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1、222222222222, 1 2=2222初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根一 、内容提要1. 一元二次方程ax+bx+c=0(a 0) 的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的 .根公式是：x=2. 根的判别式b b 2 -4 ac2a. (b 4ac0) 实系数方程 ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是：b24ac0. 有理系数方程 ax +bx+c=0(a0)有有理数根的判定是：b 4ac 是完全平方式 方程有有理数根.整系数方程 x +px+q=0 有两个整数根 p24q 是整数的平方数.3. 设 x , x 是 ax +bx+c=0 的两个实
2、数根，那么1 2 ax +bx +c=0 (a0，b 4ac0)， ax +bx +c=0 (a0， b 4ac0)； 1 1 2 2 x =1b b 2 -4 ac b b 2 -4 ac， x =2a 2 a(a0, b 4ac0)；韦达定理：x x 1+ 2=b cx xa a(a0, b 4ac0).4. 方程整数根的其他条件整系数方程 ax +bx+c=0 (a0)有一个整数根 x 的必要条件是：x 是 c 的因数.1 1特殊的例子有：C=0 x =0 ，1a+b+c=0 x =1 ，1ab+c=0 x =1.1二、例题例1.已知：a, b, c 是实数，且 a=b+c+1.求证：两
3、个方程 x +x+b=0 与 x +ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 证明 （用反证法）设 两个方程都没有两个不相等的实数根，那么0 和 0.2- 1 -2222 222 22 02222214b 0 即 a 2 -4c 0 a =b +c +11 5由得 b ，b+1 代入，得4 4ac=b+154， 4c4a5 ：a 4a+50，即（a2） +10，这是不能成立的.既然 0 和 0 不能成立的，那么必有一个是大于 0. 1 2方程 x2+x+b=0 与 x+ax+c=0 中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.本题也可用直接证法：当 0 时，则和中至少有一个是正
4、数.2已知首项系数不相等的两个方程：（a1）x (a +2)x+(a +2a)=0 和 (b1)x (b +2)x+(b +2b)=0 (其中 a,b 为正整数) 有一个公共根. 求 a, b 的值.解：用因式分解法求得：方程的两个根是 a 和a +2 b +2 ； 方程两根是 b 和a -1 b -1.由已知 a1, b1 且 ab.公共根是 a=b +2 a +2 或 b=b -1 a -1.两个等式去分母后的结果是一样的.即 aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3.a,b 都是正整数， a11 a13 ； 或 b -1 =3 b -1 =1.a2解得 b =4；a =
5、4或 .b =2又解： 设公共根为 x 那么0(a-1)x 2 -( a 2 +2) x +( a 2 +2 a) =0 （b-1)x -(b 2 +2) x +(b 2 +2b ) =0 0先消去二次项：（b1）（a1） 得（a +2）(b1)+(b +2)(a1)x +(a +2a)(b1)(b +2b)(a1)=0.0- 2 -22222222222222整理得 （ab）(abab2)(x 1)=0.0abx 1； 或 (abab2)0.0当 x 1 时，由方程得 a=1,0a1=0，方程不是二次方程.x 不是公共根.0当(abab2)0 时， 得(a1)(b1)=3 解法同上.例 3.
6、 已知：m, n 是不相等的实数，方程 x 差相等.求：m+n 的值.解：方程两根差是+mx+n=0 的两根差与方程 y+ny+m=0 的两根x -x12（x -x ) 1 22( x +x ) 2 -4 x x 1 2 1 2m 2 -4 n同理方程两根差是y -y n 1 22-4 m依题意，得m 2 -4 nn 2 -4 m.两边平方得：m4n=n4m.（mn）(m+n+4)=0 mn， m+n+40，m+n4.例 4. 若 a, b, c 都是奇数，则二次方程 ax +bx+c=0(a0)没有有理数根.m证明：设方程有一个有理数根 （m, n 是互质的整数）.n那么 a(m m) +b
7、( )+c=0, 即 an +bmn+cm n n=0.把 m, n 按奇数、偶数分类讨论，m, n 互质，不可能同为偶数.1 当 m, n 同为奇数时，则 an +bmn+cm 是奇数奇数奇数奇数0；2 当 m 为奇数, n 为偶数时，an +bmn+cm 是偶数偶数奇数奇数0；3 当 m 为偶数, n 为奇数时，an +bmn+cm 是奇数偶数偶数奇数0.- 3 -2222222222 22222222 22综上所述不论 m, n 取什么整数，方程 a(m m) +b( )+c=0 都不成立. n n即 假设方程有一个有理数根是不成立的.当 a, b, c 都是奇数时，方程 ax +bx+
8、c=0(a0)没有有理数根.例 5. 求证：对于任意一个矩形 A，总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和 面积比都等于 k (k1).证明：设矩形 A 的长为 a, 宽为 b，矩形 B 的长为 c, 宽为 d.根据题意，得c +d cd= =ka +b ab.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韦达定理的逆定理，得c, d 是方程 z (a+b)kz+abk=0 的两个根. （a+b）k 4abk（a +2ab+b ）k4abk=k(a +2ab+b )k4abk1，a +b 2ab,a +2ab+b 4ab，(a +2ab+b )k4ab.0.一定有 c, d 值满足
9、题设的条件.即总存在一个矩形 B，使得矩形 B 与矩形 A 的周长比和面积比都等于 k 例 6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？（k 1）x 6(3k1)x+72=0 ； kx +(k 2)x(k+2)=0.(k1).解：用因式分解法求得两个根是：x =112k +16， x = .k1由 x 是整数，得 k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12. 1由 x 是整数，得 k1=1, 2, 3, 6.2它们的公共解是：得 k=0, 2, 2, 3, 5.答：当 k=0, 2, 2, 3, 5 时，方程有两个整数解. 根据韦达定理- 4 -1 222222222222222222 k
10、 2 -2 2x +x =- =-k + 1 2 k kk +2 2x x =- =-k - k kx , x , k 都是整数，1 2k=1，2. （这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把 k=1,1, 2, 2， 分别代入原方程检验，只有当 k=2 和 k=2 时适合. 答：当 k 取 2 和2 时，方程有两个整数解.三、练习1. 写出下列方程的整数解： 5x 3x=0 的一个整数根是. 3x +( 2 3)x 2 =0 的一个整数根是. x2+(5+1)x+5=0 的一个整数根是.2. 方程（1m）x x1=0 有两个不相等的实数根，那么整数 m 的最大值是. 3.
11、已知方程 x (2m1)x4m+2=0 的两个实数根的平方和等于 5，则 m=.4. 若 x y ，且满足等式 x +2x5=0 和 y +2y5=0.那么1 1+x y.（提示：x, y 是方程 z+5z5=0 的两个根.）5. 如果方程 x +px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的 2 倍，那么 p, q 应满足的关系 是：.6. 若方程 ax +bx+c=0 中 a0, b0, c0. 那么两实数根的符号必是.7. 如果方程 mx2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m5）x22mx+m=0 实数根的个数是（ ）.(A)2 （B）1 （ C）0（D）不能确定8. 当 a,
12、 b 为何值时，方程 x +2(1+a)x+(3a +4ab+4b +2)=0 有实数根？9. 两个方程 x +kx1=0 和 x xk=0 有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B）2（C）1（D）110. 已知：方程 x +ax+b=0 与 x +bx+a=0 仅有一个公共根，那么 a, b 应满足的关系是： .- 5 -2222 22222222211. 已知：方程 x +bx+1=0 与 x xb=0 有一个公共根为 m，求：m，b 的值.12. 已知：方程 x +ax+b=0 的两个实数根各加上 1，就是方程 x a x+ab=0 的两个实数根. 试求 a, b 的值或取值
13、范围.13. 已知：方程 ax +bx+c=0(a0)的两根和等于 s ，两根的平方和等于 s , 两根的立方和等1 2于 s 求证：as +bs +cs =0.3. 3 2 114. 求证：方程 x 2(m+1)x+2(m1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法） 15. 已知：a, b 是方程 x +mx+p=0 的两个实数根；c, d 是方程 x +nx+q=0的两个实数根.求证：（ac）(bc)(ad)(bd)=(pq) .16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于 5，两实数根的积是 2，那么这个方程是： .17. 如果方程（x1）(x 2x+m)=0 的三个根，可作
14、为一个三角形的三边长，那么实数 m 的取值范围是 （ ）（A） 0m1 （B）m3 3 3 （C） m1 （D）4 4 4m118.方程 7x (k+13)x+k k2=0 (k 是整数)的两个实数根为 ， 且 0 1， 1 2，那么 k 的取值范围是( )（A）3k4 (B)-2k-1 (C) 3k4 或-2k-1（D）无解- 6 -243 3 2 22参考答案1. 0， 1， 1 2. 0 3. 1（舍去2）4.255. 9q=2p6. 一正一负7. D 8. a=1,b=0.5 9. C10. a+b+1=0, ab 11. m=1，b=2 12.13. 左边a(x +x )+b(x +x )+c(x +x )=1 2 1 2 1 2a =1, a =-2, 1 b ：b=-1. 14. 用反证法，设 x 0,x 0,由韦达定理推出矛盾（m1）- 7 -