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1、m +1 m +1m +1 m +1不等式(3)-含参不等式的解法当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方 面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的 解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式 的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容。（一）几类常见的含参数不等式一、含参数的一元二次不等式的解法：例 1：解关于的 x 不等式( m +1) x2-4 x +1 0( m R )分析：当 m+1=0 时,它
2、是一个关于 x 的一元一次不等式；当 m+1 1 时，还需对 m+10 及 m+10 来分类 讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当 m0，图象开口向下， 与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当1m0, 图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当 m=3 时，=4（3m）=0，图象开口向上，与 x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程4 x 2 -4 x +1 =0的根。当 m3 时，=4（3m）0,图象开口向上全部在 x轴的上方，不等式的解集为。解：当 m =-1时, 原不等式的解集为x | x 14;当m -1时，(m+1) x2-4 x +1 =0
3、的判别式D（43m ); 2 - 3 -m 2 + 3 -m 则当m -1时，原不等式的解集为x | x 或x 2 - 3 -m 2 + 3 -m 当 -1 m 3 时, 原不等式的解集为 。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。 利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值（如 取 0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于 x 的不等式ax2-2( a +1) x +4 0, ( a 0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完 成。二、
4、含参数的分式不等式的解法：例 2：解关于 x 的不等式ax -1 x 2 -x -20分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对 ax1 中的 a 进行分类讨论求解，还需用到序 轴标根法。解：原不等式等价于( ax -1)( x -2)( x +1) 0当a=0 时，原不等式等价于( x -2)( x +1) 0解得-1 x 2，此时原不等式得解集为x|-1 x 0 时, 原不等式等价于( x -1a)( x -2)( x +1) 0,则：当 a = 时, 原不等式的解集为 2x|x -1且x 2；当 0a 或 -1 x 时, 原不等式的解集为 x | -1 x 2 ； 2 a 当a0
5、 时, 原不等式等价于( x -1a)( x -2)( x +1) 0，则当a =-1时, 原不等式的解集为x|x 2且x -1；当-1 a 0时, 原不等式的解集为 1 x | x 或 -1 x 2 a ；当a -1时, 原不等式的解集为 1 x | x -1或 x 1, ( a 1)思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a分两级讨论：先按a1 和a1 分为两类，再在a1的情况下，又要按两根a -2a -1与 2 的大小关系分为a 0, a =0和0 a 0, b 0)分 析 ： 解 绝 对 值 不 等 式 的 思 路 是 去 掉 绝 对 值 符 号 ， 本 题 要 用 到 同 解
6、变 形| f ( x ) |g ( x) f ( x ) -g( x)或f ( x) g ( x)，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a、b两个参数间的大小关系分类讨论求解。解：| ax -2 |bx ax -2 -bx或ax -2 bx ( a +b ) x 2或( a -b ) x 2当a b 0时，( a +b ) x 2或( a -b ) x 2 x 2 2或x a +b a -b此时原不等式的解集为x | x 2 2或x a +b a -b；当a =b 0时，由 ( a +b ) x 2得x 2a +b, 而( a -b ) x 2无解 ，此时原不等式的解集为 ； a
7、+b 第2页（共4页） 2 x | x 2 x | x x当0 a b 0时，原不等式的解集为x | x 2 2或x a +b a -b；当b a 0时，原不等式的解集为 。 a +b 小结：去掉绝对值符号的方法有定义法：| a |=a ( a 0)-a( a 0)平方法： | f ( x) |g ( x ) |f 2 ( x ) g 2 ( x)利用同解变形：| x |a -ax 0);| x |a x a,(a 0);| f ( x ) |g ( x) -g( x ) f ( x ) g ( x ); | f ( x ) |g ( x) f ( x) -g( x )或f ( x ) g (
8、 x)（二）解含参数不等式的常用方法一、通过讨论解带参数不等式；例 1：x2-x -a ( a -1) 0例 2:关于 x 的不等式ax 2 +( a -1) x +a -1 0恒成立。思考：对于（0，3）上的一切实数 x,不等式 (x-2)m2x-1恒成立，求实数 m 的取值范围。如何求解？分离参数法适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。四、主参换位法解带参数不等式f (x)某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数 的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出 奇制胜的效
9、果。一般情况下,如果给出参数的范围,则可以把参数看作主变量,进行研究。例 7：若对于任意 a(-1,1，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于 0，求 x 的取值范围。分析：此题若把它看成 x 的二次函数，由于 a, x 都要变，则函数的最小值很难求出，思路 受阻。若视 a 为主元，则给解题带来转机。例 8：已知-9 a 1,关于x的不等式:ax2-5 x +4 2 log x + p 恒成立，求实数 x 的取值范围。2 2 2例 10： 对于（0，3）上的一切实数 x,不等式 x -2 m 2 x -1恒成立，求实数 m 的取值范围。 分析： 一般的思路是求 x 的表达式，利用条件求 m 的取值范围。但求 x 的表达式时，两边必须除以有关 m 的式子，涉及对 m 讨论，显得麻烦。五、数形结合法例 11：若不等式3 x 2 -log x 0a在 1 x 0, 内恒成立，求实数 a 的取值范围。 3 六、构建函数、猜想、归纳、证明等其他方法第4页（共4页）