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1、22220n=xy+yz+zx+ x一.选择题1.整数 x,y,z 满足 xy+yz+zx=1，则(1+ x2)(1+ y )(1+ z )可能取到的值为（ ）A16900 B17900 C18900 D前三个答案都不对2.在不超过 99 的正整数中选出 50 个不同的正整数，已知这 50 个数中任两个的和都不等于 99，也不等于 100这 50 个数的和可能等于（ ）A3524 B3624 C3724D前三个答案都不对3.已知 x0,p2，对任意实数 a，函数 y= cos x 2acosx+1 的最小值记为 g(a)，则当 a 取遍所有实数时，g(a)的最大值为（ ）A1 B2C3D前三个
2、答案都不对4.已知 1020 2 是 2 的整数倍，则正整数 n 的最大值为（ ）A21B22C23D前三个答案都不对5.在凸四边形 ABCD 中，BC=4，ADC=60，BAD=90，四边形 ABCD 的面积等于 则 CD 的长（精确到小数点后 1 位）为（ ）A B7.1 C D前三个答案都不对二.填空题AB CD +BC AD2，16.满足等式（1+ )xx +1=(1+12015)2015的整数 x 的个数是_7.已知 a,b,c,d 2,4，则( ab +cd ) 2( a2 +d 2 )(b2 +c 2 )的最大值与最小值的和为_8.对于任意实数 x1,5,| x2+px+q|2,
3、不超过p2+q2的最大整数是_9.设 x=b2+c 2 -a 2 a 2 +c 2 -b 2 b 2 +a 2 -c ,y= ,z=2bc 2ac 2ba2,且 x+y+z=1，则 x2015 +y 2015 +z 2015的值为_10.设 A , A ,., A1 2 n都是 9 元集合1,2,3,9的子集，已知|Ai|为奇数，1in,|A Aij|为偶数，1ijn，则 n 的最大值为_ 三解答题11.已知数列an为正项等比数列，且a +a -a -a =5,求 a +a 3 4 1 2 5 6的最小值12. 已知 f(x)为二次函数，且 a,f(a),f(f(a),f(f(f(a)成正项等
4、比数列，求证：f(a)=a13. 称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐 ABC 的三边满足 abc，求证：这个三角形内接正方形边长的最小值为ac sin B a +c sin B14.从 O 出发的两条射线l , l12，已知直线 l 交 l , l12于 A、B 两点，且SDAOB=c(c 为定值),记 AB 的中点为 X，求证：X 的轨迹为双曲线15.已知ai(i=1,2,3,10)满足：a +a +. +a 1 2 10=30，a a .a1 2 1021，求证：$ai，使得ai1#Answer#11+x2 2=(x+y)(x+z)，同理 1+y2=(y+z)(y
5、+x),1+ z2=(z+x)(z+y) 2)(1+ z )= ( x +y )(y +z)(z +x)2 = 2 ( 5( 5 +1)( 5( 5 +1)( 5 +1)(5-1)( 5 +5 +52105托勒密定理推论xxx +1-n+1n -1x +1201522(1+x2)(1+y2 2，对照前三个答案，只有 A 是一个完全平方数检验，不妨取 x+y=2,y+z=5,z+x=13,有解 x=5,y=3,z=8.选 A2.考虑将 1,2,99 这 99 个正整数分成如下 50 组 (1,99),(2,98),(47,53),(48,52),(49,51),(50).若选出的 50 个不 同
6、的正整数中没有 50，则必有 2 个数位于 (1,99),(2,98),(47,53),(48,52),(49,51)中的同一组，不合题意所 以这 50 个不同的正整数中必有 50，而 (1,99),(2,98),(47,53),(48,52),(49,51)中，每组有且只有一个数被选 中因为 50+49=99，所以(49,51)中选 51；因为 51+48=99，所以(48,52)中选 52；以此类推，可得 50,51,52,98,99 是唯一可能的选法经检验，选 50,51,52,98,99 满足题意，此时 50+51+98+99=3725。故选 Dh(1) =2 -2 a, a 13.令
7、 t=cosx，令 h(t)=t22at+1,t0,1,g(a)=h( a) =-a2 +1,0 a 0 时，（1+ )xx +11 1 1 1 =（1+ ) (1+ ) （1+ ) （,1+ )x x x xx +11=(1+ )20152015无解x0,则a +a5 6=(a +a1 2)q4=5q4q 2 -1设q 2 -1 =t 05(t +1)2 1=5(t+ +2)5(2 t t1t +2t)=20，等号成立当且仅当 t=1t t=1 q= 2 ,故 a +a5 6的最小值为 2012.(方法一)设 f(x)=m x +nx+t(m0), a,f(a),f(f(a),f(f(f(a
8、)公比为 q(q0)1f ( a) =ma 2 +na +t =aq则 f ( f ( a) = f ( aq ) =m( aq)2+n ( aq) +t =aq2f ( f ( f ( a) = f ( aq2) =m ( aq2)2+n ( aq2) +t =aq3-并化简得到：ma(1-q2)+n(1-q)=q(1-q),-并化简得到：maq(1-q2)+n(1-q)=q(1-q)从而 q=1,f(a)=a(方法二)由已知f ( a) f ( f ( a) f ( f ( f ( a ) = =a f ( a ) f ( f ( a)，假设 f(a)a则f ( f ( a) -f ( a
9、 ) f ( f ( f ( a ) -f ( f ( a)=f ( a) -a f ( f ( a )-f ( a)A(a,f(a),B(f(a),f(f(a),C(f(f(a),f(f(f(a)，kAB=kBC A,B,C 三点共线 一条直线与抛物线交于三个点，矛盾故 f(a)=a13.证明：设正方形的边长为 x，ABC 外接圆半径为 R，当内接正方形如图所示时AcMxx NcsinBB Qac sin B -x x1 = 1 xc sin B a=P Cac sin B a +c sin Bbac2R= =ba +c2Rabc2Ra +bc同理其他情况，内接正方形的边长分别为x2=abc
10、2Rb +ac，x3=abc2Rc +bax - x =1 2abc abc abc- =2Ra +bc 2Rb +ac (2 Ra +bc )(2 Rb +ac )( a -b )(c -2 R ) 0 x x ,1 2同理 x x 1 1于是x1最小，从而这个三角形内接正方形边长的最小值为ac sin B a +c sin B14.证明：设 2为l , l12的夹角，以 O 为原点，l , l12的角平分线为 x 轴，建立直角坐标系，如图22yl1AaXObxBl2设 X(x,y),|OA|=a,|OB|=b，则 A(acos,asin),B(bcos,-bsin) a +bx = cos q 2a -by = sin q 2，于是 x -y =ab因SDAOB=1 2cabsin2=c,于是 ab= ，X 的轨迹方程为 2 sin 2qx 2 -y 22c= ,轨迹是双曲线 sin 2q15.(反证法)假设 i ， a 1，设 a =1+ b ( b 0), a +a +. +a =30 b +b +. +bi i i i 1 2 10 1 2 10=20a a .a1 2 10=(1+b )(1+b ).(1+b ) 1 2 10=1+(b +b +. +b 1 2 10)+b b +b b 1 2 1 3+21 与a a .a1 2 1021 矛盾故$ai，使得ai1