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1、平面向量的综合应用训练题A 级保大分专练 5 5 1已知向量 acos ，sin ，bcos ，sin 6 6 6 6 ，则|ab|( )A1 B.C. 3 D.62102 5 5 解析：选 C 因为 abcos cos ，sin sin 6 6 6 6 3，故选 C.( 3，0)，所以|ab| 2若向量 OF (1,1)， OF (3，2)分别表示两个力 F ，F ，则|F F |为( )1 2 1 2 1 2A. 10C. 5解析：选 CB2 5D. 15由于 F F (1,1) ( 3 ， 2) ( 2 ， 1) ，所以 |F F | 1 2 1 22 2 5.3(2019牡丹江第一高级
2、中学月考)已知圆 O 是ABC 的外接圆，其半径为 1，且 AB AC 2 AO ，AB1，则 CA CB ( )A.32B3C. 3D2 3 解析：选 B 因为 AB AC 2 AO ，所以点 O 是 BC 的中点，即 BC 是圆 O 的直径，又 AB1，圆的半径为 1，所以ACB30，且 AC 3，则 CA CB | CA | CB |cos ACB3.14已知向量 msin A， 与向量 n(3，sin A 3cos A)共线，其中 A 是ABC 的 2内角，则角 A 的大小为( )A.C.63B.4D.23解析：选 C 因为 mn，所以 sin A(sin A 3cos A) 0，2所
3、 A 2所以 2sin2A2 3sin Acos A3.可化为 1cos 2A 3sin 2A3， 11 以 sin 2 1，因为 A(0， )，所以 2A ， . 6 6 6 6 因此 2A ，解得 A .6 2 35(2017全国卷)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ( PB PC )的最小值是( )A24C33B2D1解析：选 B 如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴， 以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B( 1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，则 PA (x, 3y)， PB
4、 (1x， y) ， PC (1 x ， y) ，所以 PA ( PB PC ) ( x ， 3 y)(2x，2y)2x 2y3值，为 .23 3 3 2 ，当 x0，y 时， PA ( PB PC )取得最小 2 2 26已知向量 a(4,0)，b(2,2 3)，非零向量 c 满足(ac)(bc)0，|c|的最大 值与最小值分别为 m，n，则 mn 的值为( )A1C2B3D4解析：选 D 设 c(x，y)，因为(ac)(bc)0，所以(4x，y)(2x,2 3 y)x2y26x2 3y80，所以(x3)2(y 3)24，所以满足条件的向量 c 的终点 落在以(3， 3)为圆心，2 为半径的
5、圆上，所以|c|的最大值与最小值分别为 m22 3，n 2 32，所以 mn4. 7已知ABC 中，D为边 BC 上的点，且 BD2DC，AD x AB y AC ，则 xy_. 2 2 解析：由向量的加法法则知 AD AB BD AB BC AB ( AC AB ) 3 31 2 1 2 1AB AC ，所以 x ，y ，所以 xy .3 3 3 3 31答案：321 21 21 23 1 218设 e ，e ，e 为单位向量，且 e e ke (k0)，若以向量 e ，e 为邻边的三角形1 2 3 3 1 2 1 21的面积为 ，则 k_.21 1解析：设 e ， e 的夹角为 ，则由以向
6、量 e ， e 为邻边的三角形的面积为 ，得2 21 111sin ，得 sin 1，所以 90，所以 e e 0，从而对 e e ke2 21 3 3 3两边同时平方得 1 k2，解得 k 或 (舍去)，所以 k .4 2 2 2答案：32 9.如图，在ABC 中，O 为 BC 的中点，若 AB1，AC3， AB 与 AC的夹角为 60，则| OA |_. 1 3 1 解析： AB AC | AB | AC |cos 6013 ，又 AO ( AB AC )，所2 2 2 1 1 1 13以 AO 2 ( AB AC )2 ( AB 2 2 AB AC AC 2)，即 AO 2 (13 9)
7、 ，所以4 4 4 4 13| OA | .2答案：132 10在平面直角坐标系中，A(2,0)，B(1,3)，O 为坐标原点，且 OM OA OB( 1)，N(1,0)，则| MN |的最小值为_ 解析： OM OA OB ( 1)，A，B，M 三点共线，A(2,0)，B(1,3)，|102|直线 AB 的方程为 xy20，N(1,0)，设点 N 到直线 AB 的距离为 d，d23 2 3 2 ，| MN |的最小值为 N 到直线 AB 的距离 .2 23 2答案：2 2 211在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ， ，n(sin x，cos x)，x2 2 0， 2 .(1)若 m
8、n，求 tan x 的值；22sin x cos x x x 2 25(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值3 2 2解：(1)m ， ，n(sin x，cos x)，mn，2 2 mn2 2sin x cos x0，即 sin xcos x， 2 2sin x tan x 1.cos x(2)由题意知，|m| 2 2 1， 2 2 |n| sin2xcos2x1，mn2 2 sin .2 2 4 1而 mn|m|n|cosm，ncos ，3 2 1sin . 4 2又x0， ，x ， 2 4 4 4 ， 5x ，x .4 6 12 12(2019河南中原名校质检)在ABC 中， AB
9、 AC ，M 是 BC 的中点 (1)若| AB | AC |，求向量 AB 2 AC 与向量 2 AB AC 的夹角的余弦值； (2)若 O 是线段 AM 上任意一点，且| AB | AC | 2，求 OA OB OC OA 的最 小值 解：(1)设向量 AB 2 AC 与向量 2 AB AC 的夹角为 ，则 cos AB 2 AC AB AC | AB 2 AC |2 AB AC |， 2a 2a 4 令| AB | AC |a，则 cos .5a 5a (2)| AB | AC | 2，| AM |1， 设| OA |x(0x1)，则| OM |1x. 而 OB OC 2 OM ， 1
10、122222 OA OB OC OA OA ( OB OC )2 OA OM 2| OA | OM |cos 2x22x2x 2 . 2 21 1当 x 时， OA OB OC OA 取得最小值，最小值是 .2 2B 级创高分自选 1(2019武汉调研)设 A，B，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，且 OA OB ，则( OC OA )( OC OB )的最大值是( )A1 2C. 21解析： 选 AB1 2D1 如图，作出 OD ，使得 OA OB OD ，则 ( OC OA )( OC OB ) OC 2 OA OC OB OC OA OB 1 ( OA OB ) OC 1 OD OC
11、 ，由图可知，当点 C 在 OD 的反向延长线 与圆 O 的交点处时，OD OC 取得最小值，最小值为 2，此时( OC OA )( OC OB ) 取得最大值，最大值为 1 2，故选 A. 2在ABC 中，BC5，G，O 分别为ABC 的重心和外心，且 OG BC 5， ABC 的形状是( )A锐角三角形 C直角三角形B钝角三角形D上述三种情况都有可能解析：选 B 如图，在ABC 中，G，O 分别为ABC 的重心和外心，取1 BC 的中点 D，连接 AD，OD，OG，则 ODBC，GD AD，结合 OG OD DG ，3 1 1 AD ( AB AC ) ， OG BC 5 ，得 ( OD
12、DG ) BC DG BC ( AB 2 6 1 AC ) BC 5，即 ( AB AC )( AC AB )5， AC 2 AB6230.又 BC5，则 6 | AB | | AC | | BC | | AC | | BC | ，结合余弦定理有 cos C0， C ，ABC5 2是钝角三角形故选 B.13已知向量 a(cos x，1)，b 3sin x， 2，函数 f(x)(ab)a2.2x 2A (1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间；1(2)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知函数 f(x)的图象经过点A， 2 b，a，c 成等差数列，且 AB AC
13、9，求 a 的值，解：(1)f(x)(ab)a2|a|2ab2cos21 1x1 3sin xcos x 22 2(cos 2x1)13 3 1 3 sin 2x cos 2x sin 2xsin2 2 2 2 6 ，2f(x)的最小正周期 T .2 由 2k 2x 2k (kZ)， 2 6 2 得 k xk (kZ)，3 6f(x)的单调递增区间为k ，k 3 6 (kZ) 1(2)由 f(A)sin ， 6 2 5得 2A 2k 或 2A 2k (kZ)， 6 6 6 6又 0A ，A .3b，a，c 成等差数列，2abc. 1 AB AC bccos A bc9，bc18.2由余弦定理，得 cos A 去)bc 2a2 4a2a2 a2 11 1 1 ，a3 2(负值舍 2bc 36 12 2