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1、2 22 2 22 22 2勾股定理1勾股定理(1) 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方(2) 勾股定理的表达式：如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可表示为：a 2b 2c 2.(3)勾股定理的变形：(已知两边，求第三边的方法)已知条件 未知条件 求解方法a、b c c2a2b2c a ba、 c b b c a b c aa、 c a a2c2b2a c b注意：勾股定理应用的前提条件必须是在直角三角形中，已知其中的任意两边的长，根 据勾股定理可求出第三边的长在求解时要先画图，标上已知量，如图，分清要求的边是直 角边还是斜边，然后再运
2、用勾股定理或其变形进行解答【例 1】在ABC 中，C90，A，B，C 的对边分别是 a，b，c. (1)若 a3，b4，则 c_；(2) 若 a6，c10，则 b_；(3) 若 c34 ，ab815，则 a_，b_；(4) 若 b5，B30，则 c_.2勾股定理的证明(1)方法：勾股定理的证明方法较多，仅选取一种加以说明如图所示网格图形中，每 一个小方格的边长为 1.根据图示填写表格，比较得出结论A 的面积 B 的面积 C 的面积图 1图 216 9 254 9 132 222 22 22 2(2)结论：两直角边上的正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积，即 S S S ；A B C勾股定理
3、：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和因为勾股定理既重要又简单，所以很容易吸引人，才使它成百次地被人反复 论证.1940 年出版过一本名为 毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了 367 种不同的证明方法实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有 500 余种【例 2】如图所示，在ABC 中，A90，P 是 AC 的中点，PDBC，D 为垂足， BC9，DC3，求 AB 的长3 运用勾股定理求边长(1) 勾股定理：如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么 a b c .(2) 意义：勾股定理是直角三角形特有的定理，反映了直角三角形三边之间 的数
4、量关系 (3)延伸：在直角三角形中，若两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a c b ；b c a ；c a b .在直角三角形中，知道其中任意两边，根据勾股定理就能求出第三边.运用勾股定理求边长，一定要注意弄清是求直角边还是斜边，注意是加还是 减【例 3】小林是开发区中学升旗队的一名旗手，在升旗时发现从旗杆 AB 的顶端 A 处垂 下的绳子比旗杆 AB 长 1 米，他拿着绳子的下端拉开至 C 处，绳子恰好完全伸直，测得点C 距旗杆底部 B 的距离是 5 米请问：能根据这些条件求出旗杆的高度吗？若能，请写出求 解过程；若不能，请说明理由4勾股定理在等腰三角形 中的应用等腰三角形两腰相等
5、；等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线相互重合，因此在等 腰三角形中，通过作高可以将等腰三角形分成两个直角三角形，特别是底边上的高，将等腰 三角形分解成两个全等的直角三角形在等腰三角形中，底、腰、高三者之间知道任意两者都能求第三者如图(1)、图(2)分 两种情况：情况一：图(1)中，在 AB(或 AC)，BC，AD 三个量中，已知两个量，根据勾股定理，可 以直接求第三个量；情况二：图(2)中，已知 AB，BD 求 BC，可以先求 AD，再求 DC，再求出 BC；已 知 AB，BC 求 BD，可借助于 BD2 相等，列方程求出 AD 或 DC，再求出 BD；已知 BC， BD，可以列方程求 A
6、B.作为等腰三角形中的特殊三角形“等边三角形”，它的任一条高都具备“三线合一”性 质，都能将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，并且这些直角三角形还是含30角的直 角三角形，因此，根据勾股定理，在边长、高、周长、面积四个量中，知道任何一个量都能 求出其他三个量【例 41】如图所示，在等腰ABC 中，AB13，BC10，则底边上的高 AD 的长是 ( )A11 B12 C13 D14【例 42】如图，ABC 和DCE 都是边长为 2 的等边三角形，点 B，C，E 在同一条 直线上，连接 BD，求 BD 的长5勾股定理在含 30角的直角三角形中的应用在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半
7、所以在含 30角的直角三角形中 只要知道一边，就可以求出任何一边的长如：根据勾股定理可知，若最短边为1,2,3， 那么斜边就是 2,4,6，另一直角边就是 3，2 3，3 3，即 60角所对的直角边和斜 边分别是最短直角边的 3倍和 2 倍因此知道任意一边，就可以通过乘以或除以它们之间 的倍数计算得出另两边已知 30角所对的直角边为 a，那么另一直角边为 3a，斜边为 2a；已知c 3斜边为 c，那么最短直角边为 ，较长直角边为 c.2 22 2 2 2 2 2【例 51】在ABC 中，C90，AB 10，A30，则 BC_，AC _.【例 52】等腰三角形一腰上的高为 1，这条高与底边夹角为
8、 60，则此三角形的面积 是_6列方程在勾股定理中的应用在勾股定理的应用中，有时并不是已知两边求第三边，而很多时候只是告诉了两边之间 的关系，因此常常需要列方程解决方法：一般是设其中一边为 x，用含未知数 x 的式子表示另一边，根据勾股定理构建方 程，通过解方程，解决问题如：在锐角ABC 中，AB15，AC13，BC14，ADBC，垂足为 D，计算 DA 的长度我们可以通过设 DBx，那么 CD14x，根据勾股定理，在 ABD 和 ADC 中， 分别用含 x 的式子表示出 AD 15 x 和 AD 13 (14x) ，从而构造方程，通过解方程 求出 x，即 DB，然后再求 AD 的长度【例 6
9、1】在 ABC 中，C90，已知 ab34，c10，则ABC 的面积为( ) A24 B12 C28 D30【例 62】矩形 ABCD 按如图所示折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB8， BC10，求折痕 AE 的长7勾股定理与面积法面积法是解决几何问题常用的一种方法，它巧妙地利用同一图形的面积的不同求法，通 过计算的方式求线段的长度，或用来证明线段之间的数量关系，有时它比运用线段之间的等 量关系证明、计算更简捷、更巧妙，因而在特定条件下能出奇制胜，是一种很好的解题方法因为直角三角形的面积等于两直角边积的一半，也等于斜边乘以斜边上的高的一半，所 以根据勾股定理求边长，再运用
10、面积法求线段的长是这部分内容中常用的方法如图所示，在 ABC 中，AC12，BC5，求 AB 边上的高 CD.1 1可根据勾股定理求出 AB13，再根据面积相等得到 ABCD ACBC，即 13CD2 260125，得 CD .13因为直角三角形三边关系的特殊性，所以面积法通常用于直角三角形中求斜 边上的高【例 71】直角三角形两直角边长分别为 8 和 15，则这个直角三角形斜边上的高为 ( )120A8 B15 C17 D17【例 72】如图所示，CD 是 ABC 斜边 AB 上的高，若 AB10，ACBC31， 则 CD 的长为( )A3 10 B3 C 10 D68利用勾股定理解决与三角形相关的实际问题勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点转化为 三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范利用勾股定理，可以解决直角三角形的 有关计算和证明问题，还可以解决生产生活中的一些实际问题在解决问题的过程中，往往 利用勾股定理列方程(组)在有些问题中，必须构造直角三角形，建立勾股定理模型来解决勾股定理使用的前提条件是三角形是直角三角形，对一般三角形一定不能使 用【例 8】如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面 5 米处折断，树尖 B 恰好碰到地面，经测量 AB12 米，则树高为( )A13 米C18 米B17 米D22 米