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1、1 12015 222322()( )220152015() 2015222222222222 232222222 2二次根式的巩固与提升分专题例谈例 1. x、y 均为实数且满足 1 -3x - 3x -1 =6 -y ，求 x-1y 的值？赵化中学郑宗平1 - 3x 0分析：根据式子有 ，从中可求得 x 的值，进一步求得 y 的值，使问题得以解决.3x - 1 0在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正 确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，略解：根据题意可知：1-3x 0 3x -1 01 1解得： x
2、= ；把 x = 代入 1 -3x - 3x -1 =6 -y 有： 3 3而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数 学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究.1 11 -3 - 3 -1 =6 -y ，解得： y =6 所以 x 3 3-1-1y = 6 =3 6 =18 . 3 一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”.例 2.已知： a2+ a +b +1 +1 =2a ，求 ab 的值？2 例 1. -aA. -a a3化简的结果为 （ ）B. a -a C. -a -a D. a a分析：根据式
3、子整理为 a +b +1 +a 质可求得 a、b 的值.2-2a +1 =0 ，则 a +b +1 +(a-1)=0，利用非负数的性分析：根据二次根式的定义， -a3隐含有 a 0 的条件.这是因为根据二次根式的定义可知略解：将题中等式整理为 a -b +1 +a -2a +1 =0 ，进一步可得a -b +1 +(a-1)=0-a3 0 ，所以 a 0 ；则 -a = -a a = -a a =-a -a ，故选 C.1例 2.把 a -1 中的根号外面的因式“移入”根号内为 .1 -a1 1分析： a -1 隐含有 0 的条件，所以 1 -a 0 ，可得 a 1 ，所以 a -1 0 ；所
4、以1 -a 1 -a又 a + b + 1 0 ， (a-1)0 1 1 ab = 1 -2 = 2 2 (a-1)2=0 a +b +1 =0 (-1)=-1.a -1 =0 a +b +1 =0解得：a =1b =-2a -1 =-(1-a)=-(1-a)，则 (a-1)11 -a=-(1-a)11 -a=-(1-a)11 -a=- 1 -a ；例 3.计算 9 -2a + (a+2)- 1 -2a +a 2 + -3a 2 的值？分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住故应填- 1 - a.从被开方数是非负数这一特点切入可以破题，恰好式子中有 -
5、3a 的 -3a 0 ，可求得 a = 0 .点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是略解：根据式子中的 -3a 有 -3a 0 ，可得 a 0 ；又 a 0 a =0非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，再结合 a2= a 进行“移进”和“移出”的原式= 9 -2 0 +(0+2)-(1-0)+3 0 = 9 + 2 + 1 + 0 =3 +2 +1 +0 =6 .变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其追踪练习： 1.把下
6、列各式化简：1. - ；. -8x x；. a -a +1a1 1；. - ；. - -2 . (x-1)3 a它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上 面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例 3 这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就 可以隐藏在其中的 a 的值挖出来，从而使问题得以解决.2.把根号外的因式“移入”根号内：追踪练习：. x -1x；. a -a2+1a；. (x-1)1 1 ；. -5a - .x -1 a1.已知 y =x -4 + 4 -x +1
7、 x +2，求 x +y 的值？二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性 即 a (a 0 )有 a 0 , a 0 巧解题2.已知 a -4 + b -9 =0 ,化简并求a +ab a -ab+b a -b的值？122220152a= 3 -5 + 3( )2 ( )22222+ ( )2 ( )2+a - ba + b a - b a + b a - ba +b a - ba + b a - bb a - b222222222子分别有 3 - 3 =3 -1 ， 2 =5 -3 = 5 - 3 = 5 + 3 5 - 3 .3 -3 = 3222 原式=223.若 m -6m +9
8、和 3m -2n +1 互为相反数，试求 xy 的值？ 4.计算 5a -1 + a +8 - -a +2a -1 - a 的值？5.已知 2014 -a + a -2015 =a ，试求 a -2014 的值？略解：原式=(3)2-3 5 -3-3 -1 5 - 33 (3-1)(5+ 3 )(5-3)三、逆用( )2= a (a 0 )即 a =(a)2(a 0 )巧化简.= -3 -1( )5 - 3 b a ab a -b例 1.化简： + ab +b ab -a a + b a + b分析：根据题中式子可知 a 0 , b 0 ， a = a , b = b b ) (a- b ),
9、L等，即逆用 ( a )= a (a 0 )可以巧化简. a -b =(a)2-(b)2=( a += 3 - 5 - 3=- 5点评：逆用 ( a )= a (a 0 )即 a = ( a )(a 0 )来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例 2 的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方 法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用a = ( a )(a 0 )进行略解：原式=(b)2 (a)2 ab + b ab - a (b)2 (a)2 b (a+ b ) a (b- a )( )2()2a + bab a + b( )(
10、)a + bab a + b巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1 2 21.计算： + - .3 -2 5 - 3 7 + 5x +2 xy +y 1 x -y +12.化简： + .x + y x - y x - y= -( )( )b a + a + b b - a ab( )( ) ( )( ) b a + a + b ab b - a ab( ) a (a+ b )-ab abab -b -a - ababa +babx +y 2xy3.已知： y = x -8 + 8 -x +18 ，化简并求 - 的值？x +y x y -y x四、利用二次根式的 a = a 计算或化简.1 1 1
11、例 1.若 0 m 1 ，化简： m + -2 1 + .m 2 m 1 +m1 1分析：本题关键是含二次根号的部分化简.不难发现 m + -2 的 m + -2 可以借助因式m m 1 分解的方法化成 m - ，从而使含二次根号部分用 a = a 来可将根号化去. m 略解： 0 m 0, b 0 , c 0 ； a -b a ； c -b 0 , a -b -c 0 , c -b -a 0 原式= a +b +c + a -b -c + b -a +c - c -b -a= a +b +c -a +b +c +b -a +c +c -b -a= -2a +2b +4c分析：本例的 3 道小
12、题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1 小题逆 用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2 小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后 里利用完全平方公式计算；3 小题抓住两个括号里的“项”相同和互为相反数的特征，利用平 方差公式可以进行简便运算.略解：例 3.计算： 5 -2 6分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部1.原式 =(15 +4)(15 -4)2=(15 )2-4 2 =(15-16 ) =(-1)=-1； 分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的 技巧，可以使问题得以解决.
13、也就是 5 -2 6 =3 -2 6 +2 = 3 -2 6 + 2 ，此时被开方数 可以化成 (3- 2 )2的形式，用 a 2 = a 来可将外层根号化去.2. 原式 =3. 原式 =(1-2 )+3=(1-2)2+23 (1-2 )+(3)2=L=6-22 +2 3 -2 6 ；(2+ 3 )+5(2+3)-5=(2+3 )2-(5)2=2+26+3-5 =2 6 . 略解： 5 -2 6 = 3 -2 6 +2 =( )23 - 2点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使
14、其运算过点评：二次根式的 a2= a 也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 二次根式一章“几乎所有”涉及公式的结构特征；其二.要有整体的思想.22计算或化简的部分都要用到 a= a 的这个二次根式的性质. 运用 a= a 抓住这几个环节:转化为 a ；最后根据绝对值的代数意义 即 2首先想办法把被开方数写成 a 2的形式；其次将 aa(a0 )a = 来化简.-a a 0追踪练习：1.计算：. (-5)2+(-23)-(1-2)-(-22)+
15、(2+1)；追踪练习：1.计算：. (18 -2 5 )(32+20 )；.-15 - 3 ；. 35 - 52 5. (3-2 )2015(3+2)2016；. (1-2 + 3 )(1+2-3). 2. .计算： (2+ 3 - 5 )2-(2-3+ 5 )2.2；. 1 - 2 + 3)2；.2 -2 - 3 +2 2 .六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分2. 实数 m、n 如图所示：n-10m1例.已知 a 是 1 -5 2 的整数部分， b 是 6 +5 的小数部分， c 是 6 的小数部分，求 abc 的值？ 分析：由 1.40 2 1.41, 2 6 3 可得： -6 1
16、 -5 2 -5, 7 6 +5 8 , 2 6 3 .由此请化简m2+ n2+(m+n)2+(n+1)2-(m-1)2.根据题中的条件可以分别确定题中 a、b、c 的值.略解： 1.40 2 1.41, 2 6 33. 若a2 -2a +1 1 -a=1 ，请化简 4 -4a +a2+a ？ -6 1 -5 2 -5, 7 6 +5 8 , 2 6 17 + 15 m n, n =1 17 + 15=17 - 15 2得简捷了.略解： x =5 -2 6 , y =5 +2 6( )( ) ( )( )1 1 m n 19 - 17 ”或“ ”或“ 2x +1分析：本题关键是未知数的系数含有
17、无理数，在系数化为 1 的时候要特别注意系数的正负情况， 同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由 x 2x +1 得 x - 2x 1 1 - 2 x 1 1 - 2 3x +1 ，请化简：(x -5)2-(3x+12)2- x ；11.如图在四边形 ABCD 中， AB BC , DC BC , AE = CD = 6，BC =3 24求四边形 ABCD 的周长和面积？AB C2. 解方程组：2x + 3y =1 3x + 2y =12.如图一块长方形场地 ABCD 的长 AB 与宽 AD 之比为 2 : 1 ，DEAC 于点 E，BFAC 于点 F，连结 BE、DF；现计划在四边形 DEBF 区域内A DFE十、几何计算中的二次根式运算或化简例 1.若一个矩形的的周长为 (108 + 32 )cm，一边长为(3 +18 )cm，求另一边长和此矩形（阴影部分）种植花草，求四边形 DEBF 与长方形 ABCD 的面积之比. 3.已知边长为 1 的正方形 OABC 在直角坐标系中， B、CBByAC的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知两点在第二象限内， OA 与 x 轴的夹角为 60，求出点 B 点坐标.COx5