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1、2( )+bx +c 的图象开口向上，函数 y =ax一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题(一)一元二次方程的一般形式：ax2+bx +c =0 (a0)其中a , b, c为常数，x为未知数。根的判别式：D=b 2 -4 ac一元二次方程根的个数与根的判别式的关系：D0时，方程有两个不相等的实根。 x1,2=-b b2 2 a-4 ac（二）二次函数的一般形式：形如y =ax2 b 4 ac -b+bx +c a 0 =y =a x + + 2 a 4 a2其中a , b, c为常数， x 为自变量。顶点坐标为Pb 4 ac -b - ,2a 4 a2 b，其中直线 x =-
2、 为2 a对称轴，1、（1）a 0 时，函数 y =ax2 2+bx +c 在 x =-b2a取到最小值，即ymin=4ac -b4a2，对任意x R, y 4 ac -b4 a2.2、二次函数y =ax 2 +bx +c (a0)与x轴交点个数的判断：D0时，函数y =ax 2 +bx +c (a0)与x轴有两个交点。3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a的正负）、对称轴、D.（三）一元二次不等式的概念：形如ax2+bx +c 0 (a0)其中连接ax2+bx +c 与 0 的不等号可以是，或.2 a2 2+5 x -3 =0 （2） x（四）三个两次之间的关系一元二次方程、一元
3、二次不等式、二次函数D0D=0D0)x1x2图 象x x1= 2ax2+bx +c =0 (a0)根x =x 或x =x 12x =x =- 1 2b2a无 解ax 2 +bx +c 0 (a0)解集x x x 1 2 b x x - Rax 2 +bx +c 0)解集x x x x 1 2 基本步骤：化正-计算 【典型例题】D-求根-写解集（大于取两边，小于取中间）【类型一】一元二次方程ax2+bx +c =0 (a0)的解法【方法一】求根公式法步骤：计算D；若D0时，将ac分解为两个约数之和为b；当ac 0时，将 ac分解为两个约数之差为b或-b.【例 2】求解下列方程（1）x2-6 x
4、+8 =0（2）x2-2 x -15 =0【练习】解下列方程（1）x 2 -8 x =20（2）2 x 2 +5 x +2 =0【类型二】二次函数最值的求法 【方法一】公式法a 0时，函数y =ax 2 +bx +c在x =-b2 a取到最小值，即y =min4ac -b4a2，对任意x R, y 4 ac -b4 a2.【方法二】配方法y =ax2+bx +c =a b b b b x + x +c=a x +2 x+ +c- a 2 a 2a 2a 2 b 4ac -b =a x + + 2 a 4a2【例 3】求下列函数的最值（1）y =-x2-4 x +8（2）y =2 x2-3 x
5、+5【类型三】一元二次不等式的解法()()()()【例 4】解下列不等式（1）3x2-7 x +2 0； （2）-6 x2-x +2 0【练习】（1）不等式4 x 2 +1 7的解集是 .（3）不等式x(9-x)0的解集是 .【类型四】分式不等式的解法解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：（有分母就要考虑分母不等于零， 有根式就考虑大于等于零）f ( x) f ( x ) 0 f x g x 0,g ( x) g ( x )0 f (x)g(x)0且g(x)0,f ( x) f ( x ) 0 f x g x 0,g ( x) g ( x ) 【例 5】解下列不等式0 f (x)
6、g(x)0且g(x)0,（1）1x0；（3）x -1x2； （4）1 39 -x 2 -x01.解下列方程（1）x2+6 x =-8（2）5x2+11x +2 =0（3）3x2-7 x +2 =0（4）x2-x -6 =02.不等式3x 2 -16 x +16 0的解集是.3.不等式1 -2 xx -11的解集是.4.不等式-x2+5 x -7 0的解集是.5.不等式4 x 2 +4 x +1 0的解集是.6.解下列不等式或方程（1）2 x2-x -15 =0； （2）6 x2+6 x +1 =0；（3）-3 x2-2 x +8 0； （4）x2-4 x +5 0；（5）xx -13； （6）2x5；7. 已知集合A = x x2 -6 x -16 0 ，集合 B = y y =-2x2+4 x +11 ，则下列式子中正确的是A. A =B B. B A C. A B D. A（ ）B