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1、有理数与无理数知识讲解【学习目标】1、 理解有理数的意义，知道无理数是客观存在的，了解无理数的概念2、 会判断一个数是有理数还是无理数【要点梳理】要点一、有理数m我们把能够写成分数形式 （m,n 是整数，n0）的数叫做有理数n要点诠释：（1）有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数（2）所有整数都可以写成分母是 1 的分数，因此可以理解为整数和分数统称为 有理数要点二、无理数1定义：无限不循环小数叫做无理数要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限无理数的小数部分不循环， 不能表示成分数的形式（2）目前常见的无理数有两种形式：含 如：1.313113111p类看似循环而实质
2、不循环的数，2有理数与无理数的区别（1） 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数（2） 任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能要点三、循环小数化分数1定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复 出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字 叫做它的一个循环节2 纯循环小数从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数例如：0666、0.2 纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是 9， 9 的个数等于一个循环节的位数例如 0.3 =3 1 189 7
3、 = ， 0.189 = = 9 3 999 373 混循环小数如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混 循环小数例如：0.12 、03456456 混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个 循环节的位数写几个 9，再在后面按不循环部分的位数添写几个 0 组成的数例如 0.918 =918 -9 101 239 -23 6 35135 -35 35100 13 = ，0.239 = = ，0.35135 = = = 990 110 900 25 99900 99900 37要点诠
4、释：（1）任何一个循环小数都可化为分数（2）混循环小数化分数也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数【典型例题】类型一、有理数1下列说法正确的是（ ）A整数就是正整数和负整数 B分数包括正分数、负分数C正有理数和负有理数统称有理数 D无限小数叫做无理数【答案】B【解析】A 选项整数包括正整数、负整数和 0；C 选项正有理数、负有理数和 0 统称有理数； D 选项无限不循环小数才叫做无理数，所以选 B【总结升华】概念问题同学们往往忽略 0 的存在而模糊分类的界限，只有对定义达到真正的 理解认识才不会出错举一反三：【变式 1】下列说法：一个有理数不是整数就是分数；有理数包括正有理数和负有理数； 分数
5、可分为正分数和负分数；存在最大的负整数；不存在最小的正有理数其中正确 的个数是（ ）A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】C【变式 2】（2015杭州模拟）是（ ）A整数 B有限小数 C无限循环小数 D无限不循环小数【答案】C2在实数 ， ，0， ， ，1.414，有理数有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【思路点拨】根据有理数是有限小数或无限循环小数，可得答案【答案】D【解析】解： ，0， ，1.414，是有理数，【总结升华】本题考查了有理数，有理数是有限小数或无限循环小数类型二、无理数3（2016盐城）下列实数中，是无理数的为（ ）A4 B0.101001 C D【思路点
6、拨】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概 念，有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数 是无理数由此即可判定选择项【答案】D【解析】解：A、4 是整数，是有理数，故本选项不符合题意；B、 0.101001 是小数，属于分数，故本选项不符合题意；B、 是小数，属于分数，故本选项不符合题意；C、 是无理数，正确；故选 D【总结升华】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ，2 等； 开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数举一反三：【变式】以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为 2
7、5 的正方形； B.面积为 16 的正方形；C.面积为 8 的正方形； D.面积为 144 的正方形【答案】C4将下列各数填入相应的括号内3p，-2，-1222，3020020002，0， ，-（-2），2012，-70.23整数集合：分数集合：负有理数集合：无理数集合： 【答案与解析】整数集合：-2， 0，-（-2），2012分数集合：-1 22， ，-2 70.23负有理数集合：-2，-12，-0.23无理数集合：3p，3020020002，【总结升华】本题考查了对有理数的有关概念的理解和应用，关键是能区分有关定义，注意：整数包括正整数、0、负整数；有理数包括正有理数、0、负有理数；无理数
8、是指无限不循环 小数类型三、循环小数化分数5把下列循环小数化分数【思路点拨】按循环小数化分数的规律方法化即可 【答案与解析】（1）（2），所以（3）（4）【总结升华】循环小数化分数时，整数部分不动，在掌握两种化简规律的基础上把小数部分 进行相应的化简即可举一反三：【变式】在 6.4040、3.333、9505 三个数中， 数可以写作 是循环小数，把这个数化为分【答案】6.4040；64099【巩固练习】一、选择题1下列说法错误的是（ ）A 负整数和负分数统称负有理数B 正整数，0，负整数统称为整数C 正有理数与负有理数组成全体有理数D 3.14 是小数，也是分数2（2016 春文昌校级月考）下
9、列说法：1 2.5 既是负数、分数，也是有理数；2 22 既是负数、整数，也是自然数；3 0 既不是正数，也不是负数，但是整数；4 0 是非负数其中正确的有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个30 这个数是( ）A正数 B负数 C整数 D无理数 4对于有理数 a，下列说法中正确的是（ ）Aa 表示正有理数 B-a 表示负有理数 Ca 与-a 中，必有一个是负有理数 Daa 是非负数5下列说法正确的是（ ）A 不循环小数是无理数B 无限不循环小数是无理数 C无理数大于有理数D两个无理数的和还是无理数6把循环小数6.142化成分数是（ ）A6142999B6745C62 32D 6999
10、225二、填空题7 和 统称有理数8 写出一个比-4 大的负无理数 9 已知 a 为有理数，b 为无理数，你们 a+b 为 10.在1，0.2， ，3，0，0.3， 中，负分数有 ，整数有 11（2016 春丰城市期末）在是无理数的个数有 个，3.14159， ，8， ，0.6，0， ，中120.2666 化为分数是 三、解答题13.下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列 6 个数填入这两个圈中合适的位置 28%， ，2014，3.14，（+5），0.14把下列各数填入表示它所在的数集的大括号：-24，3，2.004，-10 1，13 4，-0.15，0，-（-2.28），3.14 正有理
11、数集合： 负有理数集合： 整数集合：负分数集合：，115 试验与探究我们知道 写为小数即30.3，反之，无限循环小数0.3写成分数即13一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式现在就以0.7为例进行讨论：设0.7=x，由0.7=07777，可知，10x-x=7，解方程得 x=7 7，于是得 0.7 = 请仿照上述例题完 9 9成下列各题：（1）请你把无限循环小数0.5写成分数，即0.5= （2）你能化无限循环小数 0.73 位分数吗？请仿照上述例子求之【答案与解析】一、选择题1【答案】C【解析】正有理数与 0，负有理数组成全体有理数，C 错误2【答案】C【解析】解：2.5 既是负数、分数
12、，也是有理数，正确；2 22 既是负数、整数，但不是自然数，错误；3 0 既不是正数，也不是负数，但是整数，正确；4 0 是非负数，正确；故选 C3. 【答案】C4【答案】D【解析】当 a0 是，a 表示负有理数， -a 表示正有理数，故 A、B 选项错误；当 a=0 时，a 和-a 都不表示负有理数，故 C 选项错误；所以选 D5【答案】B【解析】无限小数也可能是有理数如 0.333，无理数大于有理数也不一定如果无理数 是负数有理数是正数就不成立，两个无理数的和可能为 0 如 p+（- p）=06【答案】D【解析】6.142=6142 -14 128 32 =6 =6900 900 225二
13、、填空题7 【答案】整数；分数8 【答案】- p（答案不唯一）9 【答案】无理数【解析】如 3+3.333=3.33310.【答案】 ，0.3；1，3，0 11.【答案】3.【解析】解：是有理数，3.14159 是一个有限小数，是有理数，是无理数，8是有理数，是无理数，0.6 是有理数，0 是有理数，=6 是有理数，是无理数 故答案为：312.【答案】415【解析】0.2666 =26-2 24 4= =90 90 15三、解答题 13.【解析】14【解析】解：正有理数集合：3，2.004，114，-（-228），3.14 ，负有理数集合：-2.4， -整数集合：3， 0，103， -0.15 ，10负分数集合：-2.4， - ，315【解析】-0.15，解：（1）设0.5=y，由0.5=05555，可知，10y-y=5，解方程得 y=59，于是得0.55= 9（2）设 0.73 =y，由 0.73 =07373，可知，100y-y=73，解方程得 y=7399，于是得0.73=7399