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1、导数中的端点效应法探究 1已知函数 f ( x ) =( x +1)ln x -a ( x -1).（I）当 a =4 时，求曲线 y = f ( x )在(1,f (1)处的切线方程；(II)若当x (1,+)时， f ( x )0，求a的取值范围.探究 2已知 R，函数 f (x)exex(xlnxx1)的导函数为 g(x) （1）求曲线 yf (x)在 x1 处的切线方程；（2） 若函数 g (x)存在极值，求 的取值范围；（3） 若 x1 时，f (x)0 恒成立，求 的最大值1探究 3已知函数f ( x) =( x +1)ln x -ax +a（a为正实数，且为常数）.（1）若函数f
2、 ( x)在区间 (0, +)上单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）若不等式( x -1) f ( x) 0恒成立，求实数a的取值范围.2答案【探究 1】试题分析：（）先求定义域，再求 f (x)， f (1)， f (1)，由直线方程得点斜式可求曲线y = f ( x ) 在 (1, f (1) 处 的 切 线 方 程 为2x +y -2 =0.（ ） 构 造 新 函 数g ( x ) =ln x -a ( x -1) x +1，对实数 a 分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I） f ( x)的定义域为(0, +).当a =4时，f ( x ) =( x +1)ln x -4( x -
3、1), f (x) =ln x +2x +y -2 =0.在 (1, f (1)处的切线方程为1x-3 ， f (1) =-2, f (1) =0.曲线 y = f ( x)（II）当 x (1,+)时， f ( x ) 0等价于 ln x -a ( x -1) x +10.令g ( x ) =ln x -a ( x -1) x +1，则g1 2 a x 2 +2(1 -a ) x +1 (x) = - =x ( x +1)2 x( x +1)2, g (1) =0，（i）当 a 2 ， x (1,+)时， x2 +2(1 -a ) x +1 x 2-2 x +1 0 ，故 g(x) 0, g
4、 ( x )在x (1,+)上单调递增，因此 g ( x ) 0；（ii）当 a 2 时，令 g (x) =0得x =a -1- ( a -1)2 -1, x =a -1+ ( a -1)2 -1 1 2，由x 1 和 x x =1 得 x 1 ，故当 x (1, x ) 时，g (x) 0 ， g ( x ) 在 x (1, x ) 2 1 2 1 2 2单调递减，因此 g ( x) 0.综上，a的取值范围是(-,2 .考点：导数的几何意义，函数的单调性.【探究 2】解：（1）因为 f(x)exelnx，所以曲线 yf (x)在 x1 处的切线的斜率为 f(1)0，又切点为(1，f (1)，
5、即(1，0)，所以切线方程为 y0 2 分3e00（2）g (x)exelnx，g(x)ex x当 0 时，g(x)0 恒成立，从而 g (x)在(0，)上单调递增，故此时 g (x)无极值 4 分 当 0 时，设 h(x)ex ，则 h(x)ex 0 恒成立，x x2所以 h(x)在(0，)上单调递增 6 分 当 0e 时， h(1)e0，h( )e e e0，且 h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的 x ( ，1)，使得 h(x )0e当 e 时，h(1)e0，h()e10，且 h(x)是(0，)上的连续函数，因此存在唯一的 x 1，)，使得 h(x )00 0故当 0 时，存在
6、唯一的 x 0，使得 h(x )0 8 分0 0且当 0xx 时，h(x)0，即 g(x)0，当 xx 时，h(x)0，即 g(x)0，0 0所以 g (x)在(0，x )上单调递减，在(x ，)上单调递增，0 0因此 g (x)在 xx 处有极小值0所以当函数 g (x)存在极值时， 的取值范围是(0，) 10 分（3）g (x)f(x)exelnx，g(x)ex x若 g(x)0 恒成立，则有 xex 恒成立设 (x)xex(x1)，则 (x)(x1) ex0 恒成立，所以 (x)单调递增，从而 (x)(1)e，即 e于是当 e 时，g (x)在1，)上单调递增，此时 g (x)g (1)
7、0，即 f(x)0，从而 f (x)在1，)上单调递增所以 f (x)f (1)0 恒成立 13 分当 e 时，由（2）知，存在 x (1，)，使得 g (x)在(0，x )上单调递减，0 0即 f(x)在(0，x )上单调递减0所以当 1xx 时，f(x)f(1)0，0于是 f (x)在1，x )上单调递减，所以 f (x )f (1)00 0这与 x1 时，f (x)0 恒成立矛盾4因此 e，即 的最大值为 e 16 分【探究 3】：（1） f ( x) =( x +1)ln x -ax +a ， f(x) =ln x +x +1x-a . 1 分因 f ( x) 在 (0, +)上单调递
8、增，则 f (x) 0 ， a ln x +1x+1 恒成立.令 g( x ) =ln x +1x+1 ，则 gx -1(x) = ， 2 分x2x g(x)(0,1) 1 (1,+) 0 分因此， gg ( x )减极小值( x ) =g (1) =2 ，即 0 a 2 . min增6 分（2）当 0 a 2 时，由（1）知，当 x (0, +)时， f ( x ) 单调递增. 7 分又 f (1) =0 ，当 x (0,1) ， f ( x ) 0 . 9 分故不等式 ( x -1) f ( x ) 0 恒成立 10 分若 a 2 ， f(x) =x ln x +(1 -a ) x +1x，设 p( x) =x ln x +(1 -a ) x +1 ，令 p(x) =ln x +2 -a =0 ，则 x =ea -21 . 12 分当 x (1,ea -2) 时， p(x) 0 ， p ( x ) 单调递减，则 p ( x ) p (1) =2 -a 0 ，则 f(x) =p ( x)x0 ，所以当 x (1,ea -2) 时， f ( x ) 单调递减， 14 分则当 x (1,ea -2因此， 0 a 2 .) 时， f ( x ) f (1) =0 ，此时 ( x -1) f ( x ) 0，矛盾. 15 分16 分5