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1、七年级数学竞赛 第十五讲 奇数与偶数通常我们所说的“单数”、“双数”，也就是奇数和偶数，即1， 3，5，是奇数，0，2，4，6，是偶数用整除的术语来说就是：能被 2 整除的整数是偶数，不能被 2 整除的 整数是奇数通常奇数可以表示为 2k+1(或 2k-1)的形式，其中 k 为整数， 偶数可以表示为 2k 的形式，其中 k 是整数奇数和偶数有以下基本性质：性质 1 奇数偶数性质 2 奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=奇数性质 3 奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数偶数=偶数性质 4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限 个偶数之和为偶数性质 5 若干个奇数的乘积是奇数
2、，偶数与整数的乘积是偶数性质 6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇 数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数性质 7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性 相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶性质 8 两个整数的和与差的奇偶性相同性质 9 奇数的平方除以 8 余 1，偶数的平方是 4 的倍数.性质 1 至性质 6 的证明是很容易的，下面我们给出性质 7 至性质 9 的证明性质 7 的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶， 那么由性质 2 知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数同理两个
3、整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶 性质 8 的证明 设两个整数为 X，y因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质 7 便知，x+y 与 x-y 同奇偶性质 9 的证明 若 x 是奇数，设 x=2k+1，其中 k 为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+11因为 k 与 k+1 是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘 积是偶数于是，x2 除以 8 余 1若 y 是偶数，设 y=2t，其中 t 为整数，于是y2=(2t)2=4t2所以，y2是 4 的倍数例 1 在 1，2，3，1998 中的每一个数的前面，任意添上一个“+” 或“-”，那
4、么最后运算的结果是奇数还是偶数？解 由性质 8 知，这最后运算所得的奇偶性同1+2+3+1998=9991999的奇偶性是相同的，即为奇数例 2 设 1，2，3，9 的任一排列为 a ，a ，a .求证：(a -1)(a -2)1 2 9 1 2(a -9)是一个偶数9证法 1 因为(a -1)+(a -2)+(a -3)+(a -9)1 2 3 9(a +a +a )-(1+2+9)1 2 9=0是偶数，所以，(a -1)，(a -2)，(a -9)这 9 个数中必定有一个是1 2 9偶数(否则，便得奇数个(9 个)奇数的和为偶数，与性质 4 矛盾)，从而由 性质 5 知(a -1)(a -
5、2)(a -9)1 2 9是偶数证法 2 由于 1，2，9 中只有 4 个偶数，所以 a ，a ，a ，a ，a1 3 5 7 9中至少有一个是奇数，于是，a -1，a -3，a -5，a -7，a -9 至少有一个是偶1 3 5 7 9数，从而(a -1)(a -2)(a -9)是偶数1 2 9例 3 有 n 个数 x ，x ，x ，它们中的每一个数或者为 1，或者为-1如果1 2nx x +x x +x x +x x =0，1223n-1nn1求证：n 是 4 的倍数证 我们先证明 n=2k 为偶数，再证 k 也是偶数2由于 x ，x ，x 。的绝对值都是 1，所以，x x ，x x ，x
6、 x 的1 2 n 1 2 2 3 n 1 绝对值也都是 1，即它们或者为+1，或者为-1设其中有 k 个-1，由于总 和为 0，故+1 也有 k 个，从而 n=2k下面我们来考虑(x x )(x x )(x x )一方面，有(x x )(x x )(x x )(-1)k，1 22 3n 11 22 3n 1另一方面，有(x x )(x x )(x x )=(x x x ) =11223n112n2所以(-1)k=1，故 k 是偶数，从而 n 是 4 的倍数例 4 设 a，b 是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789求证：a-b 是 4 的倍数证 由已知条
7、件可得 11111+a 与 11111-b 均为奇数，所以 a，b 均为偶 数又由已知条件11111(a-b)=ab+2468，ab 是 4 的倍数，2468=4617 也是 4 的倍数，所以 11111(a-b)是 4 的倍数，故 a-b 是 4 的倍数.例 5 某次数学竞赛，共有 40 道选择题，规定答对一题得 5 分，不答 得 1 分，答错倒扣 1 分证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和 一定是偶数证 我们证明每一个学生的得分都是偶数设某个学生答对了 a 道题，答错了 b 道题，那么还有 40-a-b 道题没 有答于是此人的得分是5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，这是一
8、个偶数所以，不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数例 6 证明 15 块 41 的矩形骨牌和 1 块 22 的正方形骨牌不能盖住 88 的正方形.证 将 88 正方形的小方格用黑、白色涂色(如图 162)每一块 4 1 骨牌不论怎么铺设都恰好盖住两个白格，因此 15 块 41 的骨牌能盖 住偶数个白格一块 22 的骨牌只能盖住一个白格或三个白格，总之能 盖住奇数个白格于是 15 块 41 骨牌和一块 22 骨牌在图上盖住的白 格是奇数个事实上图上的白格数恰为偶数个，故不能盖住 88 的正方 形3练习十五1设有 101 个自然数，记为 a ，a ，a 01已知 a +2a +3a +1
9、2 1 1 2 3+100a +101a =s 是偶数，求证：a +a +a +a +a 是偶数10010113591012设 x ，x ，x 都是+1 或者-1求证：1 2 1998x +2x +3x +1998x 012319983设 x ，x ，x (n4)为 1 或-1，并且1 2 nx x x x +x x x x +x x x x =012342345n123求证：n 是 4 的倍数4(1)任意重排某一自然数的所有数字，求证：所得数与原数之和不 等于 999(共 n 个 9，n 是奇数)；(2)重排某一数的所有数字，并把所得数与原数相加，求证：如果这 个和等于 10 0，那么原数能被 10 整除15(1)有 n 个整数，其和为零，其积为 n求证：n 是 4 的倍数；(2)设 n 是 4 的倍数，求证：可以找到 n 个整数，其积为 n，其和为 零6 7 个杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻转 4 个杯子(杯口朝下的翻 为杯口朝上，杯口朝上的翻为杯口朝下)，问经过若干次这样的翻动，是 否能把全部杯子翻成杯口朝上？7 能否把 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5 这 10 个数排成一行，使 得两个 1 中间夹着 1 个数，两个 2 之间夹着 2 个数，两个 5 之间夹着 5 个数？4