol RSC2+y =1 AC AD EAD AE y M NOMNxyPAlkCB CP BQ22P, OPOMA, B ClA xBC面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为 0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 一、典型例题1.已知椭圆C :x24 1 +y =1 M ,3 3 为椭圆上一点，若 是椭圆 上的两个点，线段
4、RS的中垂线 的斜率为12且直线 与 交于点 ， 为坐标原点，求证：P, O, M三点共线.2.已知椭圆 ：x42 ， 为椭圆左顶点，设椭圆 上不与 点重合的两点 ，关于原点 对称，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点. 求证：以 为直径的圆 被 轴截得的弦长是定值 .二、课堂练习1. 抛物线 C : y 2 =4 x，已知斜率为 的直线 交 轴于点 ，且与曲线 相切于点 ，点 在曲线 上，且直线PBx轴， 关于点 的对称点为 ，判断点A, Q, O是否共线，并说明理由.2. 已知椭圆x y+ =18 4，上顶点为 为坐标原点，设线段 的中点为M，经过 的直线 与椭圆交于 两点， 方程.l(-3,
5、0)，若点 关于 轴的对称点在直线 上，求直线三、课后作业1. 已知抛物线C : y2=4 x的焦点为F，直线l过点 (-1,0)，直线l与抛物线C相交于 A, B两点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D . 证明： B, F , D 三点共线.x y2 2A, B+ =1 DABCG2Al x =-1P Q xAPB B A BQ xDAP2.已知椭圆G:10 6. 的顶点都在椭圆 上，其中 关于原点对称，试问DABC能否为正三角形？并说明理由 .3.已知椭圆x24 y+ =13，右顶点为 ，设直线 ：上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交于点 . 若APD的面积为62，求直线 的方程.