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1、人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言四点共圆是一种重要的解题方法，熟练判断四点共圆，并灵活运用圆的相关性质，能有效进 行解题.1.对角互补的四边形四点共圆证线段线段例 1 如图 1，在四边形 ABCD 中，A=BCD=90，BC=CD=2 求证：AE=CE； （2）若 tanD=3，求 AB 的长 （2018 年北京石景山区模拟题）10， CE AD 于点 E 分析：根据A=BCD=90，利用对角互补的四边形共圆，作出这个圆，从而把问题转化为 圆的知识，在圆的背景下求解，可以帮助同学们更容易找到求解思路.解：如图 1，因为A+BCD=180,
2、所以四边形 ABCD 四点共圆，延长 CE 交圆于点 F，连接 AF， 因为A=AEC=90，所以 ABCF，所以 BC=AF,因为 BC=CD，所以 AF=CD，因为EAF=ECD， F=D， 所以AEFCED，所以 AE=CE.（2）略点评：对角互补的四边形内接于圆，借助四点共圆，可以创造出更多解题所必需的条件，如 夹在两平行弦之间的弦相等，为三角形的全等提供“S”元素.2.对角互补的四边形四点共圆综合题例 2 如图 2，四边形 ABCD 中，AC，BD 是它的对角线，ADC=ABC=90，BCD 是锐角.（1）若 BD=BC，求证：sinBCD=BDAC；（2）若 AB=BC=4,AD+
3、CD=6，求：BDAC的值.（3）若 BD=CD，,AB=6，BC=8。求：sinBCD 的值.分析：根据ADC=ABC=90，可以判定四边形 ABCD 是满足四点共圆，且直径为 AC，作出 直径为 AC 的圆，就把普通的计算转化为圆的基本计算，充分利用圆的知识使得计算更加简 便，提高计算的效率.解：（1）因为ADC=ABC=90，所以四点 A,B,C,D 都在直径为 AC 的圆上，如图 2，因为 BD=BC，所以BCD=BDC，因为BAC=BDC，所以BAC=BCD，在直角三角形 ABC 中，BC BDsinBAC=，所以 sinBCD= ； AC AC（2）如图 3，因为 AB=BC=4，
4、所以 AC=42，延长 DC 到点 E，使得 CE=AD，连接 BE，根据四边形的外角等于内对角，所以BCE=BAD，所以BADBCE 所以 BD=BE， ABD=CBE，因为ABC=90，AD+CD=6，所以DBE=90，DE=6，所以 BD=3 2 ，1 / 42人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言所以BD 3 2 3= =AC 4 2 4.（3）如图 4，因为 BD=CD，作直径 DF，交 BC 于点 E，连接 BF，则 BEDF，DBF=90，BE=EC=4, 因为 AB=6，BC=8，所以 AC=DF=10，易证DEB BEF 所以 BE =DE EF,所以 16=（10-E
5、F）EF,整理，得EF2-10EF+16=0,解得 EF=2 或 EF=8(（舍去），当 EF=2 时，BF=25,所以 sinBCD=sinF=BE 4 2 5= = .BF 2 5 5点评：把一般几何问题转化为四点共圆问题，充分利用圆周角定理，垂径定理，把问题顺利 求解，且思路顺畅，是值得熟练掌握的好方法.3.圆定义共圆和同底同侧等角的三角形，四顶点共圆，探究综合题例 3 如图 5，ABC 和ADE 都是等边三角形， ADE 绕点 A 旋转（保持点 D 在ABC 的内部），连接 BD，CE.（1） 求证：BD=CE；（2） 当 AB=4,AD=2, DEC=60时，求 BD 的长；（3）
6、设射线 BD 和射线 CE 相交于点 Q，连接 QA，直接写出旋转过程中，QD,QE,QA 之间的数 量关系.分析：第一问：这是常规性的旋转问题，只要牢牢抓住旋转的全等性，借助三角形的全等结论就顺 利得出.第二问：解决起来就需要多方面的思考：一是平行线的判定问题，二是三点共线问题，三是 三点共圆问题，四是三角形的相似问题，五是一元二次方程的根的问题，都需要缜密思考， 规范解答，和谐思考才能顺利得解.第三问：看似简单，但是要真正找到三者的数量关系，还需要动一番脑筋，特别是利用同底 同侧对等角的三角形，则四点共圆，把问题转化成圆的相关知识解决，使得解题流畅，简洁， 这里的分类思想也发挥着重要的作用
7、.解：（1）如图 5，由ABC 和ADE 都是等边三角形，所以 AB=AC,AD=AE，BAD+DAC=60, CAE+DAC=60,所以BAD=CAE，所以BADCAE2 / 4人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言所以 BD=CE；（2）根据（1）知道：BDA=CEA， 因为DEC=60，所以CEA=BDA=120，所以 ADE+BDA=180，所以 B,D,E 三点共线，设点 G 是 AB 的中点，则 AG=AD=AE=DE=2,所以点 G,D,E 在以 A 为圆心，半径为 2 的圆上，延长 GA 交圆于点 F，连接 DG,EF，如图 6，易证BGDBEF 所以BG BD=BE B
8、F,所以 BG BF =BD BE,所以 12=BD(BD+2),整理，得BD 2+2BD-12=0,解得 BD=-1+13或 BD=-1-13(（舍去），所以BD 的长为13-1；（3）当点 D 在三点 B,D,E 共线时的左边时，如图 7，QD,QE,QA 之间的数量关系是： QD=QA+QE.理由如下：根据（1）知道：ABD=ACE，所以QBC+QCB=60-ABD +60+ACE=120，所以BQC=60，因为DAE=60，所以BQC=DAE，所以 A,D,E,Q 四点共圆，延长 AQ 到点 F，使得 QF=QE,连接 EF，则FQE=ADE=60，所以QEF 是等边三角形，所以DQE
9、=AFE=60，FAE=QDE,EF=QE，所以FAEQDE 所以 AF=QD，所以 QD=QA+QF=QA+QE.当点 D 在三点 B,D,E 共线时的右边时，如图 8，QD,QE,QA 之间的数量关系是： QA=QD+QE.请同学们仿照上述证明，结合图形自己给出证明.点评：四点共圆是一种非常有效的解题方法，希望同学们能尽量熟练掌握，不仅能开阔自己的视野，提高解题的效率，更重要的是丰富自己的知识储备，不受知识的局限，让自己的数3 / 4人教版数学九年级上册 四点共圆，解题妙不可言学解题游刃有余，提高自己数学解题能力.4.同底同侧等角的三角形，四顶点共圆，判定四边形的形状例 4 如图 9，已知
10、ABC 和ADE 都是等边三角形，点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AD 的右侧， 连接 CE（1） 求证：ACE=60；（2） 在边 AB 上取一点 F，使 BF=BD，联结 DF、EF求证：四边形 CDFE 是等腰梯形 分析：第一问：充分利用三角形的全等，结论就顺利得到.第二问：证明抓住两个关键点，一是证明 DF=CE,二是证明 CDEF，利用好等边三角形的性 质，四点共圆的判定方法，可以巧妙破解.解：（1）由ABC 和ADE 都是等边三角形，所以 AB=AC,AD=AE，BAD+DAC=60, CAE+DAC=60,所以BAD=CAE，所以BADCAE所以ABD=ACE=60；（2）由 BF=BD，ABD=60，所以BFD 是等边三角形，所以 BD=DF=CE.因为ADE=ACE=60，所以 A,D,C,E 四点共圆，因为AFD+AED=180，所以点 A,F,D,E 四点共圆，所以点 A,F,D,C,E 五点共圆，所以 AFE=ADE=60，所以AFE=B，所以 CDEF，所以四边形 CDFE 是等腰梯形点评：此题也可以用其他方法求解，感兴趣的同学可以自我尝试一下.4 / 4