《几何体中截面问题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《几何体中截面问题.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、CD1A1AE几何体中的的截面问题1定义及相关要素用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面此平面与几 何体表面的交集(交线)叫做截线此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点 2作多面体的截面方法 (交线法 )：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表 面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面题型一、截面的形状1P、Q、R 三点分别在直四棱柱 AC 的棱 BB 、CC 和 DD 上，试画出过 P、Q、R 三1 1 1 1点的截面 1B1 QRPDCAB1 解答：(1)连接 QP、 QR 并延长，分别交 CB、 CD 的延长线于 E、F. (2)连接 EF 交 AB
2、于 ，交 AD 于 S 1D1B1C1Q(3)连接 RS、TP。则多边形 PQRST 即为所求截面。RFSDPCATB2已知 P、Q、R 分别是四棱柱 ABCDA B C D 的棱 CD、DD 和 AA 上的点，且 QR1 1 1 1 1 1与 AD 不平行，求作过这三点的截面A1D1QC1RADB1PCA1QD1C1B2 解答： (1)连接 QP 并延长交 DA 延长线于点 I。RDB1(2)在平面 ABCD 内连接 PI 交 AB 于点 M。 (3)连接 QP、RM。则四边形 PQRM 即为所求。IAMBPC注：若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面 的截线
3、。2 若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。3 若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。3一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是AB C D.1 13 答案：D解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的 内接正方形，故选 D。题型二、截面面积、长度等计算4过正方体ABCD -A B C D 的对角线 BD 的截面面积为 S，S 和 S 分别为 S 的最大1 1 1 1 1 max minS值和最小值，则 m ax 的值为 ( )Sm inA32B62C2 33D2 634 答案：C
4、解析：设 M、N 分别为 AA 、CC 的中点.易证截面 BMD N 是边长为152的菱形(正方体棱长设为 1),其面积 S(min)=62. 而截面 BB D D 是矩形,其面积 S(max)=1 125. 如图，已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 的内切1 1 1 1球，则平面 ACD 截球 O 的截面面积为 15 答案：解析：平面 ACD 是边长为1的正三角形，且球与以点 D 为公共点的三个面的切点恰为三角形 ACD 三边的中点，故所求截面的面1积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得 ACD 内切圆的半1径是tan30=，则所求的截面圆的面积是 =6已知球的半径为
5、 2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆若两圆的公共弦长为 2 ，则两圆的圆心距等于（ ） A 1 B 2 C 3 6 答案：CD 22解析： O 与 O 的公共弦为 AB，球心为，AB 中点为 C， 1 2则四边形O OO C1 2为矩形，| O O |=|OC |, | OA |=2, 1 2所以| AC |=1, AC OC | OC |= | OA |2 -| AC |2 = 37已知正四棱锥 PABCD 的棱长都等于 a ,侧棱 PB、PD 的中点分别为 M、N，则截面 AMN 与底面 ABCD 所成二面角大小的正切值为 7 答案：.121 11 1111 1解析：过 A 在平面
6、ABCD 内作直线l /BD，连接 AC,BD交于 O，连接 PO，MN记 PO、MN 交于 O因为 PB、PD 的中点分别为 M、N ，所以 MN/BD，因为l /BD，所以l /MN，A l，所以l 平面 AMN ，l =平面 AMN平面 ABCD易知OAO即为面 AMN 与底面 ABCD 所成二面角的平面角AO =PO =2 2 1 a OO= a tan OAO =2 4 28如图，正方体ABCD -A B C D1 1 1 1的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段CC1上的动点，过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S。则下列命题正确的是_当0 CQ 12时，S
7、为四边形当CQ =12时，S 为等腰梯形当CQ =3 1时，S 与 C D 的交点 R 满足 C R = 4 3当34CQ 1时，S 为六边形当CQ =1时，S 的面积为628答案： 解析：设截面与 D D相交于T，则AT / PQ且AT =2 PQ DT =2CQ 1.对，.当0 CQ 12时 ,则0 DT 1.所以截面S为四边形，且S为梯形.所以为真.对,.当CQ =12时, DT = 1 , T与D 重合1，截面S为四边形APQD , 所以AP =D Q. 1 1截面S为等腰梯形. 所以为真.对,.当CQ =3 1 3 1 1 时 QC = , DT = , D T = .利用三角形相似
8、解得C R = . 4 4 2 2 3所以为真.对,.当3 3CQ 1时, DT 2 4 2.截面S与线段A D , D C 1 1 1 1相交，所以四边形S为五边形.所以为假.对,.当CQ =1时，Q与C 重合, 截面S与线段A D 相交于中点G 即为菱形 APC G A1 1 1 1 1 1.对角线长度分别为2和 3，S的面积为62.所以为真.9如图， ABCD -A B C D 为正方体。任作平面a与对角线1 1 1 1AC 垂直，使得 a与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为l.则（ ）AS 为定值，l不为定值 BS 不为定值，l为定值CS 与 l 均为
9、定值 DS 与 l 均不为定值9 答案:B解析 :将正方体切去两个正三棱锥A -ABD 与 C -DBC后，得到一个以平行平面ABD与DBC为上、下底面的几何体 V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱AB剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形AB BA1 1，而多边形 W 的周界展开后便成为一条与AA1平行的线段（如图中E E），显然 A 1A =E E，故 l 为定值。 1 1当 E位于 AB中点时，多边形 W 为正六边形，而当 E 移至 A处时，W 为正三角形，易知周长为定值 l 的正六边形与正三角形面积分别
10、为3 3l 2 与 l24 362，故 S 不为定值。题型三、截面图形的计数10设四棱锥 P -ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面a去截此四棱锥, 使得截面四 边形是平行四边形, 则这样的平面a ( )A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个10 答案：D解析：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m，n，直线 m、n 确定了平面 ，作与 平 行的平面 与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平行四边形这样的平面 有无数多个11过正四面体ABCD的顶点A做一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面BCD成75角，问这样的截面可作几个？11 答案：6 个解析：可以证明
11、正四面体的棱、侧面与底面成角均小于 75 度，这样过顶点与底面成 75 度角， 且平行与底面一条边的 截面也就是符合题意的截面，有两个。三条边就是 6 个。题型四、截面图形的性质12如图 4，在透明的塑料制成的长方体 ABCD-A B C D 容器内灌进一些水，固定容器底1 1 1 1面一边 BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：.B1 水的部分始终呈棱柱状；2 水面 EFGH 的面积不改变；3 棱 A D 始终与水面 EFGH 平行；1 1 当容器倾斜到如图 4（2）时，BEBF 是定值；AEA1BD1 HDF图 4（1）1CCG1其中正确的命题序号是_A1D11
12、2 答案：解析 当长方体容器绕 BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满AB1DHC1足棱柱定义，故正确；在转动过程中 EH/FG，但 EH 与 FG 的距离 EF 在变，所以水面 EFGH 的面积在改变，故错误；在 转动过程中，始终有 BC/FG/A D ，所以 A D /面 EFGH，正1 1 1 1EBF图 4（2）CG确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图 5（2），因为V水=12BE BF BC是定值，又BC 是定值，所以 BEBF 是定值，即正确。13有一容积为 1 立方单位的正方体容器 ABCD-A B C D ，在棱1 1 1 1AB、BB 及对角线 B C 的中点各有一小孔 E
13、、F、G，若此容器可 1 1以任意放置，则该容器可装水的最大容积是ADEBCA12B78C1112D4748D1FGC113 答案：C解析：本题很容易认为当水面是过 E、F、G 三点的截面时容器可1 1 1 7装水的容积最大图 6（1），最大值为V =1 - 1= 立方单2 2 2 8位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置” 的理解不够，其实，当水平面调整为图 6（2）C 时容器的容1A1图（1）DAED1B1BGFCC1积最大，最大容积为V =1 -1 1 1 11 11=3 2 2 12A1图（2）B114(08 年江西)如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部 镶嵌了
14、同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水 时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置， 水面也恰好过点 P （图 2）。有下列四个命题：PA正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半PB 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点C 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点a升水，则容器恰好能装满D若往容器内再注入P图 1P图 2其中真命题是： 14 答案：BD解析：a升水对应的体积为V，则正四棱锥的体积V2，正四棱柱的体积为V 5 V + +V = V2 2.容器的盛水量为2V易知所盛水的容积为容器容量的一半，故 D 正确，于是 A 错误；水平放置时由容器形状的 对称性知水面经过点 P，故 B 正确；C 的错误可由图 1 中容器位置向右边倾斜一些可推知点 P 将露出水面。单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。.