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1、勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，ABC 中，ACB=900，AC=7，BC=24，CDAB 于 D。 （1）求 AB 的长；（2）求 CD 的长。CA D B类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的 正方形的边和长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和为_cm2。ABCD【练习 1】如上右图，每个小方 格都是边长为 1 的正方形， （1 ）求图中格点四边形 ABCD 的面积和周长。7cm（2）求ADC 的度数。A DE【练习 2】如图，四边形 ABCD 是正方形， AE BE ，且 AE =3，BE =4，
2、阴影部分的面积是_.25BCB【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是169( )A. 12 B. 13 C. 144 D. 194类型三：距离最短问题【例题】 如图，A、B 两个小集镇在河流 CD 的同侧，分别到河的距离为 AC=10 千米，BD=30千米，且 CD=30 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 A、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米 3 万，请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M，使铺设水管的费用最节省，并求出B总费用是多少？AC DL1 / 62 2 2【练习 1】如图，一圆柱体的底面周长为 20cm，高为 4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点 A 出发，沿着圆柱的侧面爬行
3、到点 C，试求出爬行的最短路 程【练习 2】如图，一个牧童在小河的南 4km 的 A 处牧马，而他正位于他的小屋 B的西 8km 北 7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件 事情所走的最短路程是多少？小河A牧童北东B小屋类型四：判断三角形的形状【例题】如果ABC 的三边分别为 a、b、c，且满足 a +b +c +50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状。【练习 1】已知ABC 的三边分别为 m2n2,2mn,m2+n2(m,n 为正整数,且 mn),判断ABC 是否为直角三角形.【练习 2】若ABC 的三边 a、b、c 满足条件a2b2c233810a24b2
4、6c，试判断ABC 的形状.【练习 3】.已知 a，b，c 为ABC 三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（ ）三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角【练习 4】三角形的三边长为( a +b )2=c2+2 ab,则这个三角形是( ) 三角形（A）等边（B）钝角（C） 直角（D）锐角类型五：直接考查勾股定理【例题】在 ABC 中，C=90(1)已知 a=6， c=10，求 b； (2)已知 a=40，b=9，求 c；(3)已知 c=25，b=15，求 a.。2 / 613【练习】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是
5、多少?类型六：构造应用勾股定理 【例题】如图，已知：在中， ， ，. 求：BC 的长.【练习】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。类型七：利用勾股定理作长为 n的线段例 1 在数轴上表示的点。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 OA=3，作 ACOA 且截取 AC=1，以 OC 为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为。【练习】在数轴上表示 的点。类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题】若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面 积。【练习 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积
6、。【练习 2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，403 / 6A、8，15，17类型九：生活问题【例题】如下左图，在高 2 米，坡角为 30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米【练习 1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为 2.5 ，高为 12 ，吸 管放进杯里，杯口外面至少要露出 4.6 ，问吸管要做 。【练习 2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花 园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设 2 步为 1m），却踩伤了花草。【练习 3】如上右图，校园内有两棵树，相距 12
7、 米，一棵树高 13 米，另一棵树高 8 米，一 只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.类型十：翻折问题【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm，现将直角边 AC 沿 直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 CD 的长吗？CDB EA【练习 1】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm， BC=10cm，求 EF 的长。【练习 2】如图，ABC 中，C=90，AB 垂直平分线交 BC 于 D 若 BC=8，AD=5，求 AC 的长。4 / 6勾股定理的逆定理1.有五
8、组数：25，7，24；16，20，12；9，40，41；4，6，8；32,42,52，以各组 数为边长，能组成直角三角形的个数为( ).A.1 B.2 C.3 D.42.三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A.6 B.4.5 C.2.4 D.83.下列各组线段中的三个长度9、12、15；7、24、25；32、42、52；3a、4a、5a（a0）； m2-n2、2mn、m2+n2（m、n 为正整数，且 mn）其中可以构成直角三角形的有（ ）A、5 组； B、4 组； C、3 组； D、2 组4.在同一平面上把三边 BC=3，AC=4、AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后
9、得到ABC，则 CC的长等于（ ）12 13 5 24A、 ； B、 ； C、 ； D、5 5 6 55. 下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为 1:3:4 的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为 3:4:5 的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为 5:12:13 的三角形是直角三角形6（呼和浩特）如图，在单位正方形组成的网格图中标有 AB、CD、EF、GH 四条线段，其 中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD、EF、GH B. AB、EF、GHC. AB、CD、GH D. AB、CD、EF7.如图
10、4 所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形, 其中最大的正方形的边长为 7cm,则正方形 A,B,C,D 的面积的和C（第 6 题）BDA是_cm2.7cm8已知 2 条线段的长分别为 3cm 和 4cm，当第三条线段的长为_cm 时，这 3 条线段 能组成一个直角三角形9、在ABC 中，若其三条边的长度分别为 9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的长 方形的面积是_10. 传说,古埃及人曾用拉绳”的方法画直角,现有一根长 24 厘米的绳子,请你利用它拉出一 个周长为 24 厘米的直角三角形 , 那么你拉出的直角三角形三边的长度分别为 _ 厘 米,_厘米,_厘米,其中的
11、道理是_11小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请 问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方法吗？12.给出一组式子:32+42=52,82+62=102,152+82=172,242+102=2625 / 6(1) 你能发现上式中的规律吗?(2) 请你接着写出第五个式子. 13观察下列各式，你有什么发现？32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究 如果 132=b+c，则 b、c 的值可能是多少14如图，是一块由边长为 20cm 的正方形地砖铺设的广场，一只鸽
12、子落在点 A 处， 它想 先后吃到小朋友撒在 B、C 处的鸟食，则鸽子至少需要走多远的路程？ABC15如图， ABC 中，AB=AC=13，点 D 在 BC 上，AD=12，BD=5，试问 AD 平分BAC 吗？为什么？AB D C16如图，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB=3cm ，BC=12cm ， CD=13cm，AD=4cm，东东由此认为这个四边形中A 恰好是直角， 你认为东东的判断 正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什 么条件，才可以判断A 是直角？ADBC17. 在一棵树的 10 米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另 一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_米DBCA6 / 6