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1、rr dr第 1 章 质点运动学 习题及答案1Dr 与 Dr有无不同?dr dr d v dv和 有无不同? 和 有无不同?其不同在哪里?试举例说明 d t dt d t dt解: Dr 与 Dr 不同. Dr表示质点运动位移的大小,而Dr则表示质点运动时其径向长度的增量;dr dr d r dr和 不同. 表示质点运动速度的大小,而 则表示质点运动速度的径向分 d t dt d t dt量;dv dv d v dv和 不同. 表示质点运动加速度的大小, 而 则表示质点运动加速度的切向分量. d t dt d t dt2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是
2、否一定做直线 运动？解: 质点沿直线运动，其位置矢量方向可以改变;质点位置矢量方向不变，质点一定做直线运动. 3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？ 解: 由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的 , 因此 ,其速度和加速度不是 恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心 ,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向 圆心.4一物体做直线运动，运动方程为x =6t 2 -2t 3，式中各量均采用国际单位制，求：（1）第二秒内的平均速度（2）第三秒末的速度；（3）第一秒末的加速度；（4）物体运动的类型。 x( t ) =6t 2
3、 -2t 3解: 由于:dxv( t ) = =12t -6t dt2dva( t ) = =12 -12tdt所以:（1）第二秒内的平均速度:v =x (2) -x (1) 2 -1=4( ms -1)（2）第三秒末的速度: v(3) =12 3 -6 32=-18( ms -1)（3）第一秒末的加速度: a (1) =12 -12 1 =0( ms-2)（4）物体运动的类型为变速直线运动。5一质点运动方程的表达式为r ( t）=10t 2 i +5t j，式中的r ,t分别以m,s为单位，试求；（1）质点的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。 解: （1）质点的速度:r rv = =20t
4、i +5 jdt1rr质点的加速度: r dva = =20i dt（2）质点的轨迹方程:由x =10t 2, y =5t联立消去参数 t 得质点的轨迹方程:y25= x26一人自坐标原点出发，经过 20 s 向东走了25 m ，又用15 s 向北走了20 m ，再经过10 s 向西南方向走了15m，求：（1）全过程的位移和路程；（2）整个过程的平均速度和平均速率。解: 取由西向东为 x 轴正向, 由南向北为 y 轴正向建立坐标系.则人初始时的位置坐标为(0,0), 经过20 s向东走了 25m后的位置坐标为(25,0), 又用 15s向北走了 20m后的位置坐标为(25,20),再经过 10
5、s向西南方向走了 15m后的位置坐标为(25 -7.5 2, 20 -7.5 2).于是:（1）全过程的位移和路程:r r rDr =(25 -7.5 2) i +(20 -7.5 2) j ( m)Ds =25 +20 +15 =60(m)（2）整个过程的平均速度和平均速率:r r r r 5 1 r 4 1 rv =Dr / Dt =(25 -7.5 2) i +(20 -7.5 2) j / Dt =( - 2) i +( - 2) j (m / s )9 6 9 64v =Ds/ Dt =60 / 45 = ( m / s)37一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为x =3 t +5
6、, y =12t 2+3 t -4.式中t以 s计，x,y以m计(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式，分别求出第一秒和第二秒内质点的位移；(2)求出质点速度矢量的表示式，计算t4 s 时质点的瞬时速度；(3) 求出质点加速度矢量的表示式，并计算t0s到t4s 内质点的平均加速度。解: （1）v v 1 r =(3t +5) i +( t22v +3t -4) j ( m )将 t =0 ， t =1 , t =2 分别代入上式即有 v v vr =5i -4 j ( m )t =0sv vvr=8i -0.5 j ( m )t =1sr vvr=11i +4 j ( m )t =2s
7、第一秒内质点的位移： v v v r vDr =r -r =3i +3.5 j t =1st =0s(m)2vv drvv第二秒内质点的位移v v v r v Dr =r -r =3i +4.5 j(m)(2)(3)t =2s t =1sv vv = =3i +(t +3) j m/sdtr v vv =3i +7 jm/st =4sv dv2a = =1 j m/sdtrr r v v v v v -v (3i +7 j ) -(3i +3 j )a =t =4s t =0s =4 -0 4r =1 jm / s28.质点的运动方程为r ( t ) =8 cos( 2t )i +8 sin(
8、 2t ) j( m )，求:(1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小；（2）质点的切向加速度和运动轨迹。 解: (1)质点在任意时刻的速度和加速度的大小:rr drv = =-16 sin( 2t )i +16 cos( 2t ) j( ms -1 ) dtrr d 2 ra = =-32 cos( 2t )i -32 sin( 2t ) j( ms -2 ) dt 2v =( v 2 +v 2 ) x y12=16( ms -1 )a =( a2x+a2y1) 2 =32( ms-2)（2）质点的切向加速度:a =tdvdt=0( ms-2)运动轨迹:由x =8 cos( 2t ) y =
9、8 sin( 2t )消去t得x 2 +y 2 =8 29一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为q=2+3t3，q式中以弧度计，t以秒计，求：(1)t2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45角时，其角位移是多少?解: (1) t 2 s 时，质点的切向和法向加速度dq w = =9tdt2dwb= =18tdtatt =2s=R bt =2s=18tt =2s=36ms-2ant =2s=Rw2t =2s=(9t2)2t =2s=1296ms-2(2)当加速度的方向和半径成45角时的角位移:3v船0令a / a =tg 45 t no=1 得到: t3=29因
10、此q=2 +3 29=6.67 Rad故Dq=q-q=2.67 -2 =0.67 Rad010 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为 = 0.2 rad/s2，求t2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解:w =bt=0.2 2 =0.4( rads-1)t =2sv =rw=0.4 0.4 =0.16( ms-1)t =2sa =rw2 nt =2s=0.4 0.4 2 =0.064( ms -2 )a =rtbt =2s=0.4 0.2 =0.08( ms-2)1a =( a2 +a 2 ) 2 =0.102(ms n tatgq= t =1.25an-2)1
11、1 一质点沿X轴运动，其加速度a =3 +2t，如果初始时刻v =5ms -1 ,t =3s 0时，则质点的速度大小为多少？ 解:dvdt=3 +2tdv=3(3 +2t ) dt05v =23(ms-1)12 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如图所示当人以v0(ms-1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成q 角，由 图可知l2 =h 2 +s 2将上式对时间t求导，得2ldl ds=2 sdt dt根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的，v =-绳dl ds =v , v =-dt dt40
12、1即v船ds l dl l v =- =- = v = 0dt s dt s cosq或v船=lv ( h0 =s2+s 2s)1/ 2v0将v再对船t求导，即得船的加速度a =dv船dt=sdl ds-ldt dts 2v =0-v s +lv 0 船s 2v0=( -s +sl 2s2) v20=h2sv32013已知一质点作直线运动，其加速度为 a 4+3 t m st该质点在10s 时的速度和位置dva =4 +3t解：dt-2，开始运动时， x 5 m，v=0，求分离变量，得积分，得由题知， t =0 , v =0 , c =00 1dv =(4 +3t )dt 3v =4t + t
13、 2 +c 2故3 v =4t + t22又因为v =dxdt3 =4t + t22分离变量，3dx =(4t + t 2 )dt2积分得x =2t21+ t23+c2由题知t =0,x =50,c =52故1x =2t 2 + t 3 +52所以t =10 s时v10=4 10 +32102=190(m s-1)x10=2 102+12103+5 =705(m)5vtxto14一质点沿x轴运动，其加速度为a =4t (SI)，已知t =0时，质点位于x =10 m处，初速度v =0试0 0求其位置和时间的关系式解:dvdt=4tdv=4tdt00v =2t2( ms-1)dxdt=2t2dx=2t2dt0102 x =10 + t33( m)15在一个无风的雨天，一火车以20m s-1的速度前进，车内旅客看见玻璃上雨滴的下落方向与竖直方向成75o，求雨滴下落的速度（设雨滴做匀速运动）。解:由题意,牵连速度v =20 ms0-1,相对速度与竖直方向成 75 ,绝对速度竖直向下.于是:vv0=tg 750由此得到:v =v tg 7500=5.36( ms-1)6