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1、oooo高中数学必修学业水平测试题（一）一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）1直线 x =tan 60 的倾斜角是( )A 90B 60C 30D不存在2.设A(1,-1,1)，B (3,1,5)，则 AB 中点在空间直角坐标系中的位置是（ ）A. y 轴上 B. xOy 平面内 C. xOz 平面内 D. yOz 平面内3一平面四边形按照斜二测画法得到的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形 的面积等于( )A24a22B a22C2 23a2D 2 2 a24.圆 C : (x+2)2+y 12=4 与圆
2、C : (x-2)2+(y-1)2=92的位置关系为（ ）A内切 B外切 C相交 D相离5若l, m, n是互不相同的空间直线， a, b是不重合的两个平面，则下列命题中正确的是( )A若a/ /b,l a, n b,则 l / / nB若a b,l a,则 l bC若l n, m n,则 l / / mD若l a,l / /b,则 ab6.如图 1 所示,在正方体ABCD -A B C D1 1 1 1中,若点 E 为A C1 1上的一点,则直线 CE一定垂直于( )A.ACB.BDC.A D1D.A D1 17已知一个几何体的三视图如图 2 所示，则这个几何体的体积等于( )图 1A4 B
3、6 C8 D12图 28一个三棱锥 SABC的三条侧棱 SA,SB,SC 两两互相垂直，且长度分别为1, 6,3.已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )A16pB 32pC 36pD 64p9已知直线l : axyb0，圆M :x2y 22ax2by0，则l与 M 在同一直角坐标系中的图形可能是( )10.如果圆的一条弦弦长为正整数，我们称这条弦为“好弦”，则过点 A(11,2) 作圆C : x 2 +y 2 +2 x -4 y -164 =0的弦，其中是“好弦”的共有（ ）A16 条 B17 条 C32 条 D34 条A B 3 3 3 3 36y11.已知直线l
4、:y =kx -1与曲线C:(x2+y2 -4 x +3 )y=0有且仅有 2 个公共点，则实数k的取值范围是（ ） 4 4 1 4 1 0, 0, C ,1, D ,1 12.如图 3，正方体 ABCD -ABC D 的棱长为 1 ， R为 BC 的中点， Q 为线段 CC 上的动1 1 1 1 1点，过点 A, P, Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ，则下列命题正确的是（ ）三棱锥R-AAQ 11的体积为定值；当 CQ = 时， S 为等腰梯形；2当34CQ 1 时， S 为六边形； 当 CQ =1 时， S 的面积为 2A B C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共2
5、0分.把答案填在题中横线上） 图313.若三点A(2,2), B ( a,0), C (0, b)( ab 0)共线 ,则 错误 ! 未找到引用源。1 1+a b的值等于_15. 已知三条直线l : x +y -1 =0, l : x -2 y +3 =0, l : x -my -5 =0 1 2 3不能围成一个三角形，则 m 的取值集合是_16.已 知a, b, c为 直 角 三 角 形 中 的 三 边 长 ， c 为 斜 边 长 ， 若 点M (m, n)在 直 线l : ax +by +3c =0上，则 m 2 +n 2 的最小值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说
6、明、证明过程或演算步骤）17已知直线 l : x -my -3 =0 , l : ( m -4) x +3 y +m =01 2(1)若 l l ,求 l 与 l 的交点；1 2 1 2(2)若 l / l ,求 l 与 l 间的距离.1 2 1 218.已知直线 l 过直线 2 x -y +15 =0 与直线 x -2 y +9 =0 它在 轴上的截距的 3 倍,求直线 l 的方程 .的交点,且它在 x 轴上的截距是19. 如图 4 所示，已知E , F , G , H分别为空间四边形 ABCD的边AB, BC , CD , DA上的点，且 EH / / FG.求证： EH / / BD.2
7、0.如图 5，在四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD是菱形，其对角线的交点为 O，且 SASC，SA BD.(1)求证：SO 平面ABCD;(2)设BAD60，ABSD2，P 是侧棱 SD 上的一点，且SB / /平面 APC ，求三棱锥 21已知圆 M 上一点A PCD 的体积A(1,-1) 关于直线 y =x 的对称点仍在圆 M 上，直线x +y -1 =0截得圆 M 的弦长为 14 （1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线x +y +2 =0上的动点，PE , PF是圆 M 的两条切线，2 2xo3yAC111S=DAA Q1E , F为切点，求四边形 PEMF 面积的最小值22已
8、知圆 M 的方程为 x +( y -2) =1，直线 l的方程为x -2 y =0，点 P 在直线 l上，过P 点作圆 M 的切线 PA, PB ，切点为 A, B（1）若 APB =60o，试求点 P 的坐标；（2）求证：经过A, P, M三点的圆必过定点，并求出定点的坐标.江西袁波高中数学必修学业水平测试题（一）一、选择题1. A 2. C 3.D 4.C 5.D 6. B7. A 8.A 9. B 10.C 11. C 12.D提示：1.直线 x=tan60= 垂直于 轴，倾斜角为 90 2. AB 中点坐标为 (2,0,3) ,故选 C.,故选 A.3.S原=2 2 S =2 2a直2
9、.4. 圆心距 | C C |=1 2相交.( -2 -2) 2 +(0 -1)2 = 17 ,Q 1 =R -r |C C |R +r =5 , 两个圆1 25.A 中 l, n 可能平行，也有可能异面.B 中 l 中 l , m 有可能异面.有可能平行于 b,还有可能与 b相交但不垂直.C6. E 为A C1 1上的一点，故 CE 平面AAC C1 1.又 BD 平面AAC C1 1，故选 B.7.将三视图还原成一个底面为梯形的四棱锥，梯形上底边长为 2，下底边为 4，梯形的高为2，四棱锥的高为 2.V =1 1 1Sh = (2 +4) 2 2 =4 3 3 2.8.利用割补法将三棱锥补
10、充成一个完成的长方体,则长方体的体对角线为所求外接圆的直径.故 2R = 12+( 6)2+32=4 .得 R =2.S =4pR 2 =16p.9.对方程变形可得 l:y =axb,M：( x -a )2 +( y +b ) 2 =a 2 +b 2，所以圆 M 必过原点.所以排除 A,C.当直线斜率a小于 0 时，圆心应该在 轴左侧，所以排除 D.故选 B.10.x2 +y 2 +2 x -4 y -164 =0 可化为 ( x +1)2 +( y -2) 2=169.过 A 的最长弦为直径，弦长为 26；最短弦为过 A 且与 AC 垂直的弦，| AC |=12，故最短弦长为 2 R 2 -
11、| AC |2 =10 .最长弦与最短弦都只有一条，其他弦长为正整数的弦都有两条.故“好弦”共有 32 条.11.如图所示，直线y =kx -1恒过A(0, -1),曲线 C 包括 x 轴与圆 ( x -2)2+y2=1两部分.直 线y =0与 ( x -2) 2 +y 2 =1相 交 于 B , C 两点,kAB0 -( -1) 1 0 -( -1) = = , k = =13 -0 3 1 -0,直线与圆相切时 k =0或43.因为直线l :y =kx -1与曲线C:(x2+y2-4 x +3 )y=0有且仅4有 2 个公共点，所以 k= 或 或 1.3312.点 P 到平面 AA Q (
12、即平面 ACC A )的距离为 BD， AC，故1 1 14 1 2V三棱锥P -AA Q为定值，正确；当CQ =12时，PQ / / AD1,S为等腰梯形 APQD , 故正确；当11 23x +2 y -3 =0,13 31334CQ 1时，延长 AP 与直线 DC 交于 E，延长 EQ 与直线 DD 交于 M，连接 AM 与 A D 交于1 1 1N，如图， S 为五边形，故错误；设A D1 1的中点为 R , 当 CQ =1 时 , S 为平行四边形APC R1,如图，易得S6 的面积为 .2二 、填空题13.1215.-1,2,316.9提示：13.可将直线 BC 的方程设为x y
13、2 2 1 1 1 + =1 ，将 (2, 2) 代入可得 + =1 ,故 + = .a b a b a b 215.当直线 l l 时， m =-1;当直线 l l 时， m =2 ;当三条直线经过同一个点时，由1 3 2 3x +y -1 =0, 1 4 解得直线 l 与 l 的交点 (- , ) .代入 l : x -my -5 =0 ，解得 m =3 .综 x -2 y +3 =0, 3 3上，m -1,2,3时三条直线不能构成三角形16. 根 据 勾 股 定 理 可 知 a 2 +b 2 =c 2 , 点M (m, n)在 直 线l : ax +by +3c =0上 , 又m2 +n
14、 2 =( m 2 +n 2 ) 2表示原点到( m, n )的距离的平方,原点到直线 l 的距离即为所求最小值可得最小值为| 3c |a 2 +b2=3cc=3,即 m 2 +n 2 的最小值为 9.三、解答题17.解：(1)由 l l 可得 m -4 +3( -m) =01 2解方程组 得 x = ,-6x +3 y -2 =0, 34y = . 31 4所以 l 与 l 的交点坐标为 ( , ) .1 2,解得 m=-2.(2)由l / l1 2可得1 -m -3 = m -4 3 m，解得 m =1.此时l : x -y -3 =0 1,l2:x-y- =0，故 l 与 l 间的距离1
15、 231| -3 |4d = = 22 3.18.解：解方程组2 x -y +15 =0, x -2 y +9 =0,得x =-6,y =3.所以 l 经过点（-6，3）.。22当截距都不为零时,由题意设直线 l 的方程为x y+ =1(b 0) 3b b.将（-6，3）代入得-63b3+ =1(b 0) b,得 b =1.所以直线 l的方程为x3+y =1 ,即 x +3 y -3 =0.当截 距都为零时 , 直线 l过原 点 , 设其方 程为 y =kx , 将 x =-6, y =3代入 上式 , 得3 =-6k,所以k =-12.所以直线 l的方程为y =-12x,即x +2 y =0
16、.综合得,所求直线 l 的方程为x +3 y -3 =0 或 x +2 y =0.19.证明：因为EH / / FG , EH 平面 BDC,FG 平面 BDC，所以 EH平面 BDC.又 EH 平面 ABD ,平面 ABD I平面 BDC =BD ,. EH / BD20.(1)证明：因为底面 ABCD是菱形，所以 AC BD.又 BD SA， SA ACA BD 平面 SAC .，又 SO 平面 SAC BD SO.,SASC， AOOC，SO AC.又AC BD O，SO 平面 ABCD.(2)解：连接 OP ，SB 平面APC ，SB 平面 SBD 平面 SBD 平面 APCOP ，S
17、B OP.又O 是 BD 的中点，P 是 SD 的中点由题意知 ABD 为正三角形，OD1.，由(1)知 SO 平面 ABCD，SO OD.又SD2，所以在 RtSOD中， SO 3 ，所以 P 到平面 ABCD 的距离为32.VA -PCD=VP -ACD1 1 3 1 = ( 2 2 sin120 ) = .3 2 2 221.解：(1)由题意，圆心在直线 y =x 上，设为( a , a)，圆的方程为( x -a )2+( y -a )2=r2，则 (1 -a )2+(1 -a )2=r2, (| 2 a -1| 14) 2 +( ) 2 22=r2，解得a =1, r2=4.圆M 的方
18、程为 ( x -1)2+( y -1)2=4(2)由切线的性质知：四边形 PEMF 的面积S =|PE | r.当四边形 PEMF 的面积取最小值时，| PM | 最小，即为圆心 M 到直线x +y +2 =0的距离，所以 | PM | =2 2 ，故 | PE | =2 ，所以四边形 PEMF 面积的最小值为 4 m in min22.（1）解：设 P (2 m, m ) ，由题可知 MP =2 ，所以 (2 m ) +( m -2) =4 ，解得：m =0, m =45故所求点 P 的坐标为P (0,0)或8 4P ( , )5 5m（2）证明：设P (2 m, m)， MP 的中点m Q (m , +1)2.因为 PA 是圆 M 的切线，所以经过A, P, M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为( x -m ) 2 +( y -m m -1)2 =m 2 +( -1)22 2.化简得x 2 +y 2 -2 y -m ( x +y -2) =0，此式是关于 的恒等式，x2 +y 2 -2 y =0, x =0 故 解得 或 x +y -2 =0, y =2 x =1,y =1.所以经过A, P, M三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1).