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1、基本不等式及柯西不等式专题1.已知正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3，求证：b c a+ + a2 b 2 c 232.已知实数 a，b，c，d 满足 abcd1，2a23b26c2d225，求实数 d 的取值范围3.已知不等式a +b + 2c x 2 -1对于满足条件a 2 +b 2 +c 2 =1的任意实数a , b, c恒成立,求实数 x 的取值范围4a , b, c 均为正数，且 a +2b +4c =3，求1 1 1+ + a +1 b +1 c +1的最小值，并指出取得最小值时 a , b, c 的值5已知 a，b 是正数，且 a+b=1，求证：( ax +by )(bx
2、+ay )xy.1 6.a，b 是正数，求证（a+1 1 9 ）（2b+ ） b 2a 27.x 2 +2 y 2 +3 z 2已知实数 x，y，z 满足 3x+2y+z=1，求 的最小值8.已知x22y23z21817，求 3x2yz 的最小值9已知 x、y、z 均为正数，求证： 3 1 1 1 1 1 1+ + + + 3 x y z x 2 y 2 z 2.10.设实数 x，y，z 满足 x2y3z7，求 x2 y 2 z 2 的最小值2( )2基本不等式及柯西不等式专题1.已知正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3，求证：b c a+ + a2 b 2 c 23【考点】基本不等式【证
3、明】正实数 a，b，c 满足 a+b+c=3，3 =a +b +c3 3abc，abc1，b c a b c a 1 + + 厖3 3 =3 3a2 b 2 c2 a2 b2 c 2 abc32.已知实数 a，b，c，d 满足 abcd1，2a23b26c2d225，求实数 d 的取值范围【解】由柯西不等式得(a+b+c)2 1 1 1 1 1 1 = 2a + 3b + 6c 2 a 2 +3b2 +6c 2 + + ， 2 3 6 2 3 6 当且仅当 2 a =3b =6 c 时取等号 a +b +c =1 -d ， 2a2+3b2+6 c2=25 -d2， (1-d)225-d2，即
4、d2-d -120 解得 d -3,43.已知不等式a +b + 2c x 2 -1对于满足条件a 2 +b 2 +c 2 =1的任意实数a , b, c恒成立,求实数x的取值范围【考点】本题考查了柯西不等式【解】因为( a +b + 2c )2 (1+1+2)(a2+b2+c2)=4，所以a +b + 2c2，又a +b + 2c x 2 -1对任意实数a , b, c恒成立, 故x 2 -1 (a +b + 2c )max=2，解得x - 3,或x 34a , b, c 均为正数，且 a +2b +4c =3，求1 1 1+ + a +1 b +1 c +1的最小值，并指出取得最小值时 a
5、 , b, c 的值【考点】柯西不等式.【解 】 因为 a +2b +4c =3，所以 ( a +1) +2(b +1) +4(c +1) =10 ，因为 a, b, c 为正数，所以由柯西不等式得1 1 1( a +1) +2( b +1) +4( c +1) ( + + ) (1 + 2 +2)a +1 b +1 c +12，当且仅当 (a +1)2=2(b +1)2=4(c +1)2等式成立31所以1 1 1 11 +6 2 + + ，a +1 b +1 c +1 10所以1 1 1+ + a +1 b +1 c +111 +6 2的最小值是 ， 8 分10此时 a =23 -10 2
6、15 2 -17 8 -5 2, b = , c =7 7 7 10 分5已知 a，b 是正数，且 a+b=1，求证：( ax +by )(bx +ay )xy.【考点】基本不等式.【证明】a，b 是正数，且 a+b=1，( ax +by )(bx +ay ) =abx2+( a2+b2) xy +aby2=ab( x2+y2) +( a2+b2) xy ab 2xy +( a2+b2) xy=( a +b ) 2 xy =xy即( ax +by )(bx +ay )xy成立.6.1 1 9a ，b 是正数，求证（a+ ）（2b+ ） a 2a 2【考点】基本不等式【证明】 因为 a，b 是正
7、数，利用基本不等式，1 1 1 1 1 5 5 9 (a + )(2b + ) =2ab + +2 + =（2ab + ）+ 2 + = ，b 2 a 2 2 ab 2ab 2 2 2所以(a +1 1 9 )(2b + ) b 2 a 27.x 2 +2 y 2 +3 z 2已知实数 x，y，z 满足 3x+2y+z=1，求 的最小值【考点】柯西不等式在函数极值中的应用【解】由柯西不等式，(x) 2 +( 2 y ) 2 +( 3z ) 2 32 +( 2)21 +( ) 23 (3 x +2 y +z )2=1，所以x 2 +2 y 2 +3 z 2334，当且仅当x 2 y 3 z =
8、=3 2，即x =9 3 1 , y = , z =34 34 34时，等号成立，3x 2 +2 y 2 +3 z 2 3 所以 的最小值为 348. 已知 x22y23z21817，求 3x2yz 的最小值42 2 222 2 2 22 2222【解】(x22y23z2)32 221323x 2 y 2 3z132(3x2yz)2，当且仅当 x3y9z 时，等号成立(3x2yz)212，即233x2yz23.当 x9 3 3 3 3，y ，z 时， 17 17 173x2yz23，最小值为23.9. (2015南京、盐城调研)已知 x、y、z 均为正数，求证：331 1 1 1 1 1 x y z x2 y2 z2.【证明】 由柯西不等式，得( 1 1 1 )1x21 1 1 1 1y2 z2 x y z2.即31 1 1 x2 y2 z21 1 1 .x y z331 1 1 1 1 1 x y z x2 y2 z2.当且仅当1 1 1 时等号成立 x y z10.设实数 x，y，z 满足 x2y3z7，求 xy2z2的最小值【解】 由柯西不等式，得(x2y z ) 1 2(3) (x2y3z).x2y3z7， x2 y z y z当且仅当 x 时取等号， 2 372.即 x1 3，y1，z 时取等号 2 2 xy2z2的最小值为72.5