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1、11111 高考数学热点问题专项第 41 炼 指对数比较大小在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方 法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为(0,1)和(1,+)（1）如果底数和真数均在 (0,1)中，或者均在(1,+)中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+)中，那么对数的值为负数例如：log 0.5 0,log 3 02等2、要善于利用指
2、对数图像观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为 某一部分相同的情况1 1 1例如： 3 3 ,4 4 ,5 2 ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同13 3=(34)12,44=(43)12,52 =(56)12，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（
3、在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有 一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 ， 例 如 log 3 ， 可 知21 =log 2 log 3 0,a 1, N 0 a a)数学热点问题a233111111高考数学热点问题专项（4）换底公式：log blog b = clog ac进而有两个推论：log b =a1log ab（令c =b）nlog N n = log N a m m a二、典型例题：例 1：设a =log3p, b =log23, c =log32 ，则 a , b, c的大小关系是_思路：可先进行 0,1 分
4、堆，可判断出a 1,0 b 1,0 c 1 ，从而 a 肯定最大，只需比较b, c即可，观察到b, c有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：b =log21 13 = log 3, c =log 2 = log 2 2 2，从而可比较出log 2 1 log 3 3 2，所以c b答案：c b a例 2：设a =log 2, b =ln 2, c =5 3-12，则a , b, c的大小关系是_思路：观察发现a , b, c均在(0,1)内，a, b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b，在比较和 c 的大小，由于 c 是指数，很难直接与对数找到联系，考
5、虑估计a , b, c值得大小：c =5-12=1 1 1log 3 = 3 312，进而a 12c，所以大小顺序为b a c答案：b a c例 3：设a =ln2 ln3 ln5 , b = , c = ,2 3 5则a , b, c的大小关系为（ ）A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a思路：观察到a , b, c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。a =ln 2 ln3 ln5=ln 2 2 , b = =ln3 3 , c = =ln5 2 3 515,发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：212=
6、(215)30,313=(310)30,55 =(56)30，通过比较底数的大小可得：b a c答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部数学热点问题111322 5 5 5 高考数学热点问题专项分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个 数 两 两 进 行 比 较 ， 从 而 减 少 底 数 的 指 数 便 于 计 算 。 例 如 可 以 先 比 较a , b : 212= (23)6,33 = (32)6，从而a b aB.b c aC.a c b
7、D.a b c思路：观察可发现：a =log (32)=1+log2, b =log (52)=1+log2, c =log (72)=1+log23 3 5 5 7 7log 2 log 2 log 2 3 5 7答案：D，所以可得：a b c例 5：设2 3 2a = , b = , c = , 5 5 5 则a , b, c的大小关系为（ ）A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a思路：观察可发现 b, c 的底数相同， a, c 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于b, c，两者底数在 (0,1)，则指数越大，指数幂越小，所以可得b c ，综上： 答案：Ba c
8、 b例 6：已知三个数a =30.5 , b =log 2, c =cos332，则它们之间的大小关系是（ ）A.c b aB.c a bC.a b cD.b c 1，0 b, c cos log333 =1 1 ，从而 c b2 2，大小顺序为c b a答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特 殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择 c 作为研究对象。数学热点问题b +a b22b c 11高考数学热点问题专项例 7：（2015 甘肃河西三校第一次联考）设a =log 7, b =21.1 , c =0.8 3.1 3，则（ ）A.b a
9、 cB.a c bC.c b aD.c a b思路：首先进行 0,1 分组，可得c 1 2, a =log 7 log 9 =2 ，所以 a 2 b ，从而 c a b 0, a +b =1且1 x = , y =log a 1 1 ab, z =log a1b，则x, y, z的大小关系是（ ）A.y x zB.z y xC.y z xD.x y b 0, a +b =1可得：0 b 12a 0，y , z 0 ，则 x 为最大，只需要比较 y, z 即可，由于 y , z 的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。y =log1 1+a bab =logab =log ab =-1
10、a +b 1ab ab，而z =log a =-log a 1 bb，因为0 b 1，所以log a -1=y b b b，所以顺序为y z x答案：C例 9：下列四个数：a =(ln2)2,b=ln (ln2 ),c=ln 2, d =ln2的大小顺序为_思路：观察发现b =ln (ln2)0，其余均为正。所以只需比较a , c , d，考虑ln2 (0,1)，所以a d，而c =ln 2 =12ln 2 0，所以a c ，综上所述， 大小顺序为b c a d答案：b c a d例 10：已知a , b, c均为正数，且1 1 2a =log a , =log b,2 2 2 2=log c2，则（ ）A.a b cB.c b aC.c a bD.b a 1，只需比较 a , b 大小即可。观察到2a1 1 b，从而log a log b a b 1 12 2答案：A，所以顺序为a b c小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为y =log x12的形式，而第三个等式也可变形为1 - =-log c =log c 2 2，从而可以考虑视a , b, c分别为两个函数的交点。先作出y =log x12图像，再在这个坐标系中作出y =2x1 1 , y = , y =-2 2 ，比较交点的位置即可。数学热点问题