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1、梦想从这里起飞学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第_25_讲，本讲课题：完全平方数内容概要一个自然数自乘所得的积称为完全平方数,100 以内的完全平方数(又称平方数)是 0、1、2 2=4、33=9、44=16、55=25、66=36、77=49、88=64、99=81 共 10 个,平方数 有一些特别的性质,可以解决一些有趣的问题:少年宫游戏厅内悬挂着 200 个彩色灯泡,这些灯 泡或明或暗,闪烁不停.这 200 个灯泡按 1200 编号,它们每过 1 秒变化一下自己的明暗状态. 开始时,全部灯泡是暗的第 1 秒,全部灯泡是亮着的;第 2 秒,凡编号为 2 的倍数的灯泡改变
2、自己的明暗状态,即变暗;第 3 秒,凡编号为 3 的倍数的灯泡改变自己的明暗状态:明的变暗,暗的变明依次类推, 第 n 秒钟,凡编号为 n 的倍数的灯泡改变原来的明暗状态.每 200 秒钟为一周期.即到 201 秒时, 全部灯泡大放光明,然后继续上述规则改变原来的状态.问:第 200 秒时,明亮的灯泡有多少事实上,每个灯泡如果明暗改变次数为偶数次时 ,它还保持原来的明暗状态 ;如果变化次数 为奇数次时 ,则明暗状态发生改变 ,原来明亮的灯泡将变暗 , 原来不亮的灯泡将变明亮 . 由于平 方数的不同约数个数为奇数,从第 2 秒开始(此时,偶数编号灯泡变暗,奇数编号灯泡是亮的)起 到 200 秒止
3、,中间的平方数有 4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196,在 这些秒时,同样编号的灯泡由暗变明,加上 1 号灯泡始终是亮的,共 14 个灯泡是亮的.下面举例 来讨论平方数的一些问题。【例 1】在 1-2016 的自然数中,完全平方数共 有（ ）个随堂练习 1在 324、897、211、247、546 中,哪些数 是完全平方数。1【例 2】46035 乘以一个自然数 a,是一个平方 数,a 最小是多少?随堂练习 2203500 乘一个自然数 a，是一个平方数，a 最 小是多少？梦想从这里起飞【例 4】请找出符合下列性质的所有四位数: (1)它是一个平方
4、数；(2) 开始两位数的数字要相同;(3) 最末两位数的数字要相同随堂练习 3自然数 N 是一个两位数,它是一个完全平方 数,而且 N 的个位数字与十位数字都是完全平 方数，这样的自然数是（ ）【例 3】下面是一个算式1+12+123+1234+12 3 45+123456. 这个算式的得数能 否是某个数的平方?【例 5】有一些自然数(0 除外)既是平方数, 又是立方数 ( 注 : 平方数可以写成两个相同的 自然数的乘积 , 立方数可以写成三个相同的 自然数的乘积 ). 如:1=11=111,64=8 8=444, 那么 1000 以内的自然数中,这样 的数有（ ）个2【例 6】下式中每个汉字
5、表示 19 中的一个 数字,不同的汉字代表不同的数字.已知梦想从这里起飞2、把一个两位数的个位数字与其十位数字交 换后得到一个新数，它与原来数加起来的和热2+ 爱2+ 小2= 学2+ 奥2+ 数2那么,请写恰好是某个自然数的平方，这个和是（ ）出符合上述条件的一个等式:3、哥哥对弟弟说:“到 21 世纪的 x2年,我恰好是 x 岁,”哥哥生于（ ）年。随堂练习 4 12345654321 是平方数吗?4、在自然数中,恰好有 3 个因数的两位数共 有（ ）个。5 、祖孙三人 , 孙子年龄与爷爷年龄之积是 1512,而爷爷、父亲、孙子三人年龄之积是完 全平方数,则父亲年龄是（ ）岁。练习题一、填空
6、题1、一个两位数等于它个位数字的平方与十位数字之和,这个两位数是6、(12+22+32+20142)除以 7 的余数是( )3梦想从这里起飞7、22015与 20152 的和除以 7 的余数是（ ） 12、1234567654321(1+2+3+5+6+7+6+5+4+3+2+1)等于（ ）8、在 2024 到 2499 之间有多少个平方数？13、请说明从 1 开始的连续 n 个奇数的和是 平方数。9、有多少个小于 2008 的数,使得它们与 72 相乘均为完全平方数.10、能不能找到自然数 n,使 n、n+97 都是完 全平方数。11、n 是一个正整数,如果 nn 的十位数字是 7,那么,nn 的个位数字是（ ）4