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1、第 1 讲 求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：an +1-a = f (n) n或an +1=a + f ( n) n，则可利用累加法求通项公式注意： 等号右边为关于 n的表达式，且能够进行求和an +1, an的系数相同，且为作差的形式、具体操作流程之一：若a -a = f (1)2 1a -a = f (2)3 2则an-a = f ( n ) n +1an +1-a = f ( n) n，两边分别相加得 an +1n-a = f ( n ) 1k =1例 1：数列an满足：a1=1，且 an +1-a =2 n +1 n，求an解： an +1-a =2 n +1
2、na -ann -1=2n -1+1a -a =21 +1 2 1累加可得：a -a =2 +2 n 12+2n -1+(n-1)=2 (2n-1-1)2 -1+n -1 =2n+n -3 a =2 n +n -2 n例 2：已知数列a 满足 a n n +1=a +2 n +1，a =1 ，求数列 a n 1 n的通项公式。解：由an +1=a +2 n +1 n得an +1-a =2 n +1 n则21n( q 1)a =( a -a ) +( a -a ) + +( a -a ) +( a -a ) +an n n -1 n -1 n -2 3 2 2 1 1=2( n -1) +1 +
3、2( n -2) +1 + +(2 2 +1) +(2 1+1) +1 =2(n -1) +( n -2) + +2 +1 +( n -1) +1( n -1)n=2 +( n -1) +12=( n -1)(n +1) +12=n所以数列a n的通项公式为 a =nn2比较例题 1 和例题 2：它们有什么异同吗【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成an +1-a = f ( n) n或 a -ann -1= f ( n )( n 2) 的形式；其次还要利用到等差数列的前 n项和公式 S = nn(a +a ) 1 n2n( n -1) 或 S =na + d ；n
4、 1 na ( q =1)等比数列的前 n 项和公式 S =a (1 -q )n 11 -q【变式训练】：变式 1、已知数列 a的首项为 1，且 ann +1=a +2 n 写出数列 a的通项公式. n n变式 2、在数列 a中，a =0 且 an 1n +1=a +2 n -1 ，求数列 a的通项公式。 n n变式 3、已知数列 an满足a1=3 ， a =a nn -11+ ( n 2) ，求此数列的通项 n ( n -1)公式. n1n +1 n a =a +2a a =a +2a变式 4、在数列 a 中， a =3 ， an 1n +1=a +n1 n ( n +1)，求数列 a的通项
5、公式。 n变式 5、已知数列 a 满足 ann +1=a +2 3 nn+1 ，a =3 ，求数列 a 1n的通项公式。【补充练习】：1、已知数列 a满足a =1 ， an 1n +1=a +n ，则数列 a的通项公式为 n n2、已知数列 a 满足 a =1 ， an 1n +1=a +3nn -1（n N+），则数列 an的通项公式为1 13、已知数列 a 满足 a = ， a =a +2 n 2 +3n +2a =通项公式为n（n N+），则数列 a的n。4、已知数列 a 满足 ann +1=a +n8( n +1) (2n +1) 2 (2 n +3)2, a =189，则数列 a的通
6、项公n式为a =n。5已知 a 满足 n +1 nn，且a =11，求 n6已知 a 满足 n +1 nnn -3，且a =11，求 n 7已知 a 满足 nannnnn n -1na =3 n -1 +a ( n 2)n -1，且a =11，求 n8. 已知数列 a满足n，求 。评注：已知 a =a , a1n +1-a = f ( n ) ，其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次 n函数、指数函数、分式函数，求通项 a .n若 f(n)是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n)是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和;若 f(n)是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n)是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。思考题：已知数列a中, na 0n1 n 且 S = ( a + )2 an,求数列a的通项公式. n解:由已知S =n1 n 1 n ( a + ) S = ( S -S +2 a 2 S -Sn 得 nn -1),化简有S2n-S2n -1=n,由类型(1)有S2n=S21+2 +3 + +n,又S =a1 1得a =11,所以S 2 =nn( n +1) 2a 0,又 n ,s =n2n ( n +1) 2,则a =n2n ( n +1) - 2 n( n -1) 2此题也可以用数学归纳法来求解.